Introdução à integral de superfície

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos começar a conversar sobre a integral de superfície. Mas para isso é importante relembrar que no último vídeo chegamos a esses dois resultados aqui, em que calculamos a derivada parcial de uma função vetorial e encontramos esses dois resultados. Essas são as duas ferramentas que precisamos ter para compreender a integral de superfície. Sabendo disso, vamos desenhar aqui o plano (s,t) e depois ver como ele é transformado nessa superfície r. Então vamos fazer isso. Vamos dizer que esse é o eixo t e digamos que esse seja o eixo s. Vamos dizer que a nossa função vetorial é definida a partir de s entre “a” e “b”. Eu estou pegando apenas limites arbitrários, ok? E entre t estando entre “c” e “d”. Assim, se você pegar qualquer t e qualquer s nesse retângulo aqui, a área em questão aqui será mapeada nessa parte da região. Se mapear cada um dos pontos, você acabará obtendo superfície r. Então vamos desenhar a superfície r aqui em três dimensões. Para fazer isso colocamos aqui o nosso eixo X, o nosso eixo Y e depois o eixo Z, algo mais ou menos assim. Agora vamos supor que a gente pegue esse ponto aqui, em que s é igual a “a” e t é igual a “c”. Lembre-se: nós iremos desenhar a superfície indicada pela função vetorial da posição, ou seja, r(s,t). Portanto esse ponto aqui, quando s é “a” e t é “c”, talvez se refira a esse ponto aqui. Isso é apenas um chute, claro. Quando pegar “a” e “c” e coloca nessa região aqui, você vai obter o vetor que aponta para esse ponto. Sendo assim, você pode dizer que esse ponto vai nos dar um vetor posição que aponta para essa posição e então vamos dizer que essa linha bem aqui, se nós fôssemos manter s constante em “a” e se fôssemos apenas variar t de “c” até “d”, talvez isso se parecesse com algo assim. Eu só estou desenhando alguns contornos arbitrários, ok? E talvez, se a gente mantiver t constante em “c” e variar s de “a” até “b”, talvez isso possa se parecer com algo assim. É bom deixar claro que eu só estou tentando mostrar um exemplo. Sendo assim, esse ponto seria correspondente a um ponto aqui do outro lado, ou seja, quando o coloca na função vetorial r você obtém um vetor que aponta para esse ponto, desse jeito aqui, e esse outro ponto, quando você avaliar r(s,t), vai dar um vetor que aponta para ele aqui do outro lado. A gente pode fazer outros pontos, só para ter uma ideia de como a superfície se parece, embora eu esteja tentando manter as coisas o mais geral possível. Se mantivermos t em “d” e variarmos s de “a” até “b”, nós começaremos aqui, isto é, quando t é “d” e s é “a”. E então, quando a gente variar s, talvez a gente tenha algo assim, mais ou menos desse jeito. Então esse ponto aqui seria correspondente a um vetor que aponta para esse ponto bem aqui. Depois finalmente podemos obter mais uma linha mantendo s em “b” e variando t entre “c” e “d”. Nós iremos desse ponto até esse outro ponto, já que estamos mantendo s constante em “b” e estamos variando t de “c” até “d”. Fazendo tudo isso temos nossa superfície, algo que surgiu quando a gente transformou essa agradável área retangular nessa superfície de aparência um tanto quanto estranha. Agora a gente poderia desenhar outras coisas aqui. Por exemplo, vamos dizer que pegamos um valor arbitrário. Vamos manter s constante aqui e variar t. Talvez a gente encontre algo mais ou menos assim. Talvez isso se pareça com algo... bem, não sei, isso é só para você ter uma ideia de como a superfície pode ser parecer. Agora, dado isso, eu quero pensar sobre o que essas quantidades são. Quando a gente visualizar o significado dessas quantidades seremos capazes de usar os resultados dos últimos vídeos para fazer algo que será muito útil. Vamos dizer que escolhemos s e t arbitrários. Por exemplo, vamos pegar esse ponto aqui. Esse ponto é (s,t). Se você fosse colocar esses valores aqui, talvez ele estivesse se referindo a esse ponto aqui. Sendo assim, esse ponto aqui é r(s,t) para um (s,t) particular. Eu poderia deixar destacado o que é um s e t específico, mas eu quero que isso seja bem geral. Eu poderia chamar isso aqui de x e y. Assim, seria r(x,y), que seria esse ponto aqui, nesse caso. Mas enfim, vamos ver o que acontece se a gente se mover apenas na direção s. Nós podemos fazer isso pegando um s e avançando uma quantidade muito pequena de s. Como é algo muito pequeno, vamos chamar isso de s mais um pequeno diferencial em s. Então esse ponto aqui é o ponto s mais o diferencial de s. Eu poderia escrever "delta s", mas como eu quero uma variação muito pequena de s, vou escrever assim. E isso 'vírgula t'. Isso vai fazer referência ao quê? Se aplicarmos esses dois pontos em r vamos obter algo que talvez esteja bem aqui. Eu quero ser bem claro: isso aqui é r(s+ds,t). Esse é o ponto em que deslocamos s por um diferencial muito pequeno, essa distância aqui, que você pode ver como ds, que é uma variação muito pequena em s. Assim, quando você mapeá-la ou transformá-la, ou colocar aquele ponto na nossa função vetorial teremos uma boa imagem do que estamos falando esse tempo todo. Vamos colocar a função vetorial original aqui embaixo? Vai ficar melhor para a gente compreender. Só para ficar bem claro sobre o que está acontecendo, quando pegamos esse ponto azul aqui, esse (s,t), e colocamos os valores de ST aqui, obtemos um vetor que aponta para esse ponto da superfície. Quando adicionamos um ds para os valores de s, obtemos um vetor que aponta para esse outro ponto aqui. Agora, sim, podemos voltar aos resultados que encontramos na última aula. r(s+Δs), ou s(r+ds), afinal é o diferencial de (s,t), é isso aqui. Nós estamos falando disso aqui, do vetor que aponta para essa posição. Esse aqui é um vetor que aponta para essa posição azul. OK, beleza. Sabendo disso, qual é a diferença entre esses dois vetores? A gente precisa de um pouco de matemática vetorial básica, e é algo de que talvez você se lembre. A diferença entre esses dois vetores será esse vetor. Se subtrair desse vetor este vetor, você obtém esse outro vetor aqui. Esse vetor azul mais o vetor laranja é igual a esse vetor. Então é isso que esse vetor representa. Agora vamos fazer a mesma coisa na direção t. A gente tem esse ponto (s,t). Se a gente subir um pouco nesse sentido teremos uma pequena variação em t, que aponta para cá. Essa distância aqui é dt. Você pode vê-la dessa forma. Se você colocar s e t+dt na nossa função vetorial, o que teremos? Vamos obter um vetor que talvez aponte para esse ponto aqui. Então teremos um vetor que aponta para essa posição. Agora com o mesmo argumento que usamos com s, esse ponto ou vetor que aponta para ele, isto é, r(s,t+dt) é exatamente a mesma coisa que isso aqui. Com certeza isso nós já vimos antes. Isso é a mesma coisa que isso aqui. Então, qual é o resultado desse vetor menos esse outro vetor aqui? Ou seja, o vetor rosa menos o vetor azul? Mais uma vez vamos fazer uma espécie de revisão de edição de vetores. Teremos um vetor que se parece com isso, e como você pode imaginar, se pegar o vetor azul e somar com o vetor branco teremos esse vetor rosa. Portanto faz sentido o vetor rosa menos o vetor azul ser igual a esse vetor branco. Bem, algo interessante está acontecendo aqui. Eu tenho esses dois vetores. Esse é um vetor que, de certa maneira, está indo ao longo dessa superfície parametrizada quando nós variarmos s em uma quantidade muito pequena e esse é um vetor que vai ao longo da nossa superfície se nós variarmos o nosso t em uma quantidade muito pequena. Agora você pode ou não se lembrar disso, mas se eu pegar dois vetores e calcular o produto vetorial entre eles teremos um terceiro vetor que é perpendicular a ambos. Se a gente pegar o módulo, ou seja, a magnitude desse vetor resultante teremos um valor que é igual à área de um paralelogramo definido por “a” e “b”. Mas afinal, o que isso quer dizer? Bem, se esse é o vetor “a” e esse é o vetor “b” e você calcular o produto vetorial entre eles, você vai obter um terceiro vetor, um vetor que é perpendicular a ambos. Dessa forma ele vai como que ficar apontado para fora da tela. Esse vetor é o resultado do produto vetorial entre “a” e “b”, mas a magnitude dele está dizendo o tamanho desse vetor, o comprimento dele, e isso tem o mesmo valor numérico da área do paralelogramo definido por “a” e “b”. Eu já fiz a demonstração sobre isso em diversos vídeos de álgebra linear e não vou fazer isso novamente para não deixar este vídeo muito longo. Mas só como uma pequena revisão, sem entrar em muitos detalhes, para obter o paralelogramo definido por “a” e “b” basta imaginar que a gente tenha “a” e “b” aqui. Assim a gente pega uma versão paralela de “a”, coloca aqui, e também coloca uma versão paralela de “b” aqui. Assim teremos o paralelogramo definido por “a” e “b”. Mas enfim, voltando à nossa superfície que estamos utilizando como exemplo, se fôssemos calcular o módulo do produto vetorial desse vetor laranja com esse vetor branco a gente encontraria a área superficial do paralelogramo definido por esses dois vetores. Se eu pegar esse vetor, projetá-lo aqui e fazer o mesmo com esse outro vetor teremos esse paralelogramo. Ao calcular o módulo do produto vetorial entre esses dois teremos a área desse paralelogramo. Agora uma coisa que não podemos esquecer é que estamos falando de variações muito pequenas. Então como você pode imaginar, também teremos aqui uma superfície que pode ser dividida em variações muito pequenas, ou seja, teremos muitos pequenos paralelogramos, ou muitos paralelogramos infinitesimais, e quanto mais desses paralelogramos a gente tiver, melhor, já que assim teremos uma aproximação melhor para nossa superfície. Isso não é diferente de quando olhamos para as integrais. Nós realizamos uma aproximação da área sob a curva utilizando vários retângulos. Quanto mais retângulos tivermos, melhor. Sabendo disso, vamos chamar essa pequena variação da nossa superfície de dσ [d-sigma], que é uma variação pequena, ou uma pequena quantidade da nossa superfície. Poderíamos até dizer que a área superficial da superfície será a soma infinita de todos esses infinitamente pequenos dσ. Mas será que existe uma notação para isso? Existe sim. Podemos colocar aqui que a área da superfície é igual a... Podemos integrar sobre a superfície e a notação que utilizamos, geralmente, para uma superfície é um sigma maiúsculo. Afinal, você está integrando na superfície e faz uma integral dupla, porque vai em duas direções, certo? Uma superfície é uma espécie de estrutura bidimensional dobrada. Para calcular a área superficial dessa superfície, você vai calcular a soma infinita de todos os dσ. Então isso é a área superficial e isso é o que um dσ é. Agora que já compreendemos isso aqui, será que podemos representar esse dσ de outra forma? Sim, e vamos fazer isso aqui agora. A gente pode representar esse dσ, essa pequena área do pequeno paralelogramo, através do módulo do produto vetorial entre esses dois vetores. Sendo assim, eu vou escrevê-lo aqui e fazer esse cálculo. Não vamos usar uma matemática muito rigorosa, mas isso vai nos dar uma intuição pouco melhor sobre o que a integral da superfície trata. Podemos escrever, então, que um dσ é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor laranja e o vetor branco. Porém podemos escrever isso com os resultados que encontramos no último vídeo, ou seja, podemos colocar aqui a parcial de r em relação a s ds. Não podemos esquecer das barras, porque estamos falando do módulo do produto vetorial. O produto vetorial por si só nos fornece um vetor e isso será útil quando a gente começar a fazer a integral de superfície da função vetorial. Enfim, o vetor laranja é o mesmo que isso aqui e queremos o produto vetorial disso com o vetor branco. Esse vetor é o mesmo que aquilo que vimos antes, que é a mesma coisa que isso aqui. Asim podemos colocar aqui a parcial de r com relação a t dt. Vimos que se calcularmos a magnitude disso teremos que isso é igual à nossa pequena variação na área, ou a área desse pequeno paralelogramo aqui. Agora talvez você não se lembre, mas para ser bem claro aqui, nós temos dois vetores, certo? E quando você calcula a derivada parcial de uma função vetorial teremos como resultado algo que ainda é um vetor e ds e dt são valores escalares. Você deve se lembrar da álgebra linear, de que quando está realizando um produto vetorial entre dois vetores multiplicados por escalares você pode tirar os escalares do produto vetorial. Sendo assim, se a gente pegar esses dois escalares, ds e dt, e os fatorarmos, podemos colocá-los fora do produto vetorial. Assim teremos que tudo isso aqui é igual ao módulo do produto vetorial entre parcial de r com relação a s e a parcial de r em relação a t. Assim, multiplicamos tudo isso com esses dois caras aqui, ou seja, com ds e dt. Eu escrevi isso aqui, que a nossa área superficial é igual à soma de todos esses pequenos dσ e não há nenhuma maneira óbvia de avaliar isso. Porém, nós sabemos que todos os dσ juntos nesse somatório acabam sendo a mesma coisa que se você pegasse todos os ds e todos os dt. Então, se você pegar um ds vezes um dt e multiplicar isso com o módulo do produto vetorial entre as derivadas parciais, teremos a área. Se os somarmos ao longo de toda a região teremos todos os paralelogramos nessa região e assim encontraremos a área superficial. Eu sei que tudo isso é um pouco complicado e você precisa refletir sobre isso um pouco, afinal, intervalos superficiais são uma das coisas mais difíceis de visualizar. Mas eu espero que tudo isso faça sentido. Sabendo disso, podemos dizer que essa coisa aqui, a soma de todos os pequenos paralelogramos na região, ou a área superficial, será igual a... Em vez de calcular a soma sobre a superfície, vamos calcular a soma de todos os ds vezes dt sobre essa região aqui. E claro, também iremos calcular esse produto vetorial. Nós sabemos como fazer isso. Isso é uma integral dupla. Iremos calcular a integral dupla sobre essa região, ou essa área bem aqui. Essa área é a mesma que toda a área dessa figura. Assim, colocamos aqui o produto vetorial da parcial de r em relação a s com a parcial de r em relação a t. E claro, não podemos esquecer do ds e do dt. Então basta fazer o cálculo. Eu sei, isso parece um pouco complicado, mas o interessante aqui é que a gente foi capaz de expressar essa coisa chamada integral de superfície em algo que podemos calcular. Nos próximos vídeos eu vou mostrar exemplos de como fazer esse cálculo. Agora uma coisa que é importante deixar claro é que isso aqui apenas nos fornece a área superficial, ou seja, o que fizemos em ambas as expressões foi descobrir a área superficial de cada um dos paralelogramos e depois somamos todas essas áreas. Isso foi o que fizemos. Mas e se, associado a cada um dos pequenos paralelogramos, tivermos algum valor em que esse valor é definido por uma terceira função f(x,y,z)? Assim, cada paralelogramo muito pequeno está em torno de um ponto em que você pode dizer que no espaço tridimensional esse ponto é o centro disso. E então o que devemos fazer caso a gente tenha uma outra função f(x,y,z) que terá o valor desse ponto? O que precisamos fazer nesse caso é multiplicar cada um dos paralelogramos pelo valor da função nesse determinado ponto. Com isso em mente podemos imaginar que aqui nesse caso temos uma função que possui um valor 1. Sendo assim, estamos multiplicando cada um dos paralelogramos por 1, mas não podemos esquecer que estamos multiplicando cada um dos pequenos paralelogramos por f(x,y,z), ou seja, teremos essa função dσ. Isso será exatamente a mesma coisa, em que isso é cada um dos paralelogramos, só que iremos multiplicá-los por f(x,y,z). Sendo assim, isso vai ser igual à integral sobre a área, sobre a região de f(x,y,z) vezes a magnitude do produto vetorial entre a parcial de r em relação a s e a parcial de r em relação a t, ds/dt. Espero que a gente possa expressar essa função em termos de s e t porque temos uma parametrização em relação a isso. Onde quer que a gente veja um x, x é uma função de s e t. O mesmo com y e z, já que y é uma função de (s,t) e z é uma função de (s,t). Eu sei que isso pode parecer um pouco complicado e difícil, mas isso tem muitas aplicações, principalmente na física. Então por isso que é importante compreender muito bem. Então mesmo que seja difícil visualizar isso em outras áreas, é interessante sempre visualizar como se fosse uma área superficial. Fica mais fácil desse jeito. Enfim, nos próximos vídeos vamos ver exemplos e compreender um pouco melhor como realizar esses cálculos. Quero deixar aqui para você um grande abraço, e dizer que encontro você na próxima!