Integral de superfície- Ex. 3, parte 1

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos resolver um exercício sobre a parametrização de uma superfície nós temos aqui uma integral de superfície EA superfície que vamos examinar é se tem essa forma o lado externo dela está logo aqui e você pode ver que podemos decompor ela em três superfície separadas a primeira superfície a sua base que é um círculo unitário a segunda superfície que temos aqui em azul você pode ver ela como lado de um cilindro Mas você lembra foi cortado por um plano aqui e o plano que o corte é o plano Z = 1 - x e claro um plano mesmo vai além dessa forma mas onde aquele plano corta o cilindro meio que define a forma a superfície Azul está acima do limite do Círculo unitário e abaixo do plano EA terceira superficial subconjunto do plano daquele pano roxo é igual a menos x que se sobrepõe que de certa forma criou o topo desse cilindro nós podemos reescrever essa integral de superfície como uma soma de três integrais de superfície ou seja integral de superfície dizerem SDS é igual a integral de superfície dizer em s11ds mais a integral de superfície dizerem S2 mas a integral de superfície dizerem S3 o interessante de fazer isso é que nós podemos resolver cada uma delas de forma independente sendo assim vamos começar com a superfície um eu sei que você pode querer começar a parametrizar tudo imediatamente todo o resto mas tem uma maneira bem mais rápida de lidar com essa integral de superfície Especialmente porque estamos usando a integral de superfície e dizer qual é o valor quiser assumir sobre essa superfície sobre esse círculo unitário aqui bem a superfície uma está no plano XY quando estivermos no plano X quem será igual a zero então para toda essa superfície será igual a zero repare que estamos essencialmente integrando 100 xds será sua mente zero sendo assim tudo isso resultará em Zero Isso é o mais simples que se pode chegar na avaliação de uma integral de superfície mas é sempre importante prestar atenção em coisas como essa porque aí você não perde tempo realizando uma série de cálculos embora realizando os cálculos você vai chegar ao mesmo resultado observando isso você não tem que gastar tanto tempo parametrizando as coisas e tudo mais agora vamos para as outras integrantes superfícies e vamos nos concentrar em inicialmente na superfície dois para essa superfície os valores de x e y que são válidos são os valores de x e y sobre o círculo unitário aqui sendo assim nós podemos parametrizar isso da mesma forma que parametrizar íamos um círculo unitário tradicional então podemos definir aqui x sendo i e o nosso raio é um então x é igual é o cosseno de eu vou usar o parâmetro o sendo assim x = cosseno de U da mesma forma podemos dizer que y é igual é o seno de U eo é o ângulo entre o eixo X positivo e onde quer que a gente esteja nesse círculo unitário esse ângulo aqui é o com isso podemos dizer que rua vai estar entre 0 e 2 Pires ou seja essencialmente estaremos percorrendo esse círculo unitário e esses são todos os valores de x e y possíveis que podemos ter agora o valor de z é o que encontramos sobre o limite e que obtemos ao longo da nossa superfície Mas isso é interessante porque o valor dizer pode obviamente ter vários valores diferentes mas sempre estará abaixo desse plano logo aqui aqui eu vou introduzir um novo parâmetro para Z que eu vou chamar de ver esse é o segundo parâmetro e vencerá definitivamente o maior que zero é bom deixar claro quiserem versão a mesma há aqui eles serão definitivamente o maiores ou iguais a zero mas não serão menores ou iguais alguma constante isso tem que ter um tipo de teto variável ver Será menor ou igual a esse plano aqui assim podemos dizer que é menor ou igual a 1 - x sabemos que dizer é menor ou igual a 1 menos x mais se nós usarmos nossos parâmetros ver é ze1 - x = 1 - o cosseno de um agora temos a nossa parametrização então estamos preparados para avaliar a integral de superfície e para fazer isso vamos calcular primeiro o produto vetorial nós queremos descobrir o que é o DS sendo assim temos que de Essa é igual ao módulo do produto vetorial da parte da nossa parametrização em relação ao com a parte da nossa parametrização em relação a Vi de o dever colocamos aqui a parte da nossa parametrização em relação a uh e você pode ser perguntar cadê a parametrização bem Está logo é só não escrevi na forma tradicional e o JK Mas eu posso fazer isso também eu vou escrever isso de R2 porque estamos falando da superfície 2 ok e isso = cosseno de u e chapéu mais luciano.do J chapéu mais vê tá chapéu e esse é o intervalo onde estarão incluídos os usos e os vez agora eu posso calcular a derivada parcial de R em relação ao assim eu terei que isso é igual a a derivada do Cosseno de um em relação a uh é menos oceano de U aí eu coloco aqui também o e chapéu mas a derivada do seno de um em relação à Ué o cosseno de ouro então eu coloco aqui mais ou cosseno de u j chapéu mais bem a derivada de ver em relação ao é igual a zero então ficamos apenas com isso aqui sendo a derivada parcial de R em relação ao agora também queremos calcular a derivada parcial de hera em relação a ver e isso é igual a bem isso será = 0 + 0 mas a derivada de ver em relação a ver que é igual a um então teremos aqui apenas um cai chapéu agora que fizemos isso estamos prontos para calcular o produto vetorial entre r&r ver depois de fazer isso vamos calcular o módulo desse produto vetorial também o produto vetorial entre a derivada parcial de R em relação a u e a derivada parcial de R em relação a ver é igual ao determinante de três por três na primeira linha colocamos os vetores unitários exijo atacar aí na segunda linha colocamos os componentes da derivada parcial de R em relação ao então colocamos aqui menos oceano de U na primeira coluna aí na segunda coluna colocamos aqui o cosseno de U aí na terceira coluna colocamos 10 agora na terceira linha colocamos as componentes da derivada parcial de R em relação a ver então na primeira coluna colocamos 10 na segunda coluna também aí na terceira coluna colocamos o final é o valor que temos na terceira componente dessa derivada agora vamos calcular isso aqui vamos Calcular o determinante então inicialmente pensamos na componente assim isso será igual ao cosseno vezes um que é apenas o cosseno de ur menos 10 então teremos aqui apenas o cosseno de um vezes chapéu mas a componente J agora assim teremos 10 - - oceano de um vezes um que é igual a mais oceano de u j chapéu agora vamos para a componente cá teremos aqui e isso vezes 10 menos isso v0 = 0 sendo assim o produto vetorial é apenas igual a isso agora podemos calcular o módulo desse produto vetorial o módulo do produto vetorial entre a derivada parcial de R em relação ao e a derivada parcial de R em relação à V = raiz quadrada do Cosseno ao quadrado de um mais o seno ao quadrado de uma não a ficar então é apenas isso aqui isso aqui é a identidade trigonométrica mais básica isso se refere a um círculo unitário sendo assim essa soma entre o cosseno ao quadrado de e o seno ao quadrado de U = 1 a raiz quadrada de um é um Então temos que isso é apenas igual a um O que é bom porque assim podemos dizer que de Essa é apenas igual a deu de ver pelo menos para essa superfície agora que fizemos isso estamos prontos para calcular a integral Mas isso é algo que eu vou fazer em outro vídeo Eu espero que você tenha compreendido até essa parte e mais uma vez eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima