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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Introdução à integral de superfície
Introdução à integral de superfície. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos começar a conversar
sobre a integral de superfície. Mas para isso é importante relembrar
que no último vídeo chegamos a esses dois resultados aqui, em que calculamos a derivada parcial de uma função
vetorial e encontramos esses dois resultados. Essas são as duas ferramentas que precisamos ter
para compreender a integral de superfície. Sabendo disso, vamos
desenhar aqui o plano (s,t) e depois ver como ele é transformado
nessa superfície r. Então vamos fazer isso. Vamos dizer que esse é o eixo t
e digamos que esse seja o eixo s. Vamos dizer que a nossa função vetorial
é definida a partir de s entre “a” e “b”. Eu estou pegando apenas
limites arbitrários, ok? E entre t
estando entre “c” e “d”. Assim, se você pegar qualquer t
e qualquer s nesse retângulo aqui, a área em questão aqui será mapeada
nessa parte da região. Se mapear cada um dos pontos,
você acabará obtendo superfície r. Então vamos desenhar a superfície r aqui
em três dimensões. Para fazer isso colocamos aqui o nosso eixo X,
o nosso eixo Y e depois o eixo Z, algo mais ou menos assim. Agora vamos supor
que a gente pegue esse ponto aqui, em que s é igual a “a”
e t é igual a “c”. Lembre-se: nós iremos desenhar a superfície indicada
pela função vetorial da posição, ou seja, r(s,t). Portanto esse ponto aqui,
quando s é “a” e t é “c”, talvez se refira a
esse ponto aqui. Isso é apenas um chute, claro. Quando pegar “a” e “c”
e coloca nessa região aqui, você vai obter o vetor
que aponta para esse ponto. Sendo assim,
você pode dizer que esse ponto vai nos dar um vetor posição
que aponta para essa posição e então vamos dizer
que essa linha bem aqui, se nós fôssemos manter
s constante em “a” e se fôssemos apenas variar
t de “c” até “d”, talvez isso se parecesse
com algo assim. Eu só estou desenhando
alguns contornos arbitrários, ok? E talvez, se a gente mantiver
t constante em “c” e variar s
de “a” até “b”, talvez isso possa se parecer
com algo assim. É bom deixar claro que eu
só estou tentando mostrar um exemplo. Sendo assim, esse ponto seria correspondente
a um ponto aqui do outro lado, ou seja, quando o coloca
na função vetorial r você obtém um vetor que aponta
para esse ponto, desse jeito aqui, e esse outro ponto,
quando você avaliar r(s,t), vai dar um vetor que aponta
para ele aqui do outro lado. A gente pode fazer outros pontos, só para
ter uma ideia de como a superfície se parece, embora eu esteja tentando manter
as coisas o mais geral possível. Se mantivermos t em “d”
e variarmos s de “a” até “b”, nós começaremos aqui, isto é, quando t é “d”
e s é “a”. E então, quando a gente variar s, talvez a gente tenha algo assim,
mais ou menos desse jeito. Então esse ponto aqui seria correspondente a um vetor
que aponta para esse ponto bem aqui. Depois finalmente podemos
obter mais uma linha mantendo s em “b”
e variando t entre “c” e “d”. Nós iremos desse ponto
até esse outro ponto, já que estamos mantendo
s constante em “b” e estamos variando
t de “c” até “d”. Fazendo tudo isso
temos nossa superfície, algo que surgiu quando a gente transformou
essa agradável área retangular nessa superfície de aparência
um tanto quanto estranha. Agora a gente poderia desenhar
outras coisas aqui. Por exemplo, vamos dizer
que pegamos um valor arbitrário. Vamos manter s constante aqui
e variar t. Talvez a gente encontre
algo mais ou menos assim. Talvez isso se pareça com algo... bem, não sei, isso é só
para você ter uma ideia de como a superfície
pode ser parecer. Agora, dado isso, eu quero pensar
sobre o que essas quantidades são. Quando a gente visualizar
o significado dessas quantidades seremos capazes de usar os resultados dos últimos vídeos
para fazer algo que será muito útil. Vamos dizer que escolhemos
s e t arbitrários. Por exemplo, vamos pegar esse ponto aqui.
Esse ponto é (s,t). Se você fosse colocar esses valores aqui, talvez ele estivesse
se referindo a esse ponto aqui. Sendo assim, esse ponto aqui é r(s,t)
para um (s,t) particular. Eu poderia deixar destacado
o que é um s e t específico, mas eu quero que isso seja bem geral. Eu poderia chamar
isso aqui de x e y. Assim, seria r(x,y), que seria
esse ponto aqui, nesse caso. Mas enfim, vamos ver o que acontece
se a gente se mover apenas na direção s. Nós podemos fazer isso
pegando um s e avançando uma quantidade
muito pequena de s. Como é algo muito pequeno,
vamos chamar isso de s mais um pequeno diferencial em s. Então esse ponto aqui
é o ponto s mais o diferencial de s. Eu poderia escrever "delta s", mas como eu quero uma variação
muito pequena de s, vou escrever assim. E isso 'vírgula t'. Isso vai fazer referência ao quê? Se aplicarmos esses dois pontos em r
vamos obter algo que talvez esteja bem aqui. Eu quero ser bem claro:
isso aqui é r(s+ds,t). Esse é o ponto em que deslocamos s
por um diferencial muito pequeno, essa distância aqui,
que você pode ver como ds, que é uma variação
muito pequena em s. Assim, quando você mapeá-la ou transformá-la,
ou colocar aquele ponto na nossa função vetorial teremos uma boa imagem
do que estamos falando esse tempo todo. Vamos colocar a função
vetorial original aqui embaixo? Vai ficar melhor
para a gente compreender. Só para ficar bem claro
sobre o que está acontecendo, quando pegamos
esse ponto azul aqui, esse (s,t), e colocamos os valores de ST aqui, obtemos um vetor que aponta
para esse ponto da superfície. Quando adicionamos
um ds para os valores de s, obtemos um vetor que aponta
para esse outro ponto aqui. Agora, sim, podemos voltar aos resultados
que encontramos na última aula. r(s+Δs), ou s(r+ds), afinal é o diferencial de (s,t),
é isso aqui. Nós estamos falando disso aqui,
do vetor que aponta para essa posição. Esse aqui é um vetor que aponta
para essa posição azul. OK, beleza. Sabendo disso, qual é a diferença
entre esses dois vetores? A gente precisa de um pouco
de matemática vetorial básica, e é algo de que
talvez você se lembre. A diferença entre esses dois vetores
será esse vetor. Se subtrair desse vetor este vetor,
você obtém esse outro vetor aqui. Esse vetor azul mais o vetor laranja
é igual a esse vetor. Então é isso
que esse vetor representa. Agora vamos fazer a mesma
coisa na direção t. A gente tem esse
ponto (s,t). Se a gente subir
um pouco nesse sentido teremos uma pequena variação em t,
que aponta para cá. Essa distância aqui é dt. Você pode vê-la
dessa forma. Se você colocar s e t+dt
na nossa função vetorial, o que teremos? Vamos obter um vetor que talvez
aponte para esse ponto aqui. Então teremos um vetor
que aponta para essa posição. Agora com o mesmo argumento
que usamos com s, esse ponto ou vetor que aponta
para ele, isto é, r(s,t+dt) é exatamente a mesma coisa
que isso aqui. Com certeza isso
nós já vimos antes. Isso é a mesma coisa que isso aqui. Então, qual é o resultado desse vetor
menos esse outro vetor aqui? Ou seja, o vetor rosa
menos o vetor azul? Mais uma vez vamos fazer uma espécie
de revisão de edição de vetores. Teremos um vetor que
se parece com isso, e como você pode imaginar, se pegar o vetor azul e
somar com o vetor branco teremos esse vetor rosa. Portanto faz sentido o vetor rosa
menos o vetor azul ser igual a esse vetor branco. Bem, algo interessante
está acontecendo aqui. Eu tenho esses dois vetores. Esse é um vetor que, de certa maneira,
está indo ao longo dessa superfície parametrizada quando nós variarmos s
em uma quantidade muito pequena e esse é um vetor que vai
ao longo da nossa superfície se nós variarmos o nosso t
em uma quantidade muito pequena. Agora você pode
ou não se lembrar disso, mas se eu pegar dois vetores
e calcular o produto vetorial entre eles teremos um terceiro vetor que
é perpendicular a ambos. Se a gente pegar o módulo, ou seja,
a magnitude desse vetor resultante teremos um valor que é igual à área de um
paralelogramo definido por “a” e “b”. Mas afinal, o que isso
quer dizer? Bem, se esse é o vetor “a” e esse é o vetor “b”
e você calcular o produto vetorial entre eles, você vai obter um terceiro vetor,
um vetor que é perpendicular a ambos. Dessa forma ele vai como que
ficar apontado para fora da tela. Esse vetor é o resultado
do produto vetorial entre “a” e “b”, mas a magnitude dele está dizendo
o tamanho desse vetor, o comprimento dele, e isso tem o mesmo valor numérico
da área do paralelogramo definido por “a” e “b”. Eu já fiz a demonstração sobre isso
em diversos vídeos de álgebra linear e não vou fazer isso novamente
para não deixar este vídeo muito longo. Mas só como uma pequena revisão,
sem entrar em muitos detalhes, para obter o paralelogramo
definido por “a” e “b” basta imaginar que a gente
tenha “a” e “b” aqui. Assim a gente pega uma versão
paralela de “a”, coloca aqui, e também coloca uma versão
paralela de “b” aqui. Assim teremos o paralelogramo
definido por “a” e “b”. Mas enfim, voltando à nossa superfície
que estamos utilizando como exemplo, se fôssemos calcular o módulo do produto vetorial
desse vetor laranja com esse vetor branco a gente encontraria a área superficial do
paralelogramo definido por esses dois vetores. Se eu pegar esse vetor, projetá-lo aqui
e fazer o mesmo com esse outro vetor teremos esse paralelogramo. Ao calcular o módulo do produto
vetorial entre esses dois teremos a área desse paralelogramo. Agora uma coisa
que não podemos esquecer é que estamos falando
de variações muito pequenas. Então como você pode imaginar,
também teremos aqui uma superfície que pode ser dividida
em variações muito pequenas, ou seja, teremos muitos
pequenos paralelogramos, ou muitos paralelogramos infinitesimais, e quanto mais desses paralelogramos
a gente tiver, melhor, já que assim teremos uma aproximação
melhor para nossa superfície. Isso não é diferente de quando
olhamos para as integrais. Nós realizamos uma aproximação da área
sob a curva utilizando vários retângulos. Quanto mais retângulos tivermos, melhor. Sabendo disso, vamos chamar essa pequena variação
da nossa superfície de dσ [d-sigma], que é uma variação pequena, ou
uma pequena quantidade da nossa superfície. Poderíamos até dizer
que a área superficial da superfície será a soma infinita de todos
esses infinitamente pequenos dσ. Mas será que existe
uma notação para isso? Existe sim. Podemos colocar aqui que a área
da superfície é igual a... Podemos integrar sobre a superfície e a notação que utilizamos, geralmente,
para uma superfície é um sigma maiúsculo. Afinal, você está integrando na superfície
e faz uma integral dupla, porque vai
em duas direções, certo? Uma superfície é uma espécie
de estrutura bidimensional dobrada. Para calcular a área superficial
dessa superfície, você vai calcular a
soma infinita de todos os dσ. Então isso é a área superficial
e isso é o que um dσ é. Agora que já
compreendemos isso aqui, será que podemos representar
esse dσ de outra forma? Sim, e vamos
fazer isso aqui agora. A gente pode representar esse dσ,
essa pequena área do pequeno paralelogramo, através do módulo do produto vetorial
entre esses dois vetores. Sendo assim, eu vou escrevê-lo aqui
e fazer esse cálculo. Não vamos usar uma
matemática muito rigorosa, mas isso vai nos dar uma intuição pouco melhor
sobre o que a integral da superfície trata. Podemos escrever,
então, que um dσ é igual ao módulo do produto vetorial
entre o vetor laranja e o vetor branco. Porém podemos escrever isso com
os resultados que encontramos no último vídeo, ou seja, podemos colocar aqui
a parcial de r em relação a s ds. Não podemos esquecer das barras, porque
estamos falando do módulo do produto vetorial. O produto vetorial por si só
nos fornece um vetor e isso será útil quando a gente começar a fazer
a integral de superfície da função vetorial. Enfim, o vetor laranja
é o mesmo que isso aqui e queremos o produto vetorial disso
com o vetor branco. Esse vetor é o mesmo
que aquilo que vimos antes, que é a mesma coisa que isso aqui. Asim podemos colocar aqui a parcial de r
com relação a t dt. Vimos que se calcularmos
a magnitude disso teremos que isso é igual
à nossa pequena variação na área, ou a área desse pequeno
paralelogramo aqui. Agora talvez você não se lembre,
mas para ser bem claro aqui, nós temos dois vetores, certo? E quando você calcula a derivada parcial
de uma função vetorial teremos como resultado
algo que ainda é um vetor e ds e dt são valores escalares.
