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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
Parametrização de uma superfície que pode ser explicitamente transformada em uma função de x e y. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos resolver
outro exemplo de integral de superfície. Repare que eu mudei um pouco
a notação agora. Em vez de escrever a superfície
com "sigma" maiúsculo, eu escrevi com "S". E em vez de escrever dΣ,
eu escrevi "dS", que ainda é uma integral
de superfície da função "y". E a superfície com a qual nos
preocupamos é "(x + y)² - z = 0". Estamos considerando o intervalo
em que "x" está entre zero e 1 e "y" está entre zero e 2. Agora, isso pode ser
um pouco mais direto do que o último exemplo que fizemos, ou pelo menos eu espero
que seja um pouco mais direto, porque nós podemos
definir explicitamente "Z" em termos de "x" e "y". E na verdade, nós podemos até mesmo definir explicitamente "x"
em termos de "y" e "z". Mas eu vou fazer de outra maneira
que é um pouco mais fácil para visualizar. Sendo assim, se você adicionar "z"
em ambos os lados aqui desta equação, você vai ter (x + y)²
sendo igual a "z", ou "z" sendo igual a (x + y)². Isso realmente é bem direto. Essa superfície é bonita
e fácil de visualizar. Que tal a gente tentar
visualizá-la aqui agora? Eu vou colocar aqui o nosso eixo "z", também vou colocar aqui o eixo "x" e aqui o eixo "y", em que nós estamos nos preocupando com a região em que "x" vai de zero a 1, então, eu vou considerar o "x = 1" e "y" indo de zero a 2. Sendo assim, temos aqui "y = 1" e aqui "y = 2". A gente está se importando com
a superfície sobre isso, sobre esta região
do plano "xy". Sendo assim, podemos pensar sobre como a superfície
realmente se parece. Esta não é a superfície, isto é apenas o intervalo de "x" e "y"
que realmente nos importamos. Vamos, então, pensar
sobre a superfície. Quando "x" e "y" é igual a zero,
temos "z" igual a zero. Vamos fazer isso
com uma cor verde. Então, estaremos bem aqui. Agora, a medida em que "y" aumenta,
e que "x" se mantém igual a zero, ou seja, estamos apenas conversando
sobre o plano "zy", "z" vai ser igual a y². Então, aqui temos "z = 4". Aqui temos "z" igual a 1, 2, 3. Então, "z" vai fazer algo assim. Teremos uma parábola no plano "zy",
algo mais ou menos assim. Agora, mantendo o "y = 0",
a gente tem que ''z = x", então quando o "x" vai para 1, "z" também vai para 1. Assim, ''z" vai fazer algo assim. Um detalhe, os valores aqui dos eixos
não estão desenhados em escala, ok? Temos algo aqui que é um
pouquinho mais comprimido. Mas enfim, a partir disso bem aqui,
você vai adicionar o y², aí você consegue algo
mais ou menos assim, em que esse ponto é quando
o "y = 2" e "x = 1", ou seja, temos que "z = 5". Assim, isso vai ficar
mais ou menos assim. Você pode ter uma linha
reta desse jeito, e essa superfície é a superfície
que vamos avaliar em relação à integral
de superfície da função "y". Uma forma de você
pensar sobre isso, é que talvez essa função seja densidade
de massa dessa superfície. Aí, quando você multiplica
o "y" com o "ds", você está essencialmente descobrindo
a massa daquele pedaço da superfície. Bem, aí com a integral, a gente vai obter a massa
de toda a superfície. Uma forma de você observar isso, é que conforme avançamos mais
e mais aqui na direção de "y", ou seja, conforme "y" aumenta, essa coisa toda vai
ficando mais densa. Portanto, essa parte da superfície é mais densa do que quando você
está aqui mais abaixo. Enfim, é essa integral
que vai nos dar a massa. Com isso, fora do caminho,
vamos realmente calcular isso. E bem, para fazer esse cálculo, o primeiro passo é descobrir
uma parametrização. Isso deve ser bem direto, porque podemos escrever "z"
explicitamente em termos de "x" e "y". Então, podemos realmente
usar "x" e "y" como os parâmetros reais, mas se você quiser, a gente pode substituir aqui
por parâmetros diferentes. E vamos fazer isso, ok? Então, vamos dizer aqui que "x" é igual, você pode usar a letra que quiser
como notação diferente. Então, em vez de usar "s" e "t",
eu vou usar o "u'' aqui. Já em relação a "y'', eu vou dizer que ele é igual a "v". Sendo assim, "z" você
vai ser igual a u + v². Agora que fizemos isso, podemos representar a nossa superfície
através de uma função vetorial, ou uma função que é um vetor de posição. Assim, podemos dizer
que essa função é "r", que vai ser uma função de "u" e "v". Então, isso é igual a
uî + vĵ + u + v²k^. Sendo que estamos considerando
o intervalo em que "u" vai estar entre zero e 1, lembrando que "x = u",
ou que "u = x", então, "u" vai estar entre zero e 1, e claro, o "v" vai estar
entre zero e 2. E pronto, terminamos. Neste vídeo, a gente vai parar por aqui, mas, no próximo vídeo,
vamos configurar esta integral de acordo com
essa parametrização que fizemos e vamos resolvê-la. Eu espero que você tenha compreendido
tudo o que a gente viu até aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!