Integral de superfície - Ex. 2, parte 1

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver outro exemplo de integral de superfície repare que eu mudei um pouco anotação agora em vez de escrever a superfície com Sigma maiúsculo eu escrevi com s e maiúsculo e em vez de escrever de minúsculo Sigma eu escrevi de S e maiúsculo que ainda é uma integral de superfície da função y e a superfície com qual nos preocupamos é x + y ao quadrado menos e igual a zero estamos Considerando o intervalo em que x está entre 0 e 1 e y está entre 0 e 2 agora é só pode ser um pouco mais direto do que o último exemplo que fizemos Pelo menos eu espero que seja um pouco mais direto porque nós podemos definir explicitamente Z em termos de x e y e na verdade nós podemos até Oi livre explicitamente X em termos de y e z mas eu vou fazer de outra maneira que é um pouco mais fácil para visualizar sendo assim se você adicionar dizer Em ambos os lados aqui dessa equação você vai ter x + y ao quadrado sendo igual a z ou cê sendo igual a x mais y ao quadrado Isso realmente é bem direto essa superfície é bonita e fácil de visualizar Que tal a gente tentar visualizar ela aqui agora eu vou colocar aqui o nosso lixo Z também vou colocar aqui o eixo X e aqui o eixo Y em que nós estamos nos preocupando com a região em que x vai dezero a um Então vou considerar aqui o x igual a 1 e y em um de 0 a 2 sendo assim temos aqui Y igual a 1 e aqui Y = 2 a gente está se importando com a superfície sobre isso sobre essa região do plano XY sendo assim podemos pensar sobre como a superfície real e parece Essa não é superfície Isso é apenas um intervalo de x e y que realmente nos importamos vamos então pensar sobre a superfície quando X e Y = 0 temos é igual a zero vamos fazer isso com uma cor verde então estaremos bem aqui agora a medida aqui para um aumento tem que ir se mantém igual a zero ou seja estamos apenas conversando sobre o plano z y z vai ser igual a y ao quadrado então aqui temos = 4 aqui temos é igual a um dois três então Z vai fazer algo assim teremos uma parábola no plano zy algo mais ou menos assim agora mantendo o y = 0 a gente tem que dizer é igual a x então quando o x vai para um dia também vai para um assim cê vai fazer algo assim um detalhe os valores aqui dos eixos não estão desenhados em escala nós temos algo aqui que é um pouquinho mais comprimido mas enfim a partir de isso bem aqui você vai adicionar o y ao quadrado aí você consegue algo mais ou menos assim em que esse ponto é quando o y = 2 e x = 1 ou seja temos é que quiser igual a 5 assim só vai ficar mais ou menos assim você pode ter uma linha reta desse jeito e essa superfície é a superfície que vamos avaliar em relação a integral de superfície da função y uma forma de você pensar sobre isso é que talvez essa função seja densidade de massa dessa superfície aí quando você multiplica o Y com o DS você está essencialmente Descobrindo a massa daquele pedaço da superfície bem aí o com a integral a gente vai obter a massa de toda a superfície uma forma de você observar isso é que conforme avançamos mais e mais aqui na direção de Y ou seja conforme e aumenta essa coisa toda vai ficando mais densa portanto essa parte da superfície é mais densa do que quando você está que mais abaixo enfim é essa integral que vai nos dar a massa com isso fora do caminho vamos realmente calcular isso e bem para fazer esse cálculo Primeiro passo é descobrir uma parametrização Isso deve ser bem direto porque podemos escrever explicitamente em termos de x e y então podemos realmente usar X e Y como os parâmetros reais mas se você quiser a gente pode substituir aqui por parâmetros diferentes e vamos fazer isso ok então vamos dizer aqui que x é igual a você pode usar a letra que quiser como notação diferente Então em vez de usar S e t eu vou usar o aqui já em relação à Y eu vou dizer que ele é igual a ver Sendo assim você vai ser igual a umas ver o quadrado agora que fizemos isso podemos representar a e vice através de uma função vetorial ou uma função que é um vetor de posição assim podemos dizer que essa função é R que vai ser uma função de u e v Então isso é igual ao e chapéu + VJ chapéu mais umas ver o quadrado caixa papel sendo que estamos Considerando o intervalo em que u vai estar entre zero e um Lembrando que x é igual ao ou que u = x Então uso vai estar entre 0 e 1 e claro o ver vai estar entre 0 e 2 e pronto terminamos nesse vídeo a gente vai parar por aqui mas no próximo vídeo vamos configurar essa integral de acordo com essa parametrização que fizemos e vamos resolver ela eu espero que você tenha compreendido tudo que a gente viu até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima