Integral de superfície - Ex. 2, parte 2

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daqui na casa de me Brasil e nesse vídeo vamos calcular uma integral de superfície a partir de uma parametrização já realizada o que precisamos fazer agora é expressar o DF em termos de Deus e de ver que já vimos Como podemos fazer isso antes de é se vai ser igual ao módulo do produto vetorial da parcial Dr em relação ao EA parcial Dr em relação a vi deu de ver bem sabendo disso vamos calcular esse produto vetorial e conseguimos fazer isso através de uma matriz 3 por 3 vou fazer isso bem aqui para calcular isso eu vou precisar saber quais são as derivadas parciais de é em relação ao e em relação a ver E aí Calcular o determinante com essas parciais na primeira linha temos nossas componentes e j e agora Primeiro vamos calcular a passear o Dr em relação a uh uh bem a componente ir vai ser um a parcial de um em relação a rua é apenas um portanto a componente e é um agora componente J vai ser zero Afinal a parcial de ver em relação a rua é zero ver não muda em relação à Lua então será zero Ah eu esqueci de colocar um parênteses aqui no último vídeo Mas precisamos ter isso aqui ok parcial disso aqui em relação a uh vai ser apenas um novamente já que a parcial de ver ao quadrado em relação a rua é apenas 10 portanto Isso é apenas um novamente agora vamos calcular a parcial de R em relação a ver a componente ir vai ser zero já componentes derrota vai ser um EA componente Car é a parcial de umas vem ao quadrado em relação a ver então isso é igual a dois ver ótimo agora só precisamos Calcular o determinante dessa Matriz E aí vamos começar aqui pela componente ir precisamos multiplicar aqui na diagonal assim tem 10 vezes dois vê menos uma vezes um assim teremos aqui apenas menos um vezes ir ou seja e negativo agora concorrente J teremos aqui uma vezes 10 menos uma vezes dois ver que é dois ver então colocamos aqui menos 2 vezes a componentes J agora vamos ver a componente cá teremos aqui um vezes 1 - 0 que vai ser apenas um então teremos aqui mágica Agora se a gente deseja ter um módulo disso precisamos tirar a raiz quadrada da soma de cada uma dessas componentes elevados ao quadrado eu só estou calculando o produto vetorial dessa parte aqui então isso é um produto vetorial real sendo assim teremos aqui um negativo ao quadrado que apenas um mais do é negativa o quadrado que a quatro vezes ao quadrado mais 1 ao quadrado que é um Então essa coisa toda aqui vai ser a raiz quadrada de dois mais quatro véu quadrado de o dever agora para nos ajudar a gente pode melhorar isso aqui um pouco e dizer que isso é igual à raiz quadrada de duas vezes um mais dois ver ao quadrado de o dever podemos ainda fato horário isso aqui e dizer que isso é igual à raiz quadrada de dois vezes a raiz quadrada de um mais duas vezes véu quadrado deu de ver bem agora eu acho que estamos prontos para avaliar a integral de superfície Então vamos fazer isso aqui vamos reescrever essa expressão aqui embaixo bem eu vou escrever tudo isso que tem a ver com veem roxo então eu vou escrever a parte de essa e bem aqui que é a raiz quadrada de dois vezes a raiz quadrada de um mais duas vezes ver ao quadrado nós vamos colocar aqui o deu o que eu vou escrever em verde e o dever que eu vou manter com o roxo bem isso aqui apenas a partir de S Então precisamos colocar o restante aqui Y = ver então também vou escrever isso aqui em roxo não podemos esquecer que isso aqui é y e tudo isso aqui é o DS agora vou escrever nos limites aqui em termos de u e v a parte rua em que ué a mesma coisa que x vai de 0 a 1 e ver em que ver a mesma coisa que Y vai dizer há dois agora acho que estamos prontos e os aqui para calcular as variáveis horrível não estão muito confusas aponta que a gente precisa separar essas duas integrais porém a gente pode fazer um produto de duas integrais simples aqui assim a primeira coisa que observamos é o que está em relação a deu todas essas coisas em roxo são constantes em relação à rua então podemos tirá-las da integral de u ou seja podemos pegar em toda essa parte roxa aqui e colocar fora da integral deo sendo assim as integral dupla fica simplificada para integral de 0 a 2 da raiz quadrada de dois vezes vezes a raiz quadrada de um mais duas vezes ver o quadrado aí isso vezes é integral de 0 a 1 deu a Claro temos um dever aqui e agora se isso fosse um pouquinho mais complicado eu poderia dizer olha isso aqui é uma função de ur que não depende de ver logo é uma constante em relação a ver então você pode para tornar tudo isso e separadas integrais só que isso aqui é ainda mais fácil Essa integral vai ser apenas igual a um Então tudo isso aqui é igual a um assim podemos simplificar tudo isso para uma única integral Inclusive eu posso até tirar a raiz quadrada de dois dessa integral e colocar na frente dela assim teremos a raiz quadrada de dois vezes a é lindo de 0 a 2 de ver vezes a raiz quadrada de um mais duas vezes ver o quadrado de ver bem Já estamos na reta final dessa integral agora que vamos fazer o básico que na verdade podemos resolver com uma técnica de substituição que podemos fazer até com a cabeça se você tem uma função ou esse tipo de função embutida bem aqui um mais 2 via o quadrado podemos pensar na derivada disso que nesse caso é quatro ver repare que já temos algo quase igual a quatro ver aqui podemos fazer isso aqui se transformar em quatro ver apenas multiplicando isso aqui por quatro e dividindo aqui por quatro isso não muda o valor da integral agora isso aqui é muito mais simples de calcular anti derivada antes derivada disso é isso que temos embutido aqui podemos tratar como se fosse alguma outra variável como isso essencialmente um mais duas vezes Viel quadrado ^ meio nós adicionamos um Oi gente assim teremos um Mas duas vezes ver o quadrado elevado a 3 meios Aí você divide por 3 meses ou multiplica por dois terços Então temos isso aqui vezes dois terços bem isso é antiderivada disso aí Claro Ainda temos tudo isso aqui na frente a raiz quadrada de dois sobre quatro e nós vamos avaliar isso de 0 a 2 bem para simplificar vamos faturar os dois terços afinal não temos que nos preocupar com Nilson entre 2 e 0 então eu vou fato horário dois terços aqui colocamos o 2 sobre três multiplicando aqui na frente e na verdade eu sei que se cancela com isso aqui assim o 2 se tornar um e o quadro se torna dois Aí ficamos com o resultado disso que é um cesto vezes a raiz quadrada de dois depois eu coloco a raiz quadrada de dois aqui tá porque eu quero anjos avaliar o resultado dessa integral avaliando isso aqui em dois temos um mais duas vezes ver o quadrado Isso vai ser e esses quatro que é oito mais um ou seja 99 elevado a 3 meios nova ^ meio é três e três elevado ao cubo é 27 então teremos 27 aqui e aí os ou menos tudo isso aqui é avaliado 10 bem isso avaliado em zero é apenas um um elevado a 3 meses é apenas um sendo assim teremos menos um aqui eu vou colocar a raiz quadrada de dois aqui que eu não coloquei antes Ok ou seja temos a raiz quadrada de dois sobre seis vezes 27 - 1 bem isso é igual a quanto 27 - 1 e 26 Então temos 26 vezes a raiz quadrada de dois sobre seis podemos sempre ficar isso um pouco mais Podemos dividir o numerador eo denominador por dois assim obtemos 13 vezes a raiz quadrada de dois sobre três e pronto terminamos Eu espero que você tenha compreendido tudo nós estamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima