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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA20JL - Fala,
galera da Khan! Então, no último vídeo,
estávamos tentando calcular a área de superfície
de um toro, que é esta figura, aqui, na
forma de rosquinha. E estávamos calculando essa área
através de uma integral de superfície. E, para tanto, tivemos que calcular a parcial da
nossa parametrização em relação a s e, também, a parcial em
relação a t. E agora, estamos prontos para realizar
este produto vetorial aqui entre as duas parciais
que calculamos e, logo após, tirar o módulo deste
produto vetorial. E após realizar esses cálculos, podemos
tirar a integral dupla deste módulo e, finalmente, encontrar um valor para a área de
superfície deste sólido um tanto quanto complexo. Então, vamos lá, realizar
esse produto vetorial. E, como já sabemos, este produto
vetorial, aqui, parcial de r em relação a s, vezes
parcial de r em relação a t será feito através do
determinante de uma matriz. Para a 1ª linha da nossa matriz,
teremos os versores î, j e k. Para a 2ª linha, teremos
os componentes ∂r/∂s. Então, teremos na 1ª coluna,
-a vezes seno de t vezes seno de s. Aqui na 2ª coluna, teremos
-a vezes cosseno de t vezes seno de s. Já na última coluna,
teremos apenas a vezes cosseno de s. Seguindo a mesma lógica, na 3ª linha,
teremos os componentes ∂r/∂t. Então, aqui, teremos
(b + a cos s) cos t, Na 2 ª coluna da 3ª linha, teremos
(-b + a cos s) sen t. E, por fim, aqui na 3ª coluna
da 3ª linha, teremos 0. Agora, para conseguirmos chegar
em um resultado para este produto vetorial, temos que
tirar o determinante desta matriz. Você pode realizar este determinante da
maneira que preferir. Porém, neste vídeo, iremos utilizar,
de forma direta, o teorema de Laplace. E caso você não se lembre ou não
saiba desse método, sugiro que você procure
este conteúdo para entender um pouquinho melhor o
que estamos realizando aqui. Então, para o 1º componente,
teremos î vezes, e aqui excluímos a
1ª linha e a 1ª coluna, e tiramos o determinante desta matriz
menor quadrada q, que obtivemos. Então, supostamente,
teríamos î . a cos t sen s . 0 (que é 0)
- a cos s(-b + a cos s) sen t, E aqui, os sinais se cancelam e
ficamos com tudo positivo. Dito isso, agora iremos realizar o cálculo
dos outros componentes de forma direta. Então, para o 2º componente,
teremos -j (-b + a cos s) . cos t + o versor k (e este aqui é
bem grande, hein) (a sen t sen s) (b + a cos s) sen t e tudo isso mais
a cos t sen s (b + a cos s) cos t Agora, feitas todas essas contas e
determinantes das matrizes menores, podemos começar a simplificar essa
expressão gigante Logo de cara, vemos que todos os termos
aqui do nosso vetor resultante possuem o fator
(b + a cos s). Então, vamos
fatorar isso aqui. Teremos (b + a cos s), que multiplica
a cos s sen t . î + a cos s cos t vezes o versor j + a sen s sen²t
+ a sen s cos² t E tudo isso vezes
o nosso versor k. Aqui, no último componente k,
podemos ver que ambos os termos possuem
o fator a sen s, então, podemos
fatorar aqui, e obteremos a sen s,
que multiplica (sen²t + cos²t). Sabemos que esta expressão aqui
é a relação fundamental da trigonometria. Então, vamos cortar
aqui e por igual a 1 e este último termo é
simplificado em a sen s . k. E aqui, percebemos por que
temos tão poucos exemplos de integrais superfície, já que só
este produto vetorial aqui já se dá com um grande
trabalho algébrico, né? E agora, podemos finalmente
escrever essa função da forma mais
simplificada possível. Teremos (b + a cos s), que multiplica
a cos s . sen t î + a cos s . cos t vezes o versor
j + a sen s . k Até aqui, conseguimos obter
as derivadas parciais da parametrização
do nosso sólido e, também, realizar o produto vetorial
entre essas duas parciais. No próximo vídeo, iremos achar o
módulo deste vetor, E, por fim, iremos
integrá-lo duas vezes para encontrar a área
de superfície deste toro. E é isso, galera da Khan,
nós nos vemos por aqui.