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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
Cálculo de integral de superfície ao longo do exterior do cilindro cortado. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - Fala,
galera da Khan! Neste vídeo, daremos continuidade ao cálculo
da área de superfície deste cilindro cortado aqui. No último vídeo, nós estávamos focados
na integral de superfície relacionada a este exterior
em azul do cilindro, que é o nosso S2. Nós conseguimos encontrar
uma parametrização e, dado isso, conseguimos também encontrar
o dS de nossa superfície. E, agora, nós estamos prontos para realizar
essa integração referente a S2, e descobrir esta
área da parte azul. Então, teremos aqui a integral de superfície
de S2, de Z vezes dS, e, como já sabemos,
este dS aqui é igual a du, dv. E, também, a partir de nossa parametrização,
sabemos que Z é igual a v. Então, teremos a
integral dupla de v, du, dv. E, agora, o que precisamos fazer
é definir estas duas integrais aqui de acordo com os limites estabelecidos
pela parametrização que nós utilizamos. Então, a integral de v dv será definida
entre zero e uma função de u, que é o 1 menos
o cosseno de u. Já a integração em relação à variável u
será definida entre zero e 2 “pi” (π). Agora, nós estamos prontos para realizar
esta primeira integração. Então, continuaremos tendo a integral de u,
de v ao quadrado, dividido por 2, avaliado entre os pontos zero e 1, menos o
cosseno de u, vezes o infinitesimal du. E, aplicando o produto notável aqui,
nós teremos ½ vezes 1, menos duas vezes cosseno de u,
mais o cosseno ao quadrado de u, vezes du. Nós podemos retirar este meio
de dentro da integral e, também, podemos separar estes termos aqui
em três integrais diferentes. Então, teremos a primeira integral de du, apenas,
menos duas vezes a integral de cosseno de u du. E aqui no último termo, nós teríamos a integral
de cosseno ao quadrado de u vezes du. Porém, nós podemos utilizar
a identidade trigonométrica, onde cosseno ao quadrado de u
é igual a ½ mais ½, vezes o cosseno de 2u. Então, no último termo, teremos justamente
isso aqui dentro de nossa integral. ½ mais ½,
vezes o cosseno de 2u, e, agora, nós podemos realizar aqui a segunda
integração desta integração dupla que estamos fazendo. Essa primeira integral aqui será u,
definido entre zero e 2 “pi” (π). Então, teremos apenas 2 “pi” (π),
menos duas vezes essa segunda integral aqui, que será igual ao seno de u,
avaliado entre zero e 2 “pi” (π). E, como o seno de zero,
e o seno de 2 “pi” (π) são zero, este segundo termo
aqui será zerado. Agora, temos que tirar
esta última integral, então, temos a integral de ½ por du,
que é ½ vezes u. E se imaginarmos aqui que ½
vezes o cosseno de 2u é, na verdade, ¼ vezes duas vezes
o cosseno de 2u, nós podemos tirar a integral aqui,
que será ¼ vezes o seno de 2u. E podemos confirmar este resultado
derivando este ¼ seno de 2u e, avaliando este o resultado
entre os limites zero e 2 “pi” (π), teremos 2 “pi” (π), dividido
por 2, que é “pi” (π), mais ¼ vezes o seno de
4 “pi” (π), que é zero. E só para lembrar,
como o limite inferior aqui é zero, se nós realizarmos as substituições
por zero, teremos zero. Então, nesse caso aqui, nós podemos
apenas considerar os limites superiores. Por fim, teremos apenas ½ vezes 2 “pi” (π),
mais “pi” (π), que é igual a 3 “pi” (π). Então, teremos que a superfície 2
tem área igual a 3 “pi” (π) dividido por 2. No próximo vídeo, nós iremos calcular
a área da superfície 3. Então é isso, galera da Khan.
Nós nos vemos por aqui!