Você deve se lembrar da álgebra linear, de que quando está realizando um produto vetorial
entre dois vetores multiplicados por escalares você pode tirar os escalares
do produto vetorial. Sendo assim, se a gente pegar esses dois escalares,
ds e dt, e os fatorarmos, podemos colocá-los fora
do produto vetorial. Assim teremos que tudo isso aqui é igual
ao módulo do produto vetorial entre parcial de r
com relação a s e a parcial de r
em relação a t. Assim, multiplicamos tudo isso
com esses dois caras aqui, ou seja, com ds e dt.
Eu escrevi isso aqui, que a nossa área superficial é igual
à soma de todos esses pequenos dσ e não há nenhuma maneira óbvia
de avaliar isso. Porém, nós sabemos que todos os dσ
juntos nesse somatório acabam sendo a mesma coisa
que se você pegasse todos os ds e todos os dt. Então, se você pegar
um ds vezes um dt e multiplicar isso com o módulo do produto vetorial
entre as derivadas parciais, teremos a área. Se os somarmos ao longo de toda a região
teremos todos os paralelogramos nessa região e assim encontraremos
a área superficial. Eu sei que tudo isso
é um pouco complicado e você precisa refletir
sobre isso um pouco, afinal, intervalos superficiais são
uma das coisas mais difíceis de visualizar. Mas eu espero
que tudo isso faça sentido. Sabendo disso, podemos
dizer que essa coisa aqui, a soma de todos os pequenos paralelogramos na região,
ou a área superficial, será igual a... Em vez de calcular a soma
sobre a superfície, vamos calcular a soma de todos os ds
vezes dt sobre essa região aqui. E claro, também iremos calcular
esse produto vetorial. Nós sabemos como fazer isso.
Isso é uma integral dupla. Iremos calcular a integral dupla
sobre essa região, ou essa área bem aqui. Essa área é a mesma
que toda a área dessa figura. Assim, colocamos aqui o produto vetorial
da parcial de r em relação a s com a parcial de r
em relação a t. E claro, não podemos esquecer
do ds e do dt. Então basta fazer o cálculo. Eu sei, isso parece
um pouco complicado, mas o interessante aqui
é que a gente foi capaz de expressar essa coisa chamada integral de superfície
em algo que podemos calcular. Nos próximos vídeos eu vou mostrar
exemplos de como fazer esse cálculo. Agora uma coisa
que é importante deixar claro é que isso aqui apenas
nos fornece a área superficial, ou seja, o que fizemos
em ambas as expressões foi descobrir a área superficial
de cada um dos paralelogramos e depois somamos
todas essas áreas. Isso foi o que fizemos. Mas e se, associado a cada um dos pequenos
paralelogramos, tivermos algum valor em que esse valor é definido
por uma terceira função f(x,y,z)? Assim, cada paralelogramo muito pequeno
está em torno de um ponto em que você pode dizer que no espaço
tridimensional esse ponto é o centro disso. E então o que devemos fazer caso a gente
tenha uma outra função f(x,y,z) que terá o valor desse ponto? O que precisamos fazer nesse caso
é multiplicar cada um dos paralelogramos pelo valor da função
nesse determinado ponto. Com isso em mente podemos imaginar
que aqui nesse caso temos uma função
que possui um valor 1. Sendo assim, estamos multiplicando
cada um dos paralelogramos por 1, mas não podemos esquecer que
estamos multiplicando cada um dos pequenos
paralelogramos por f(x,y,z), ou seja, teremos essa função dσ.
Isso será exatamente a mesma coisa, em que isso é cada um dos paralelogramos,
só que iremos multiplicá-los por f(x,y,z). Sendo assim, isso vai ser igual
à integral sobre a área, sobre a região de f(x,y,z) vezes a magnitude do produto vetorial
entre a parcial de r em relação a s e a parcial de r
em relação a t, ds/dt. Espero que a gente possa expressar
essa função em termos de s e t porque temos uma parametrização
em relação a isso. Onde quer que a gente veja um x,
x é uma função de s e t. O mesmo com y e z,
já que y é uma função de (s,t) e z é uma função de (s,t). Eu sei que isso pode parecer
um pouco complicado e difícil, mas isso tem muitas aplicações,
principalmente na física. Então por isso que é importante
compreender muito bem. Então mesmo que seja difícil
visualizar isso em outras áreas, é interessante sempre visualizar
como se fosse uma área superficial. Fica mais fácil desse jeito. Enfim, nos próximos vídeos
vamos ver exemplos e compreender um pouco melhor
como realizar esses cálculos. Quero deixar aqui para você um grande abraço,
e dizer que encontro você na próxima!