Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a resolver um exemplo sobre integral de superfície. Para começar a resolver esse exemplo, a gente precisa lembrar que já fiz alguns vídeos mostrando como parametrizar um toróide, ou uma forma toroidal, através de uma função de um vetor de posição com dois parâmetros. O resultado que encontrei eu fiz em vários vídeos, porque é um pouco difícil. Eu vou escrever a função aqui novamente, que é uma função do vetor posição. Assim, temos r como uma função dos dois parâmetros (s,t), isso sendo igual a (b mais a cosseno de s) isso vezes seno de t vezes nosso vetor unitário i^. Eu já conversei sobre isso em outros vídeos sobre parametrização de superfície através dos dois parâmetros que eu estou colocando aqui, mas continuando... Mais (b mais a cos s) vezes cos t vezes o vetor unitário j^, que é o vetor unitário na direção y, mais “a” seno de s vezes o vetor unitário k^, ou o vetor unitário na direção z. Para gerar o toróide, ou a forma toroidal, isso é verdade para os nossos parâmetros. Então, não damos várias voltas em torno do toróide. Devido a isso, teremos que s é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2π e t também é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2π. Eu vou fazer uma pequena revisão aqui com você para saber de onde tudo isso veio. Sendo assim, eu vou desenhar um toróide aqui. Um toróide parece um donuts, ou uma rosquinha, e você pode imaginar essa figura como sendo o produto de dois círculos. Você tem um círculo sendo a seção transversal do donut em qualquer ponto. Pode ser aqui, por exemplo, ou aqui, e você tem um círculo que envolve todos esses outros círculos. Quando derivamos essa fórmula, ou essa parametrização, encontramos “a”, que é o raio desses círculos da seção transversal. Isso é “a”. Isso é o que esses termos significam. “b” é a distância do centro do toróide até o centro dessas seções transversais. Então, isso aqui é “b”. Você pode pensar em “b” como sendo o raio do círculo grande até o ponto médio da seção transversal e “a” como sendo o raio dos círculos da seção transversal. Quando parametrizamos isso, o parâmetro s está, essencialmente, nos dizendo quão longe ou onde nós envolvemos esse círculo. Então, isso é um ângulo de zero a 2π para dizer onde estamos nesse círculo e t nos diz o quanto rotacionamos em volta do círculo grande. Sendo assim, se pensar sobre isso, você pode especificar qualquer ponto nessa superfície, dizendo um s ou um t, e é por isso que o usamos como a parametrização. Agora, o motivo de estar fazendo essa revisão aqui é que vamos usar isso para calcular uma integral de superfície real e a integral de superfície que iremos calcular vai nos fornecer a área da superfície desse toróide. Sabendo disso, essa superfície aqui é um sigma que está sendo representada por essa função do vetor posição, que está parametrizada por esses dois parâmetros aqui. Se quisermos descobrir a área da superfície, nós vamos definir uma integral de superfície aqui. Eu já falei em outros vídeos sobre uma integral de superfície. Aqui temos uma integral de superfície sobre essa superfície. Um detalhe importante é que o sigma não representa uma soma aqui. Ele está representando a superfície de vários pequenos d-σ [d sigmas], vários pequenos pedaços da superfície. Como revisão, podemos imaginar que cada d-σ é um pequeno pedaço dessa superfície. Isso aqui é o d-σ. Temos aqui uma integral dupla, porque queremos somar todos os d-σ em duas direções. Podemos imaginar um tipo de rotação dessa forma, em forma do toróide, e outra rotação ao longo do toróide, indo nessa outra direção. Por isso que é uma integral dupla. Isso vai nos fornecer a área da superfície, que é o objetivo deste vídeo e provavelmente dos próximos dois. Mas se você também quiser multiplicar esses sigmas por algum outro valor... Por exemplo, podemos ter algum campo escalar em que ele esteja e você considere isso, pode colocar esse outro valor aqui, mas aqui só vamos multiplicar por 1. Agora, uma forma de expressar isso para realmente poder calcular a integral, e que já vimos em vários outros vídeos, é que isso é igual à integral dupla sobre a região sobre a qual os parâmetros estão definidos, onde (s,t) varia de zero a 2π ou qualquer que seja essa função. Temos apenas 1 aqui, então podemos escrever o 1 se quisermos, isso não muda muito as coisas, vezes o módulo do produto vetorial da derivada parcial de r em relação a s com a derivada parcial de r em relação a t, ds/dt, sendo que você pode fazer isso em qualquer ordem. O que faremos agora é realmente calcular isso. Afinal, é o objetivo deste vídeo. Vamos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores. Mas não temos eles, precisamos calcular para encontrá-los, então vamos fazer isso aqui, e nos próximos vídeos calcularemos o produto vetorial e a integral dupla. Então, vamos fazer isso. Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de r em relação a s. Mas como fazemos isso? Para fazer isso, devemos manter o t constante e calcular a derivada de r em relação a s. Inicialmente, se a gente distribuir o seno de t, teremos b vezes seno de t. Isso será uma constante em relação a s, então você pode ignorá-la. Agora você deriva o cosseno de s, que é menos seno de s. Sendo assim, a derivada parcial dessa primeira parte é -a vezes o seno de t, vezes o seno de s, vezes o vetor unitário i^. Essa é a parcial só desse termo x em relação a s. Agora faremos a mesma coisa com esse termo y, ou termo j. Seguindo a mesma lógica, a derivada em relação a s de b vezes o cosseno de t é igual a zero, então também ignoramos isso. Assim, ficamos apenas com a derivada parcial de “a” cosseno de s vezes o cosseno de t. A derivada do cosseno de s em relação a s é menos o seno de s. Assim, esse segundo termo fica sendo igual a menos "a" vezes o cosseno de t, vezes o seno de s, vezes o vetor unitário j^. Finalmente, calculamos a derivada parcial desse último termo em relação a s. Aqui é bem direto, teremos apenas “a” vezes o cosseno de s vezes o vetor unitário k^. Agora vamos fazer o mesmo em relação a t, ou seja, vamos calcular a derivada parcial de r em relação a t. Isso é igual a... Agora, tudo que não tem t é tido como constante. Então, a derivada parcial em relação a t desse primeiro termo é igual a b mais a cosseno de s vezes cosseno de t i^, mais... Na verdade, será menos, porque quando derivarmos isso aqui em relação a t, teremos menos seno de t. Sendo assim, teremos um menos (vou deixar um espaço aqui) vezes o seno de t. Temos nesse espaço essa constante bem aqui, que é b mais "a" cosseno de s j^, mais a derivada parcial disso em relação a t. Bem, como isso aqui é uma constante em relação a t, teremos que a derivada parcial disso em relação a t é igual a zero. Sendo assim, teremos aqui zero k^. E pronto, terminamos de calcular as derivadas parciais. Agora, temos que fazer o produto vetorial e depois encontrar o módulo desse produto vetorial para fazer por último o cálculo dessa integral dupla. Eu vou fazer isso nos próximos vídeos, tudo bem? Então eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima!