Integral de superfície- Ex. 3, parte 3

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar resolvendo nosso exemplo de integral de superfície. A gente já está aqui na reta final, nós só precisamos agora avaliar a terceira integral de superfície, que fica nessa parte aqui de cima desse cilindro que a gente cortou. Bem, inicialmente, vamos realizar uma parametrização dessa superfície. Para isso, vamos pegar esta superfície aqui e começar a avaliá-la. Não podemos esquecer que nós queremos avaliar a integral sobre a superfície S₃ de "zds" Observe a superfície 3 aqui. Nesta superfície, nós precisamos observar todos os valores possíveis de "x" e "y" que estão dentro desse círculo unitário, incluindo a fronteira. Assim, teremos os valores de "z", que é uma função para os valores de ''x". Nós sabemos que este plano que é esta superfícies superior bem aqui, S₃, é um subconjunto do plano "Z", e "Z = 1 - x", é o conjunto acima do círculo unitário no plano ''xy", ou um tipo de subconjunto que cruza com o nosso cilindro que meio que o corta. Bem, vamos pensar aqui primeiro no plano "xy". Vamos pensar sobre isso em termos de coordenadas polares, porque é provavelmente a maneira mais fácil de pensar sobre isso. Eu vou redesenhar uma vista superior aqui para a gente ver isso melhor. Nesta visão aqui superior, a gente tem aqui o eixo "y" e aqui o eixo "x". "x" e "y" podem assumir qualquer valor, afinal, foi dito antes que é preciso preencher o círculo unitário. Então, se você meio que projetar esta superfície superior para baixo, no plano "xy", você vai encontrar essa superfície laranja, a superfície inferior, que se parece com isto aqui. Isso é essencialmente um círculo unitário, assim, podemos ter um parâmetro. Podemos ter um parâmetro que essencialmente diz o quanto estamos nos movimentando ao redor desse círculo. Esse parâmetro é basicamente o nosso ângulo, e vamos usar o θ para descrever esse ângulo. A gente ainda não usou o θ como parâmetro, então, vamos usá-lo aqui agora. Isto é θ. Mas se tivéssemos "x" e "y" apenas como uma função de θ? Nós teríamos um raio fixo, não é? Já que isso está apenas nos dando os pontos do lado de fora do círculo unitário. Mas precisamos ser capazes de ter todos os "x" e "y" que estão fora e dentro desse círculo unitário. Sendo assim, precisamos ter dois parâmetros. Então, além de variar esse ângulo, também precisamos variar o raio. Sendo assim, talvez a gente queira rastrear fora deste círculo unitário, ou quem sabe rastrear algo interno, ou algo ainda mais curto. Então, com certeza, realmente precisamos de um raio variável para que a gente possa saber o quão distante do centro nós estamos indo. Ah, você pode chamar isso aqui de "r". Aí por exemplo, se "r" é fixado e você altera seus intervalos de θ, você vai obter todos esses pontos aqui. Aí, variando o "r", você faria isso com todos os "r". Indo de "r = 0" até "r = 1". Fazendo isso, você vai preencher todo o círculo unitário. Vamos escrever isso aqui, acho que é legal, "r" está entre zero e 1. E o nosso θ? O nosso θ vai percorrer todo o caminho, então, nosso θ vai estar entre zero e 2π. Agora que sabemos desses detalhes, estamos prontos para realizar a parametrização. Bem, "x" é igual a quê? "x" vai ser igual a rcosθ. Já "y", vai ser igual a rsenθ. Agora "Z" é apenas uma função de "x", "Z = 1 - x''. Mas como "x = rcosθ" temos "Z = 1 - rcosθ". Então pronto, temos aqui a nossa parametrização dessa superfície. "x" e "y" vão nos fornecer todos os valores no círculo unitário. Mas aí o "Z", que está aqui em cima, baseado em uma função de "x", em que "Z = 1 - x", vai nos fornecer todos os pontos possíveis dessa superfície. Você pode escolher um "x" e um "y", aí teremos um "Z" que vai nos indicar algum lugar nessa superfície. Sabendo disso, podemos escrever essa parametrização como uma função do vetor posição. Aí, em vez de chamar isso aqui de função vetor posição "r", uma vez que já usamos o "r" aqui para o raio, eu vou chamar isso aqui de S₃. Eu vou fazer isso aqui na cor roxa, ok? Só para a gente saber que estamos falando sobre essa superfície 3 como uma função do vetor de posição. E S₃ é uma função de (r, θ). Isso é igual a rcosθî + rsenθĵ + (1 - rcosθ)k^ Agora estamos prontos para começar a fazer todas as coisas necessárias para calcular a integral de superfície. A primeira coisa que precisamos fazer é calcular o produto vetorial da derivada parcial disso em relação a "r" com a derivada parcial disso em relação a θ. Vamos fazer isso então. Vamos calcular o produto vetorial através de uma determinante de uma matriz 3 por 3. Colocamos aqui na primeira linha, os nossos vetores unitários "i", "j" e "k". Isso pode ficar um pouquinho complicado, mas vamos tentar o nosso melhor aqui para apenas trabalhar com isso. Qual é a derivada parcial dessa função em relação a "r"? A derivada parcial disso em relação a "r" é: cosθ na componente "i", então colocamos aqui o cosθ. Agora a derivada parcial dessa segunda componente em relação a "r" é igual ao senθ. Então, colocamos aqui o senθ. Já a nossa terceira componente vai ser igual a -cosθ. Então, colocamos aqui o -cosθ. Agora vamos fazer a derivada parcial em relação a θ. A parcial disso aqui em relação a θ é -rsenθ. Então, colocamos aqui o -rsenθ. Já a parcial disso em relação a θ é rcosθ. E aqui, temos que a parcial em relação a θ é zero menos, -r vezes, a derivada do cosθ em relação a θ é -senθ. E menos vezes menos é positivo. Assim, temos aqui apenas rsenθ positivo. Colocamos aqui o rsenθ positivo. Agora vamos calcular o determinante dessa matriz. Esse determinante será o produto vetorial entre a parcial dessa função em relação a "r" e a parcial desta função em relação a θ. Isso é igual a, a nossa componente "i" vai ser o senθ vezes rsenθ, então, isso vai ser rsen²θ - (-cosθrcosθ). Então isso será mais rcos²θ. E aí colocamos o "î" aqui. Aí, isso mais a nossa componente "j", que é -cosθ vezes rsenθ. Então, temos aqui menos vezes menos, que é positivo. Então isso é rcosθ vezes senθ, menos, temos aqui o cosθ vezes rsenθ. Então é menos -rcosθ vezes senθ. Colocamos aqui também o "ĵ". Bem, isso é interessante porque temos a mesma coisa, só que um termo é positivo e o outro é negativo, assim, um acaba cancelando o outro. Com isso, tudo isso aqui acaba sendo igual a zero. Portanto, não temos componente "j". Finalmente, vamos para a nossa componente "k". Temos o cosθ vezes rcosθ. Logo, temos rcos²θ - rsenθ vezes -senθ. Ou seja, isso é igual a rsen²θ positivo. Então, colocamos o sinal de positivo aqui e depois o rsen²θ, depois o "k^". Tudo isso é muito legal, porque essa parte aqui pode ser simplificada. Se a gente fatorar o "r" aqui, a gente vai ter rsen²θ + cos²θ. Esta parte aqui acaba sendo igual a 1, então, tudo isso aqui acaba sendo ''rî". E fazemos a mesma coisa aqui. Isso também pode ser simplificado. Na verdade, é a mesma coisa, isso também acaba sendo igual a "r". Então, tudo isso aqui acaba sendo igual a "rî + rk^". Agora precisamos calcular o módulo disso. Deixa eu copiar isso aqui e colar aqui. Aí vamos deixar bem claro que estamos calculando o módulo desse produto vetorial. Então, vamos colocar essas duas barras aqui. O módulo desse produto vetorial vai ser igual à raiz quadrada disso, que é r² mais isso aqui, que também é r². Isso aqui é igual a √2r. Na verdade, deveríamos colocar aqui o valor absoluto de "r", mas como sabemos que "r" só assume valores positivos para esse caso, então, podemos deixar o "r" assim. Logo, o módulo desse produto vetorial realmente é igual a √2r. O que é muito bom, porque agora podemos avaliar o ''dS". O "dS" vai ser isso aqui que calculamos seguindo por "drdθ". Agora que sabemos isso, podemos calcular a integral de superfície, que é o nosso objetivo principal. Podemos colocar aqui que nossa integral da superfície S₃ de "ZdS" é igual a, eu vou usar cores diferentes aqui para definir as variáveis de integração, ok? Eu vou fazer aqui um do lado de fora e um do lado de dentro. Agora colocamos o "Z". Z = 1 - rcosθ. Então, colocamos aqui 1 - rcosθ. Como temos "r" e cosseno, vamos precisar integrar em relação às duas variáveis. Aí eu colocoo "dS" agora, mas colocamos de acordo com a nossa parametrização. Então, teremos a √2r. Assim, teremos isso aqui vezes a √2. Ah, eu posso colocar a √2 na frente de tudo, já que é uma constante. Então, eu vou fazer isso, simplifica as coisas. Agora, colocamos aqui vezes "r" e agora drdθ. Por último, o que precisamos fazer é integrar em relação a "r" e depois integrar em relação θ. Eu vou fazer isso no próximo vídeo, beleza? Inclusive, neste vídeo, vamos definir os limites de integração também. Então, eu quero deixar para você um grande abraço, e falar que te aguardo aí no próximo vídeo.