Integral de superfície - Ex. 2, parte 2

RKA8JV - Olá, meu amigo minha ou amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos calcular uma integral de superfície a partir de uma parametrização já realizada. O que precisamos fazer agora é expressar o "dS" em termos de "du" e "dv". E já vimos como podemos fazer isso antes. "dS" vai ser igual ao módulo do produto vetorial da parcial de "r" em relação a "u" e a parcial de "r" em relação a "v" "dudv". Bem, sabendo disso, vamos calcular esse produto vetorial. Conseguimos fazer isso através de uma matriz 3 por 3. Vou fazer isso bem aqui. Para calcular isso, eu vou precisar saber quais são as derivadas parciais de ''r" em relação a "u" e em relação a ''v", e aí, calcular o determinante com essas parciais. Na primeira linha, temos nossas componentes "i', "j", "k". Agora, primeiro vamos calcular a parcial de "r" em relação a "u". Bem, a componente "i" vai ser 1, a parcial de "u" em relação a "u" é apenas 1, portanto, a componente "i" é 1. Agora, componente "j" vai ser zero, afinal, a parcial de "v" em relação a "u" é zero. "v" não muda em relação a "u", então, será zero. Ah, eu esqueci de colocar um parênteses aqui no último vídeo, mas precisamos ter isso aqui, ok? Parcial disso aqui em relação a "u" vai ser apenas 1 novamente, já que a parcial de v² em relação a "u" é apenas zero, portanto, isso é apenas 1 novamente. Agora vamos calcular a parcial de "r" em relação a "v". A componente "i' vai ser zero, já a componentes "j" vai ser 1, e a componente "k" é a parcial de (u + v²) em relação a "v", então, isso é igual a 2v. Ótimo, agora só precisamos calcular o determinante desta matriz. Bem, vamos começar aqui pela componente "i". Precisamos multiplicar aqui na diagonal. Assim, temos zero vezes 2v menos 1 vezes 1. Assim, teremos aqui apenas -1i, ou seja, -î. Agora a componente "ĵ". Teremos aqui, "1 vezes zero" menos "1 vezes 2v", que é 2v. Então colocamos aqui, -2v vezes a componente ĵ. Agora, vamos ver a componente "k". Teremos 1 vezes 1 menos zero, que vai ser apenas 1, então, teremos aqui, +k^. Agora, se a gente deseja ter o módulo disso, precisamos tirar a raiz quadrada da soma de cada uma dessas componentes elevadas ao quadrado. Eu só estou calculando o produto vetorial desta parte aqui, então, isso é um produto vetorial real. Sendo assim, teremos aqui -1², que é apenas 1, mais, (2v)², que é 4v², mais 1², que é 1. Então essa coisa toda aqui vai ser a raiz quadrada de "2 + 4v²" dudv. Agora, para nos ajudar, a gente pode melhorar isso aqui um pouco e dizer que isso é igual a √2(1 +2v²)dudv. Podemos, ainda, fatorar isso aqui e dizer que isso é igual a √2 vezes √(1+2v²)dudv. Bem, agora eu acho que estamos prontos para avaliar a integral de superfície. Então, vamos fazer isso aqui. Vamos reescrever essa expressão aqui embaixo. Bem, eu vou escrever tudo isso que tem a ver com "v" em roxo. Então, eu vou escrever a parte "dS" bem aqui, que é √2 vezes √(1 + 2v²). Aí vamos colocar aqui o "du", que eu vou escrever em verde, e o ''dv", que eu vou manter com o roxo. Bem, isso aqui é apenas a parte "dS", então precisamos colocar o restante aqui. "y = v", então, também vou escrever isso aqui em roxo. Não podemos esquecer que isso aqui é "y" e tudo isso aqui é o "dS". Agora, eu vou escrever os limites aqui em termos de "u" e ''v''. A parte "u", em que "u" é a mesma