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Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1

Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos começar a resolver um exemplo sobre integral de superfície e para começar a resolver esse exemplo a gente precisa lembrar que já fiz alguns vídeos aqui mostrando como parametrizar um toróide ou uma forma toroidal através de uma função de um vetor de posição com dois parâmetros e o resultado que encontrei eu fiz em vários vídeos porque é um pouco difícil eu vou escrever a função aqui novamente que é uma função do vetor posição assim e temos r como uma função dos dois parâmetros s&t isso sendo igual AB mais a cor sendo DS e osso vezes oceano de ter vezes nosso vetor unitário e chapéu Eu já conversei sobre isso em outros vídeos sobre parametrização de superfície através dos dois parâmetros que eu estou colocando aqui mas continuando mas o bebê mais água sendo DS vezes cosseno de ter vezes o vetor unitário J chapéu que é o vetor unitário na direção Y mais a sendo DS vezes o vetor unitário cá chapéu o viatura unitário na direção Z para gerar o Troy de uma forma toroidal Isso é verdade para os nossos parâmetros então não damos várias voltas em torno do toróide ter vindo a isso teremos que essa é a maior ou igual a zero e menor ou igual a 2 Pires e também é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2 Pires eu vou fazer uma pequena revisão aqui com você para saber de onde eu tudo isso veio sendo assim eu vou desenhar um toróide aqui um toróide parece um Donald ou uma rosquinha e você pode imaginar essa figura como sendo o produto de dois círculos você tem um círculo sendo a seção transversal do Donald em qualquer ponto Pode ser aqui por exemplo ou aqui e você tem um círculo que envolve tudo CE em círculos quando derivamos essa fórmula aqui ou essa parametrização encontramos a que é o raio desse círculo da seção transversal e o Ceará e isso é o que esses termos significam e B EA distância do centro do toróide até o centro dessas seções transversais então isso aqui é bebê você pode pensar em beber como sendo o raio do Círculo Grande até o ponto médio da seção transversal EA como sendo o raio dos círculos da seção transversal quando o parametrizamos isso o parâmetro essa está essencialmente nos dizendo quão longe ou onde nós envolvemos esse círculo Então isso é um ângulo de 0 a 2 para dizer onde estamos nesse círculo e de nos diz o quanto rotacionamos em volta do Círculo grande sendo assim se você pensar sobre isso você pode especificar qualquer ponto nessa superfície dizendo um s um t e é por isso que usamos isso como a parametrização agora o motivo de está a visão aqui é que vamos usar isso para calcular uma integral de superfície real e a integral de superfície que iremos calcular vai nos fornecer a área da superfície desse toróide sabendo dias essa superfície aqui é um Sigma que está sendo representada por essa função do vetor posição que está parametrizada por esses dois parâmetros aqui Se quisermos descobrir a área da superfície nós vamos definir uma integral de superfície aqui eu já falei em outros vídeos sobre uma integral de superfície aqui temos uma integral de superfície sobre essa superfície onde a tarde importante é que o Sigma não representa uma soma aqui ele está representando a superfície de vários pequenos de sigmas vários pequenos pedaços da superfície e como revisão podemos imaginar que cada de signo é um pequeno pedaço dessa superfície isso aqui é o de Sigma temos aqui uma integral dupla Porque queremos somar todos os de Zig mas em duas direções podemos é um tipo de rotação dessa forma em forma do toróide e outra rotação ao longo do toróide um do nessa outra direção por isso que é uma integral dupla Isso vai nos fornecer a área da superfície que é o objetivo desse vídeo e provavelmente dos próximos dois mas se você também quiser multiplicar esses sigmas por algum outro valor por exemplo podemos ter algum campo de calar em que ele esteja e você Considere isso você pode colocar esse outro valor aqui mas aqui só vamos multiplicar por um agora uma forma de expressar isso para realmente poder calcular a integral e que já vimos isso em vários outros vídeos é que isso é igual a integral dupla sobre a região sobre a qual os parâmetros estão definidos onde ST variam de 0 a 2 ou Qualquer que seja essa função temos apenas um aqui então podemos escrever um Se quisermos isso não muda muito as coisas vezes um módulo do produto vetorial da derivada Esse é o Dr em relação a s com a derivada parcial de R em relação a ter dsdt sendo que você pode fazer isso em qualquer ordem o que faremos agora realmente calcular isso afinal é o objetivo desse vídeo vamos calcular o produto vetorial Entre esses dois vetores mas não temos eles precisamos calcular para encontrá-los Então vamos fazer isso aqui aí nos próximos vídeos calculamos o produto vetorial e a integral dupla então vamos fazer isso primeiro vamos calcular a derivada parcial de R em relação a esse mas como fazemos isso para fazer isso devemos manter o teu constante e calcular a derivada de R em relação a esse inicialmente se a gente distribuir aqui o seno de teremos bem vezes oceano de ter isso será uma constante em relação a s então você pode ignorá-lo aí você deriva o cosseno de S que é menos oceano DS sendo assim a derivada parcial dessa primeira parte é menos Às vezes o seno de TVs associando DS vezes o vetor unitário e chapéu Essa é a parcial só desse termo X em relação à s agora faremos a mesma coisa com esse termo Y ou termo J seguindo a mesma loja que a derivada em relação à SDB vezes o cosseno de t = 0 então também ignoramos isso Assim ficamos apenas com a derivada parcial de acontecendo DS vezes o cosseno de ter a derivada do Cosseno de essa em relação à é se é menos oceano DS assim esse segundo termo fica sendo igual a menos avessos o cosseno de ter vezes o seno de essa e vezes o vetor unitário J chapéu finalmente calculamos a derivada parcial de se último termo em relação a esse aqui é bem direto teremos apenas a vezes o cosseno de essa e vezes o vetor unitário o cara chapéu agora vamos fazer o mesmo em relação a ter ou seja vamos calcular a derivada parcial e em relação a t isso é igual a agora tudo que não tem te retido como constante é então a derivada parcial em relação a t desse primeiro termo é igual a bebê mais acontecendo DS vezes o cosseno de ter e chapéu mas na verdade será menos porque quando derivar mas isso daqui em relação a ter teremos menos sendo de ter sendo assim teremos aqui um menos vou deixar um espaço aqui aí vezes oceano de ter temos nesse espaço essa constante bem aqui que é bebê mas acaba sendo de.sj chapéu mais a derivada parcial dias em relação a t bem como isso aqui é uma constante em relação a t teremos que a derivada parcial de Z em relação a t = 0 sendo assim teremos é quiser ôca chapéu e pronto terminamos de calcular as derivadas parciais agora temos que fazer o produto vetorial e depois Encontraram o módulo desse produto vetorial a fazer por último o cálculo dessa integral dupla eu vou fazer isso nos próximos vídeos Tudo bem então eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima