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Transcrição de vídeo

No último vídeo, terminamos com estes dois resultados. Nós começamos a pensar sobre o que significa tomar a derivado parcial da função vetorial, e eu obtive estes -- você pode chamá-los -- resultados bizarros. Qual é o ponto de chegarmos até aqui, Sal? E o ponto é que eu posso lhe dar as ferramentas que precisamos para entender o que uma integral de superfície é. Então vamos pensar, vamos desenhar o plano st, e depois ver como é transformada nesta superfície r. Então, vamos fazer isso. Vamos dizer que este é eixo t, e digamos que este é o eixo s, e vamos dizer que a nossa função vetorial, a nossa função vetorial de posição é definida a partir de s's entre a e b, eu estou apenas pegando limites arbitrários, e entre t sendo igual a c e d. Assim, a área em questão, se você tomar qualquer t e qualquer s neste retângulo aqui, ele será mapeado nesta parte da superfície. E se mapear cada um dos pontos, você acabará obtendo a superfície r. Então deixe-me desenhar r em três dimensões. A superfície em 3D. Então, este é o nosso eixo x, este é o nosso eixo y, e depois este é o eixo z. E só como um lembrete, pode se parecer com algo assim. Se fossemos, este ponto aqui, em que s é igual a 'a' e t é igual a c, lembre-se, nós iremos desenhar a superfície indicada pela função vetorial da posição s, r de s e t. Portanto, este ponto aqui, quando s é a e t é c, talvez se refere-- estou apenas, você sabe-- a este ponto! Ali. Quando você toma a e c, e os coloca nesta coisa aqui, você obterá o vetor que aponta para lá. Então você poderia dizer, ele lhe dará um vetor posição que apontará bem naquela posição, bem ali. E então, vamos dizer que esta linha bem aqui, se nós fossemos manter s constante em a, e se fossemos apenas variar t de c até d, talvez isto se pareça com algo assim. Só estou desenhando alguns contornos arbitrários lá. Talvez se manter t constante em c, e variar s de a até b, talvez isto se parecerá com algo assim. Eu não sei. Eu só estou tentando lhe mostrar um exemplo. Portanto, este ponto aqui seria correspondente àquele ponto lá, quando você o coloca na função vetorial r, você obteria um vetor que aponta para aquele ponto, assim. E este ponto aqui em roxo, quando você avaliar r de s e t, lhe dará um vetor que aponta para lá, para aquele ponto lá, poderíamos fazer outros pontos, só para ter idéia de como a superfície se parece, embora estou tentando manter as coisas o mais geral possível. Deixe-me fazer nesta cor azulada. Isto, se nós mantivermos p em d e variarmos s de a até b, nós começaremos aqui. Isto é quando t é d e s é a. E quando você variar, talvez você obtenha algo assim. Não sei. Este ponto aqui seria correspondente a um vetor que aponta para este ponto, bem ali, e depois finalmente esta linha, ou isto, se mantivermos s em b e variarmos t entre c e d, nós iremos deste ponto para aquele ponto Então, ele se parecerá com isto-- desculpe, nós iremos deste ponto para aquele ponto Nós estamos mantendo s em b, variando t de c até d, talvez se pareça com isto. Portanto nossa superfície, fomos de uma agradável área retangular no plano ts, e foi transformada nesta superfície de aparência maluca. Poderíamos até mesmo desenhar algumas outras coisas aqui. Vamos dizer que obtemos algum valor arbitrário. Deixe-me escolher uma nova cor, Eu vou fazer em branco. Ou incolor. Vamos dizer que se mantivermos s constante e variarmos t, talvez isto se pareça com algo assim. Talvez isto se pareça com algo, bem, não sei. Talvez se pareça com algo assim. Para você ter uma idéia do que a superfície pode parecer. Agora, dado isso, quero pensar sobre o que essas quantidades são. Quando visualizamos o que estas quantidades são, seremos capazes de usar os resultados dos últimos vídeos para fazer algo que eu acho que será útil. Vamos dizer que escolhemos s e t arbitrários. Então este é o ponto, deixe-me apenas buscá-lo aqui. Esse é o ponto s, t. s vírgula t. Se você fosse colocar estes valores aqui, talvez ele se refere a, e eu quero ter certeza que estou coerente com o que tenho desenhado, talvez ele se refere a este ponto aqui. Talvez ele se refere a este ponto aqui Portanto este ponto aqui, que é r de s e t. Para um s e t particular. Poderia colocar poucos subscritos, mas quero que seja geral. Eu poderia chamar isto de a, eu já usei a e b. Eu poderia chamar isto de x e y, isto seria r de x e y. Se referiria àquele ponto lá. Então aquilo lá, ou aquilo lá. Agora vamos ver o que acontece se tomarmos, se movermos apenas na direção s. Nós poderíamos fazer isto como s. Agora vamos avançar por um diferencial, por uma muito pequena quantidade de s. Então isto aqui, vamos chamar isto de s mais uma muito pequena diferencial em s. Está la. Então aquele ponto. Deixe-me fazer isso em uma cor melhor, em amarelo Então aquele ponto ali é o ponto s mais minha diferencial de s. Poderia escrever delta s, mas queria uma muito pequena variação de s vírgula t. E ao que aquilo se referirá? Bem, se aplicarmos estes dois pontos em r, vamos obter algo que talvez esteja bem ali. Quero ser claro. Este aqui, este é r de s mais ds vírgula t. Isto que é. Este é o ponto em que deslocamos s por um muito pequeno diferencial, esta distância aqui, você pode ver como ds. É uma muito pequena variação em s. E então, quando mapeá-la ou transformá-la, ou colocar aquele ponto na nossa função vetorial, deixe-me copiar e colar a função vetorial original, só assim teremos uma boa imagem do que estamos falando todo esse tempo. Deixe-me colocar aqui embaixo. Só para ficar claro o que está acontecendo, quando tomámos este pequeno ponto azul aqui, este s e t, e colocamos os valores de s e t aqui, obtemos um vetor que aponta para este ponto da superfície ali. Quando adiciona um ds para o seus valores de s, você obtém um vetor que aponta para aquele ponto amarelo lá. Então, voltando aos resultados que obtivemos na última apresentação, ou no último vídeo, o que é isto? r de s mais delta s, ou s de r mais ds, o diferencial de s, t, bem, isto é aquilo lá. Este é o vetor que aponta para aquela posição. Este aqui é um vetor que aponta para esta posição azul. Então, qual é a diferença destes dois vetores? E isto é um pouco de matemática básica do vetor, talvez se lembre. A diferença destes dois vetores, da cabeça a cauda. A diferença destes dois vetores será este vetor. Se subtrair desse vetor, este vetor, você obterá aquele vetor, bem ali. Um vetor que se parece com isso. Então, ele é igual a isto, este vetor. E faz sentido. Esse vetor azul mais o vetor laranja, este vetor, aqui, mais o vetor laranja, é igual a este vetor. Faz todo o sentido. Da cabeça à cauda. Então é isto o que representa. Agora vamos fazer o mesmo na direção t. Estou ficando sem cor. Voltarei para o rosa, ou talvez o magenta. Tivemos aquele s e t. Agora, se subirmos um pouco, nesse sentido, digamos que isto é t, então este é o ponto s, t mais uma muito pequena variação em t, que aponta para lá. Esta distância é aqui é dt, você pode vê-la dessa forma. Se você colocar s e t mais dt na nossa função vetorial, o que obterá? Você obterá um vetor que talvez aponte para este ponto aqui. Talvez o desenhe. Talvez ele aponte para este ponto aqui. Um vetor que aponta para lá.. Então isto será traçado em um vetor que aponta para esta posição, bem ali. Agora, com o mesmo argumento que usamos no lado s, este ponto, ou o vetor que aponta para ele, isto é r de st mais dt. Isto é exatamente a mesma coisa que aquilo ali, e com certeza, isto nós já vimos. Isto é a mesma coisa que aquilo ali. Então o que é aquele vetor menos este vetor azul? O vetor magenta menos o vetor azul? Mais uma vez, isto é, espero, uma espécie de revisão de adição de vetores. Será um vetor que se parece com isso. Eu farei em branco. Será um vetor que se parece com isso. E você pode imaginar, se tomar o vetor azul mais o vetor branco, o vetor azul mais este vetor será igual a este vetor roxo. Portanto, faz sentido, o vetor roxo menos o vetor azul será igual a este vetor branco. Então algo interessante está acontecendo aqui. Eu tenho estes dois, este é um vetor que, de certa maneira, está indo ao longo desta superfície parametrizada, quando nós variamos nosso s por uma muito pequena quantidade. E então este é um vetor que vai ao longo da nossa superfície se nós variamos nosso t por uma muito pequena quantidade. Agora, você pode ou não se lembrar disso, e eu fiz vários vídeos onde eu mostrei isto para você. Mas a magnitude, se eu tomar dois vetores, e eu calcular seu produto vetorial, então se eu calcular o produto vetorial de a e b, e eu tomar a magnitude do vetor resultante -- lembre-se, quando você toma o produto vetorial, você obtém um terceiro vetor que é perpendicular a ambos. Mas se você for apenas tomar a magnitude daquele vetor, que é igual a área de um paralelogramo, definido por a e b. O que quero dizer com isso? Bem, se este é o vetor a e este é o vetor b, este é a e este é b, se você for apenas tomar o produto vetorial dos dois, você obterá um terceiro vetor. Obterá um terceiro vetor perpendicular a ambos, ele meio que pulou para fora da página Isto seria a x b. Mas a magnitude deste, se você tomar apenas o produto vetorial, você obterá um vetor. Mas então, se você tomar a magnitude daquele vetor, está dizendo, quão grande é o vetor, qual o comprimento deste vetor. Isto será a área do paralelogramo definido por a e b. Provei em vídeos de álgebra linear, talvez eu prove de novo aqui. Quero dizer, é porque-- bem, eu não vou entrar em detalhes. Já fiz antes, não quero deixar este vídeo muito longo. Assim, o paralelogramo definido pelos a e b, basta imaginar a, depois tomar outra versão paralela de a, está ali, e a outra versão paralela do b está bem ali. Portanto, este é o paralelogramo definido por a e b. Então, voltando a nossa superfície exemplo, se fôssemos tomar o produto vetorial deste vetor laranja e deste vetor branco, eu obterei a aréa superficial, eu obterei a área do paralelogramo, definida por estes dois vetores. Se eu tomar o paralelo a este, se parecerá com algo assim, e então um paralelo ao laranja, se parecerá com isto. Então, se eu tomar o produto vetorial disto e daquilo, eu obterei a área daquele paralelogramo. Esta é uma superfície, está tomando uma paralelogramo reto mas lembre-se, são variações muito pequenas Então você pode imaginar, uma superfície pode ser dividida em variações muito pequenas de paralelogramos, ou infinitamente muitos paralelogramos. E quanto mais paralelogramos você tiver, melhor aproximação da superfície você terá. E isto não é diferente de quando olhamos integrais. Nós aproximamos da área sob a curva com um monte de retângulos. Quanto mais retângulos tivermos, melhor. Então, vamos chamar esta pequena variação da nossa superfície de d sigma, para uma pequena variação, para um pouca quantidade de nossa superfície. Poderíamos até dizer que a área superficial da superfície será a soma infinita de todos estes infinitamente pequenos d sigmas. Há realmente uma notação para isso. Assim, a área de superfície é igual a, poderiamos integrar sobre a superfície, e a notação geralmente é um sigma maiúsculo para uma superfície em oposição a uma região ou-- você está integrando na superfície, e faz integral dupla, porque vai em 2 direções, certo? Uma superfície é uma espécie de uma estrutura bidimensional dobrada. E irá tomar a soma infinita de todos os d sigmas. Esta seria a área superficial. Então isto é o que um d sigma é. Agora nós já descobrimos, apenas dissemos, bem, este d sigma pode ser representado, este valor, esta área, desta pequena parte da superfície deste paralelogramo, pode ser representada como um produto vetorial destes dois vetores. Escreverei aqui. E isto não é matemática rigorosa. A questão aqui é lhe dar a intuição do que integral de superfície se trata. Podemos escrever que d sigma é igual ao produto vetorial do vetor laranja e do vetor branco O vetor laranja é este, mas também podemos escrever assim Este foi o resultado do último vídeo. Vou escrever em laranja. Assim, a parcial de r em relação a-- está acabando o espaço-- em relação a s, ds, será-- bem, d sigma será a magnitude do produto vetorial, não apenas o produto vetorial. Produto vetorial por si só lhe dará um vetor, e isto será útil quando começarmos a fazer integral de superfície de função vetorial. Portanto, este vetor de laranja é o mesmo que aquilo. E nós tomaremos o produto vetorial disto com este vetor branco. Este vetor é o mesmo que aquilo que vimos, que é a mesma coisa que isto. A parcial de r com relação a t, dt. E vimos, se tomarmos a magnitude disto, será igual a nossa pequena variação na área ou a área deste pequeno paralelogramo aqui. Agora, você pode ou não se lembrar que se você tomar estes, vamos ser claros. Isto e isto, estes são vetores, certo? Quando toma a derivada parcial de uma função vetorial, você ainda obterá um vetor. Este ds, isto é um número. Isto é um número e isto também. E você pode se lembrar, quando nós, na álgebra linear