coisa que "x", vai de zero a 1', e "v'', em que "v" é a mesma coisa que "y", vai de zero a 2. Agora acho que estamos prontos aqui para calcular. As variáveis "u" e "v" não estão muito confusas a ponto que a gente precise separar essas duas integrais. Porém, a gente pode fazer um produto de duas integrais simples aqui. Assim, a primeira coisa que observamos é o que está em relação a "du". Todas essas coisas em roxo são constantes em relação a "u'', então podemos tirá-las da integral "du", ou seja, podemos pegar toda esta parte roxa aqui e colocar fora da integral "du". Sendo assim, essa integral dupla fica simplificada para a integral de zero a 2 de √2 vezes "v" vezes √(1 + 2v²), isso vezes a integral de zero a 1 du. Ah, claro, temos um "dv" aqui. E agora, se isso fosse um pouquinho mais complicado, eu poderia dizer: olha, isso aqui é uma função de "u", que não depende de "v", logo, é uma constante em relação a "v". Então, você pode fatorar tudo isso e separar as integrais. Só que isso aqui é ainda mais fácil. Essa integral vai ser apenas igual a 1, então, tudo isso aqui é igual a 1, assim, podemos simplificar tudo isso para uma única integral. Inclusive, eu posso até tirar √2 dessa integral e colocar na frente dela, assim, teremos √2 vezes a integral indo zero a 2 de ''v'' vezes √1 + 2v²dv. Bem, já estamos na reta final desta integral. Agora vamos fazer o básico, que na verdade podemos resolver com uma técnica de substituição, que podemos fazer até com a cabeça. Se você tem uma função ou esse tipo de função embutida bem aqui, 1 + 2v², podemos pensar na derivada disso, que nesse caso é 4v. Repare que já temos algo quase igual a 4v aqui. Podemos fazer isso aqui se transformar em 4v apenas multiplicando isso aqui por 4 e dividindo aqui por 4. Isso não muda o valor da integral. Agora isso aqui fica muito mais simples de calcular a antiderivada. A antiderivada disso é: isso que temos embutido aqui podemos tratar como se fosse alguma outra variável. Como isso é essencialmente (1 + 2v²)¹/², nós adicionamos 1 ao expoente, assim teremos (1 + 2v²)³/². Aí você divide por 3/2, ou multiplica por 2/3. Então, temos isso aqui vezes 2/3. Bem, isso é antiderivada disso, aí claro, ainda temos tudo isso aqui na frente, √2 sobre 4. E nós vamos avaliar isso de zero a 2. Bem, para simplificar, vamos fatorar o 2/3, afinal, não temos que nos preocupar com isso entre 2 e zero. Então, eu vou fatorar o 2/3 aqui. Colocamos o 2/3 multiplicando aqui na frente. Na verdade, isso aqui se cancela com isso aqui, assim, o 2 se torna 1 e o 4 se torna 2. Aí, ficamos com o resultado disso, que é 1/6, vezes √2. Depois eu coloco √2 aqui, tá, porque eu quero antes avaliar o resultado dessa integral. Avaliando isso aqui em 2, temos 1 + 2v². Isso vai ser 2 vezes 4, que é 8, mais 1. Ou seja, 9, 9³/². 9¹/² é 3, e 3³ é 27, então, teremos 27 aqui. E aí, isso menos tudo isso aqui avaliado em zero. Bem, isso avaliado em zero é apenas 1. 1³/² é apenas 1. Sendo assim, teremos -1 aqui. Eu vou colocar √2 aqui que eu não coloquei antes, ok? Ou seja, temos √2 sobre 6, vezes (27 - 1). Bem, isso é igual a quanto? 27 - 1 é 26, então temos 26 vezes √2 sobre 6. Podemos simplificar isso um pouco mais. Podemos dividir o numerador e o denominador por 2, assim, obtemos 13 vezes √2 sobre 3. E pronto! Terminamos. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!