Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3

o Olá pessoal tudo bem em alguma de nossas aulas você deve ter visto uma Lusa igual a essa em que o propósito era descobrir a área da superfície do touro e Ordem de calcular isso for necessário pegar a parametrização a sua parcial em relação a essa e em relação até depois calcular o produto vetorial agora estamos prontos para pegar a magnitude desse produto vetorial e depois vamos calcular isso dentro de uma integral dupla dessa forma teremos resolvido Ou pelo menos calculado uma integral de superfície e geralmente é difícil de ver isso na carreira Educacional então eu espero que esteja tão animado quanto eu sobre esse tema Pois vem para pegar a magnitude do produto vetorial primeiro precisamos lembrar que a magnitude de qualquer vetor é um tipo de Teorema de Pitágoras e nessa situação ser a fórmula de distância ou o teorema de Pitágoras em três dimensões E um lembrete legal é que essa expressão que temos aqui embaixo = r e e por isso eu vou colar e para ficar mais fácil a visualização agora Voltamos para o propósito principal que é descobrir a magnitude e nessa parte de baixo é um escalar aqui Vai Multiplicar as coisas então podemos colocar com o sinal de mais dessa forma temos B mais o cosseno de S vezes a magnitude EA magnitude vai ser a raiz quadrada desses termos. Os próprios termos ou a soma dos quadrados de cada um dos termos elevado a metade eu vou escrever como a soma dos quadrados dessa forma temos a ao quadrado cosseno ao quadrado de S ser o quadrado de ter mais a ao quadrado cosseno ao quadrado de essa e cosseno ao quadrado de ter mais a ao quadrado seno ao quadrado de S e Como disse antes será tudo isso é levado a metade ou seja ou um sobre dois isso tudo é o mesmo que a magnitude da parte de cima é só um escalar que multiplica por ambos os termos agora vamos ver se conseguimos simplificar isso de alguma eu vou reescrever a segunda parte Isso vai ser a ao quadrado cosseno ao quadrado de X seno ao quadrado de ter mais o cosseno ao quadrado de p e teremos isso mas a ao quadrado sendo ao quadrado DS e claro tudo isso e levado a um sub dois temos agora serão ao quadrado de ter mais cosseno ao quadrado de ter isso é realmente ótimo para nós porque isso é igual a um é uma das identidades trigonométricas mais básicas agora essa expressão se simplifica para a ao quadrado cosseno ao quadrado de S mais a ao quadrado tendo ao quadrado DS também elevado a 1 sobre 2 e você já deve ter percebido que podemos faturar a ao quadrado e é isso aí mesmo agora fica ao quadrado cosseno ao quadrado de S + seno ao quadrado de S ^ um sub dois e mais uma vez cosseno ao quadrado + seno ao quadrado de qualquer coisa vai ser igual a um Desde que seja a mesma coisa por isso vamos te e por fim temos a ao quadrado e levado a um sub dois e se torna somente a então toda essa coisa maluca que temos no fim de forma simplificada se torna a agora eu vou reescrever essa parte ou seja temos agora AB mas a ao quadrado o cosseno de S e já fomos bem longe aqui e eu particularmente Acho super legal e de um temos super gigantesco talvez amedrontador a algo razoavelmente simples para revisar o que precisamos fazer aqui nós queremos calcular essa coisa que está sobre a região esse essa está sobre a região e que a superfície é definida com s que vai de 0 a 2 Pein então queremos integrar essa parte sobre a região e vamos variar de S de 0 a 2 Pein então DS e vamos variar te de 0 a 2 p então descer e é isso que calculamos calculamos a magnitude do produto vetorial dessas duas derivadas parciais da nossa parametrização original então podemos colocar dentro dessa integral AB mas a ao quadrado cosseno de S como calcular isso vamos pegar a primitiva de dentro em relação a s então eu vou fazer isso do lado de fora da nossa integral e vamos lidar com a variação de ter de 0 a 2 pi a primitiva vai ser ads mas a ao quadrado sendo DS que é a primitiva do Cosseno e vamos calcular isso de 0 a 2 p com isso vamos ser 2p iab já que dois filhos junto Cohab nos fornece isso mas o seno ao quadrado de 2 peguei o seno de 2pi é zero então não teremos termo depois menos 10 vezes sabe que nos dá zero com isso temos todos os nossos termos zero e simplificamos para 2p ie sabe que é o que sobrou para nós agora é só pegar a primitiva do que obtemos em relação a ter e o que temos é uma constante Então vai ser igual a primitiva d2bi a BT e calculamos isso de 0 a 2 p q = 2 pi ao quadrado vezes sabe menos 10 vezes o termo para zera e finalizamos essa é a área o tecido touro e até empolga o momento em que chegamos nessa parte isso = 4x ao quadrado AB temos o 2pi que é meio que o diâmetro de um círculo e calculamos ao quadrado o que faz sentido já que pegamos o produto e de forma bem abstrata de dois círculos e meio que pegamos o raio desses dois círculos e todo o trabalho que temos aqui se resume ao 4G ir ao quadrado sabe o que é bem empolgante e agora sabemos que se temos um touro em que o raio da seção transversal é a o raio entre o centro do touro ao meio das seções transversais é b Isso significa que a área da superfície do touro vai ser igual a 4 PI ao quadrado vezes a vezes b e é isso Pessoal espero que tenha aprendido e até a próxima