ou onde você nos viu fazendo produtos vetoriais, tomando produto vetorial de múltiplos escalares. Você pode tirar os escalares fora. Se tomarmos este número e este, nós o fatoramos para fora do produto vetorial. Isto será igual à magnitude do produto vetorial da parcial de r, com relação a s, vezes a parcial de r em relação a t, e depois tudo isto vezes estes dois caras aqui. Vezes ds e dt. Escrevi isto aqui, talvez nossa área superficial, se tomarmos a soma de todos estes pequenos d sigmas, mas não há nenhuma maneira óbvia de avaliar isto. Mas nós sabemos que todos os d sigmas, eles o mesmo que como se você tomasse todos os ds's e todos os dt's. Então, você toma todos os ds's e todos os dt's. Portanto, isto é um ds vezes um dt, certo? Um ds vezes um dt, ds vezes um dt está aqui. Se multiplicarmos isto vezes o produto vetorial da derivada parcial, isto vezes isto nos dará esta área. Então, se nós somarmos tudo isto vezes isto, ou isto vezes isto, se somarmos eles ao longo de toda a região, obteremos todos os paralelogramos nesta região. Obteremos a área superficial. Podemos escrever-- eu sei que isto tudo é um pouco complicado. E você precisa refletir um pouco. Intervalos superficiais são uma das coisas mais difíceis de visualizar, mas espero que tudo faça sentido. Então podemos dizer que esta coisa aqui, a soma de todos os pequenos paralelogramos na superfície, ou a área superficial, será igual a-- em vez de tomar a soma sobre a superfície, vamos tomar a soma de todos os ds's vezes dt's sobre esta região aqui. E claro, também iremos tomar este produto vetorial. E sabemos como fazer isso. Isso é uma integral dupla. Iremos tomar a integral dupla sobre isto, poderíamos chamar esta região, ou esta área, bem aqui. Esta área é o mesmo que toda aquela área lá, desta coisa. Eu só escreverei em amarelo. O produto vetorial da parcial de r em relação a s, e a parcial de r em relação a t. ds e dt. E então você literalmente calcula, e parece bem complicado como você irá calcular isto, mas fomos capazes de expressar esta coisa chamada de uma superfície-- bem, esta é uma integral de superfície simples-- em algo que podemos calcular. E nos próximos vídeos, lhe mostrarei exemplos em que realmente calculo. Agora, isto aqui lhe dará apenas a área superficial Mas e se, em todos os pontos aqui-- então aqui o que fizemos em ambas as expressões, nós apenas descobrimos a área superficial de cada um dos paralelogramos e depois somanos todos eles. Isto que fizemos. Mas e se, associado com cada um daqueles pequenos paralelogramos, tivermos algum valor, onde este valor é definido por uma terceira função f de x, y, z? Assim cada paralelogramo, muito pequeno, está em torno de um ponto, você pode dizer que é talvez o centro disto, não tem que ser o centro. Mas talvez o centro disto é em algum ponto no espaço tridimensional, e se você usar alguma outra função, f de x, y, z e, você terá o valor deste ponto. E o que nós queremos fazer é descobrir o que acontece se para cada um daqueles paralelogramos, fôssemos multiplicá-lo pelo valor da função naquele ponto. Então, nós poderiamos escrever desta forma. Aqui é onde, pode imaginar, a função é apenas um. Estamos apenas multiplicando cada um dos paralelogramos por um. Mas nós poderíamos imaginar que estamos multiplicando cada um dos pequenos paralelogramos por f de x, y, e z, d sigma, será exatamente a mesma coisa, onde isto é cada um dos paralelogramos, iremos apenas multiplicar por f de x, y, e z. Então, nós iremos integrar sobre a área, sobre aquela região de f de x, y, e z, e depois, vezes a magnitude da parcial de r em relação a f, multiplicada vetorialmente com a parcial de r em relação a t, ds, dt. E claro, estamos integrando em relação a s e t. Espero que possamos expressar esta função em termos de s e t, devemos ser capazes, porque temos uma parametrização lá. Onde quer que vejamos um x lá, x é uma função de s e t. y é uma função de s e t. z é uma função de s e t. E isso pode parecer muito complicado e difícil. E as visualizações para Isto, do porque você gostaria de fazer isso, tem aplicações em física. É difícil visualizar. É mais fácil apenas visualizar a área superficial reta. Mas veremos nos próximos vídeos que é um pouco complicado calcular estes problemas, mas eles não são difíceis de fazer. Você apenas tem que se acostumar com eles.