Integral de superfície- Ex. 3, parte 2

RKA22JL - Fala, galera da Khan! Neste vídeo, daremos continuidade ao cálculo da área de superfície deste cilindro cortado aqui. No último vídeo, nós estávamos focados na integral de superfície relacionada a este exterior em azul do cilindro, que é o nosso S2. Nós conseguimos encontrar uma parametrização e, dado isso, conseguimos também encontrar o dS de nossa superfície. E, agora, nós estamos prontos para realizar essa integração referente a S2, e descobrir esta área da parte azul. Então, teremos aqui a integral de superfície de S2, de Z vezes dS, e, como já sabemos, este dS aqui é igual a du, dv. E, também, a partir de nossa parametrização, sabemos que Z é igual a v. Então, teremos a integral dupla de v, du, dv. E, agora, o que precisamos fazer é definir estas duas integrais aqui de acordo com os limites estabelecidos pela parametrização que nós utilizamos. Então, a integral de v dv será definida entre zero e uma função de u, que é o 1 menos o cosseno de u. Já a integração em relação à variável u será definida entre zero e 2 “pi” (π). Agora, nós estamos prontos para realizar esta primeira integração. Então, continuaremos tendo a integral de u, de v ao quadrado, dividido por 2, avaliado entre os pontos zero e 1, menos o cosseno de u, vezes o infinitesimal du. E, aplicando o produto notável aqui, nós teremos ½ vezes 1, menos duas vezes cosseno de u, mais o cosseno ao quadrado de u, vezes du. Nós podemos retirar este meio de dentro da integral e, também, podemos separar estes termos aqui em três integrais diferentes. Então, teremos a primeira integral de du, apenas, menos duas vezes a integral de cosseno de u du. E aqui no último termo, nós teríamos a integral de cosseno ao quadrado de u vezes du. Porém, nós podemos utilizar a identidade trigonométrica, onde cosseno ao quadrado de u é igual a ½ mais ½, vezes o cosseno de 2u. Então, no último termo, teremos justamente isso aqui dentro de nossa integral. ½ mais ½, vezes o cosseno de 2u, e, agora, nós podemos realizar aqui a segunda integração desta integração dupla que estamos fazendo. Essa primeira integral aqui será u, definido entre zero e 2 “pi” (π). Então, teremos apenas 2 “pi” (π), menos duas vezes essa segunda integral aqui, que será igual ao seno de u, avaliado entre zero e 2 “pi” (π). E, como o seno de zero, e o seno de 2 “pi” (π) são zero, este segundo termo aqui será zerado. Agora, temos que tirar esta última integral, então, temos a integral de ½ por du, que é ½ vezes u. E se imaginarmos aqui que ½ vezes o cosseno de 2u é, na verdade, ¼ vezes duas vezes o cosseno de 2u, nós podemos tirar a integral aqui, que será ¼ vezes o seno de 2u. E podemos confirmar este resultado derivando este ¼ seno de 2u e, avaliando este o resultado entre os limites zero e 2 “pi” (π), teremos 2 “pi” (π), dividido por 2, que é “pi” (π), mais ¼ vezes o seno de 4 “pi” (π), que é zero. E só para lembrar, como o limite inferior aqui é zero, se nós realizarmos as substituições por zero, teremos zero. Então, nesse caso aqui, nós podemos apenas considerar os limites superiores. Por fim, teremos apenas ½ vezes 2 “pi” (π), mais “pi” (π), que é igual a 3 “pi” (π). Então, teremos que a superfície 2 tem área igual a 3 “pi” (π) dividido por 2. No próximo vídeo, nós iremos calcular a área da superfície 3. Então é isso, galera da Khan. Nós nos vemos por aqui!