Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3

RKA2JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Em alguma de nossas aulas, você deve ter visto uma lousa igual a esta, em que o propósito era descobrir a área da superfície do toro. E, a fim de calcular isso, foi necessário pegar a parametrização, a sua parcial em relação a "s" e em relação a "t", e depois calcular o produto vetorial. Agora, estamos prontos para pegar a magnitude desse produto vetorial. E depois vamos calcular isso dentro de uma integral dupla. Dessa forma teremos resolvido, ou, pelo menos, calculado uma integral de superfície. E geralmente é difícil de ver isso na carreira educacional, então, eu espero que esteja tão animado quanto eu sobre esse tema. Pois bem. Para pegar a magnitude do produto vetorial, primeiro precisamos lembrar que a magnitude de qualquer vetor é um tipo de teorema de Pitágoras. E nesta situação será a fórmula de distância, ou o teorema de Pitágoras em três dimensões. Um lembrete legal é que esta expressão que temos aqui embaixo é igual a "r" em relação a "t". Por isso eu vou colar aqui para ficar mais fácil a visualização. Agora, voltamos para o propósito principal, que é descobrir a magnitude. E nesta parte de baixo é um escalar que vai multiplicar as coisas, então, podemos colocar com o sinal de mais. Desta forma temos "b" mais o cosseno de "s", vezes a magnitude. E a magnitude vai ser a raiz quadrada destes termos vezes os próprios termos, ou a soma dos quadrados de cada um dos termos elevada à metade. Eu vou escrever como a soma dos quadrados. Dessa forma, temos (a² cos²s sen²t, mais a² cos²s cos²t, mais a² sen²s). E, como eu disse antes, será tudo isto elevado à metade, ou seja, 1/2. Isto tudo é o mesmo que a magnitude da parte de cima. É só um escalar que multiplica por ambos os termos. Agora vamos ver se conseguimos simplificar isso de alguma forma. Vou reescrever a segunda parte. Isso vai ser: (a² cos²s), vezes (sen²t + cos²t). E teremos isso, mais a²sen²s. E claro, tudo isso elevado a 1/2. Temos, agora, sen²t + cos²t. E isso é realmente ótimo para nós, porque isso é igual a 1. É uma das identidades trigonométricas mais básicas. Agora, esta expressão se simplifica para: (a² cos²s + a² sen²s) também elevado a 1/2. E você já deve ter percebido que podemos fatorar a². E é isso aí mesmo. Agora fica: (a² (cos²s + sen²s)) elevado a 1/2. E, mais uma vez, cos² + sen² de qualquer coisa vai ser igual a 1, desde que seja a mesma coisa. Por isso vamos ter 1 aqui. Por fim, temos a² elevado a 1/2, que se torna somente "a". Então, toda esta coisa maluca que temos, no fim, de forma simplificada, se torna "a". Agora, eu vou reescrever esta parte, ou seja, temos agora: ab + a² cos s. Já fomos bem longe aqui e eu, particularmente, acho super legal ir de um termo super gigantesco, talvez amedrontador, a algo razoavelmente simples. Para revisar o que precisamos fazer aqui, nós queremos calcular esta coisa que está sobre a região. Este "s" está sobre a região em que a superfície é definida, com um "s" que vai de zero a 2π. Então, queremos integrar esta parte sobre a região e vamos variar "s" de zero a 2π. Então, ds. E vamos variar "t" de zero a 2π. Então, dt. E é isso que calculamos. Calculamos a magnitude do produto vetorial destas duas derivadas parciais da nossa parametrização original. Então, podemos colocar dentro desta integral: ab + a² cos s. E, para calcular isso, vamos pegar a primitiva de dentro em relação a "s". Então, vou fazer isso do lado de fora da nossa integral. E vamos lidar com a variação de "t" de zero a 2π. A primitiva vai ser (abs + a²sen s), que é a primitiva do cosseno, e vamos calcular isso de zero a 2π. Com isso, vamos ter 2π ab, já que 2π junto com ab nos fornece isso. Mais o sen² 2π. sen 2π é zero, então, não teremos termo. Depois, menos zero vezes ab, que nos dá zero. Com isso, temos todos os nossos termos zero e simplificamos para 2π ab, que é o que sobrou para nós. Agora é só pegar a primitiva do que obtemos em relação a "t". E o que temos é uma constante. Então, vai ser igual à primitiva de 2π ab t. E calculamos isso de zero a 2π, que é igual a (2π)² vezes ab, menos zero vezes o termo, que vai dar zero. E finalizamos. Esta é a área da superfície do toro. E até empolga o momento em que chegamos nesta parte! Isto é igual a 4π² ab. Temos o 2π, que é meio que o diâmetro de um círculo, e calculamos ao quadrado. O que faz sentido, já que pegamos o produto, e de forma bem abstrata, de dois círculos e meio que pegamos o raio desses dois círculos. E todo o trabalho que temos aqui se resume a 4π² ab, o que é bem empolgante. Agora sabemos que, se temos um toro em que o raio da seção transversal é "a" e o raio entre centro do toro ao meio das seções transversais é "b", isso significa que a a área da superfície do toro vai ser igual a 4π² vezes "a" vezes "b". E é isso, pessoal. Espero que tenham aprendido, e até a próxima!