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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Em alguma de nossas aulas, você
deve ter visto uma lousa igual a esta, em que o propósito era descobrir
a área da superfície do toro. E, a fim de calcular isso, foi necessário
pegar a parametrização, a sua parcial em relação a "s"
e em relação a "t", e depois calcular o produto vetorial. Agora, estamos prontos para pegar
a magnitude desse produto vetorial. E depois vamos calcular isso
dentro de uma integral dupla. Dessa forma teremos resolvido, ou, pelo menos, calculado
uma integral de superfície. E geralmente é difícil de ver isso
na carreira educacional, então, eu espero que esteja tão animado
quanto eu sobre esse tema. Pois bem. Para pegar a magnitude
do produto vetorial, primeiro precisamos lembrar que
a magnitude de qualquer vetor é um tipo de teorema de Pitágoras. E nesta situação será
a fórmula de distância, ou o teorema de Pitágoras
em três dimensões. Um lembrete legal é que esta
expressão que temos aqui embaixo é igual a "r" em relação a "t". Por isso eu vou colar aqui para
ficar mais fácil a visualização. Agora, voltamos para
o propósito principal, que é descobrir a magnitude. E nesta parte de baixo é um escalar
que vai multiplicar as coisas, então, podemos colocar
com o sinal de mais. Desta forma temos "b"
mais o cosseno de "s", vezes a magnitude. E a magnitude vai ser a raiz quadrada
destes termos vezes os próprios termos, ou a soma dos quadrados de cada
um dos termos elevada à metade. Eu vou escrever como a soma dos quadrados. Dessa forma, temos (a² cos²s sen²t, mais a² cos²s cos²t, mais a² sen²s). E, como eu disse antes,
será tudo isto elevado à metade, ou seja, 1/2. Isto tudo é o mesmo que
a magnitude da parte de cima. É só um escalar que multiplica
por ambos os termos. Agora vamos ver se conseguimos
simplificar isso de alguma forma. Vou reescrever a segunda parte. Isso vai ser: (a² cos²s), vezes (sen²t + cos²t). E teremos isso,
mais a²sen²s. E claro, tudo isso elevado a 1/2. Temos, agora,
sen²t + cos²t. E isso é realmente ótimo para nós,
porque isso é igual a 1. É uma das identidades trigonométricas
mais básicas. Agora, esta expressão
se simplifica para: (a² cos²s + a² sen²s) também elevado a 1/2. E você já deve ter percebido
que podemos fatorar a². E é isso aí mesmo. Agora fica: (a² (cos²s + sen²s)) elevado a 1/2. E, mais uma vez, cos² + sen²
de qualquer coisa vai ser igual a 1, desde que seja a mesma coisa. Por isso vamos ter 1 aqui. Por fim, temos a² elevado a 1/2, que se torna somente "a". Então, toda esta coisa maluca que temos, no fim, de forma simplificada,
se torna "a". Agora, eu vou reescrever esta parte,
ou seja, temos agora: ab + a² cos s. Já fomos bem longe aqui e eu,
particularmente, acho super legal ir de um termo super gigantesco,
talvez amedrontador, a algo razoavelmente simples. Para revisar o que precisamos fazer aqui, nós queremos calcular esta
coisa que está sobre a região. Este "s" está sobre a região
em que a superfície é definida, com um "s" que vai de zero a 2π. Então, queremos integrar
esta parte sobre a região e vamos variar "s" de zero a 2π. Então, ds. E vamos variar "t" de zero a 2π. Então, dt. E é isso que calculamos. Calculamos a magnitude do produto vetorial destas duas derivadas parciais
da nossa parametrização original. Então, podemos colocar dentro
desta integral: ab + a² cos s. E, para calcular isso, vamos pegar
a primitiva de dentro em relação a "s". Então, vou fazer isso do lado
de fora da nossa integral. E vamos lidar com a variação
de "t" de zero a 2π. A primitiva vai ser (abs + a²sen s), que é a primitiva do cosseno, e vamos calcular isso de zero a 2π. Com isso, vamos ter 2π ab, já que
2π junto com ab nos fornece isso. Mais o sen² 2π. sen 2π é zero,
então, não teremos termo. Depois, menos zero vezes ab,
que nos dá zero. Com isso, temos todos
os nossos termos zero e simplificamos para 2π ab,
que é o que sobrou para nós. Agora é só pegar a primitiva
do que obtemos em relação a "t". E o que temos é uma constante. Então, vai ser igual
à primitiva de 2π ab t. E calculamos isso de zero a 2π, que é igual a (2π)² vezes ab, menos zero vezes o termo,
que vai dar zero. E finalizamos. Esta é a área da superfície do toro. E até empolga o momento
em que chegamos nesta parte! Isto é igual a 4π² ab. Temos o 2π, que é meio que
o diâmetro de um círculo, e calculamos ao quadrado. O que faz sentido, já que
pegamos o produto, e de forma bem abstrata, de dois círculos e meio que pegamos
o raio desses dois círculos. E todo o trabalho que temos aqui se resume a 4π² ab,
o que é bem empolgante. Agora sabemos que, se temos um toro
em que o raio da seção transversal é "a" e o raio entre centro do toro
ao meio das seções transversais é "b", isso significa que a a área
da superfície do toro vai ser igual a 4π² vezes "a" vezes "b". E é isso, pessoal. Espero que tenham aprendido,
e até a próxima!