Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2

RKA20JL - Fala, galera da Khan! Então, no último vídeo, estávamos tentando calcular a área de superfície de um toro, que é esta figura, aqui, na forma de rosquinha. E estávamos calculando essa área através de uma integral de superfície. E, para tanto, tivemos que calcular a parcial da nossa parametrização em relação a s e, também, a parcial em relação a t. E agora, estamos prontos para realizar este produto vetorial aqui entre as duas parciais que calculamos e, logo após, tirar o módulo deste produto vetorial. E após realizar esses cálculos, podemos tirar a integral dupla deste módulo e, finalmente, encontrar um valor para a área de superfície deste sólido um tanto quanto complexo. Então, vamos lá, realizar esse produto vetorial. E, como já sabemos, este produto vetorial, aqui, parcial de r em relação a s, vezes parcial de r em relação a t será feito através do determinante de uma matriz. Para a 1ª linha da nossa matriz, teremos os versores î, j e k. Para a 2ª linha, teremos os componentes ∂r/∂s. Então, teremos na 1ª coluna, -a vezes seno de t vezes seno de s. Aqui na 2ª coluna, teremos -a vezes cosseno de t vezes seno de s. Já na última coluna, teremos apenas a vezes cosseno de s. Seguindo a mesma lógica, na 3ª linha, teremos os componentes ∂r/∂t. Então, aqui, teremos (b + a cos s) cos t, Na 2 ª coluna da 3ª linha, teremos (-b + a cos s) sen t. E, por fim, aqui na 3ª coluna da 3ª linha, teremos 0. Agora, para conseguirmos chegar em um resultado para este produto vetorial, temos que tirar o determinante desta matriz. Você pode realizar este determinante da maneira que preferir. Porém, neste vídeo, iremos utilizar, de forma direta, o teorema de Laplace. E caso você não se lembre ou não saiba desse método, sugiro que você procure este conteúdo para entender um pouquinho melhor o que estamos realizando aqui. Então, para o 1º componente, teremos î vezes, e aqui excluímos a 1ª linha e a 1ª coluna, e tiramos o determinante desta matriz menor quadrada q, que obtivemos. Então, supostamente, teríamos î . a cos t sen s . 0 (que é 0) - a cos s(-b + a cos s) sen t, E aqui, os sinais se cancelam e ficamos com tudo positivo. Dito isso, agora iremos realizar o cálculo dos outros componentes de forma direta. Então, para o 2º componente, teremos -j (-b + a cos s) . cos t + o versor k (e este aqui é bem grande, hein) (a sen t sen s) (b + a cos s) sen t e tudo isso mais a cos t sen s (b + a cos s) cos t Agora, feitas todas essas contas e determinantes das matrizes menores, podemos começar a simplificar essa expressão gigante Logo de cara, vemos que todos os termos aqui do nosso vetor resultante possuem o fator (b + a cos s). Então, vamos fatorar isso aqui. Teremos (b + a cos s), que multiplica a cos s sen t . î + a cos s cos t vezes o versor j + a sen s sen²t + a sen s cos² t E tudo isso vezes o nosso versor k. Aqui, no último componente k, podemos ver que ambos os termos possuem o fator a sen s, então, podemos fatorar aqui, e obteremos a sen s, que multiplica (sen²t + cos²t). Sabemos que esta expressão aqui é a relação fundamental da trigonometria. Então, vamos cortar aqui e por igual a 1 e este último termo é simplificado em a sen s . k. E aqui, percebemos por que temos tão poucos exemplos de integrais superfície, já que só este produto vetorial aqui já se dá com um grande trabalho algébrico, né? E agora, podemos finalmente escrever essa função da forma mais simplificada possível. Teremos (b + a cos s), que multiplica a cos s . sen t î + a cos s . cos t vezes o versor j + a sen s . k Até aqui, conseguimos obter as derivadas parciais da parametrização do nosso sólido e, também, realizar o produto vetorial entre essas duas parciais. No próximo vídeo, iremos achar o módulo deste vetor, E, por fim, iremos integrá-lo duas vezes para encontrar a área de superfície deste toro. E é isso, galera da Khan, nós nos vemos por aqui.