Integral de superfície - Ex. 2, parte 1

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver outro exemplo de integral de superfície. Repare que eu mudei um pouco a notação agora. Em vez de escrever a superfície com "sigma" maiúsculo, eu escrevi com "S". E em vez de escrever dΣ, eu escrevi "dS", que ainda é uma integral de superfície da função "y". E a superfície com a qual nos preocupamos é "(x + y)² - z = 0". Estamos considerando o intervalo em que "x" está entre zero e 1 e "y" está entre zero e 2. Agora, isso pode ser um pouco mais direto do que o último exemplo que fizemos, ou pelo menos eu espero que seja um pouco mais direto, porque nós podemos definir explicitamente "Z" em termos de "x" e "y". E na verdade, nós podemos até mesmo definir explicitamente "x" em termos de "y" e "z". Mas eu vou fazer de outra maneira que é um pouco mais fácil para visualizar. Sendo assim, se você adicionar "z" em ambos os lados aqui desta equação, você vai ter (x + y)² sendo igual a "z", ou "z" sendo igual a (x + y)². Isso realmente é bem direto. Essa superfície é bonita e fácil de visualizar. Que tal a gente tentar visualizá-la aqui agora? Eu vou colocar aqui o nosso eixo "z", também vou colocar aqui o eixo "x" e aqui o eixo "y", em que nós estamos nos preocupando com a região em que "x" vai de zero a 1, então, eu vou considerar o "x = 1" e "y" indo de zero a 2. Sendo assim, temos aqui "y = 1" e aqui "y = 2". A gente está se importando com a superfície sobre isso, sobre esta região do plano "xy". Sendo assim, podemos pensar sobre como a superfície realmente se parece. Esta não é a superfície, isto é apenas o intervalo de "x" e "y" que realmente nos importamos. Vamos, então, pensar sobre a superfície. Quando "x" e "y" é igual a zero, temos "z" igual a zero. Vamos fazer isso com uma cor verde. Então, estaremos bem aqui. Agora, a medida em que "y" aumenta, e que "x" se mantém igual a zero, ou seja, estamos apenas conversando sobre o plano "zy", "z" vai ser igual a y². Então, aqui temos "z = 4". Aqui temos "z" igual a 1, 2, 3. Então, "z" vai fazer algo assim. Teremos uma parábola no plano "zy", algo mais ou menos assim. Agora, mantendo o "y = 0", a gente tem que ''z = x", então quando o "x" vai para 1, "z" também vai para 1. Assim, ''z" vai fazer algo assim. Um detalhe, os valores aqui dos eixos não estão desenhados em escala, ok? Temos algo aqui que é um pouquinho mais comprimido. Mas enfim, a partir disso bem aqui, você vai adicionar o y², aí você consegue algo mais ou menos assim, em que esse ponto é quando o "y = 2" e "x = 1", ou seja, temos que "z = 5". Assim, isso vai ficar mais ou menos assim. Você pode ter uma linha reta desse jeito, e essa superfície é a superfície que vamos avaliar em relação à integral de superfície da função "y". Uma forma de você pensar sobre isso, é que talvez essa função seja densidade de massa dessa superfície. Aí, quando você multiplica o "y" com o "ds", você está essencialmente descobrindo a massa daquele pedaço da superfície. Bem, aí com a integral, a gente vai obter a massa de toda a superfície. Uma forma de você observar isso, é que conforme avançamos mais e mais aqui na direção de "y", ou seja, conforme "y" aumenta, essa coisa toda vai ficando mais densa. Portanto, essa parte da superfície é mais densa do que quando você está aqui mais abaixo. Enfim, é essa integral que vai nos dar a massa. Com isso, fora do caminho, vamos realmente calcular isso. E bem, para fazer esse cálculo, o primeiro passo é descobrir uma parametrização. Isso deve ser bem direto, porque podemos escrever "z" explicitamente em termos de "x" e "y". Então, podemos realmente usar "x" e "y" como os parâmetros reais, mas se você quiser, a gente pode substituir aqui por parâmetros diferentes. E vamos fazer isso, ok? Então, vamos dizer aqui que "x" é igual, você pode usar a letra que quiser como notação diferente. Então, em vez de usar "s" e "t", eu vou usar o "u'' aqui. Já em relação a "y'', eu vou dizer que ele é igual a "v". Sendo assim, "z" você vai ser igual a u + v². Agora que fizemos isso, podemos representar a nossa superfície através de uma função vetorial, ou uma função que é um vetor de posição. Assim, podemos dizer que essa função é "r", que vai ser uma função de "u" e "v". Então, isso é igual a uî + vĵ + u + v²k^. Sendo que estamos considerando o intervalo em que "u" vai estar entre zero e 1, lembrando que "x = u", ou que "u = x", então, "u" vai estar entre zero e 1, e claro, o "v" vai estar entre zero e 2. E pronto, terminamos. Neste vídeo, a gente vai parar por aqui, mas, no próximo vídeo, vamos configurar esta integral de acordo com essa parametrização que fizemos e vamos resolvê-la. Eu espero que você tenha compreendido tudo o que a gente viu até aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!