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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
Parametrização da superfície superior. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar resolvendo
nosso exemplo de integral de superfície. A gente já está aqui na reta final, nós só precisamos agora avaliar
a terceira integral de superfície, que fica nessa parte aqui de cima
desse cilindro que a gente cortou. Bem, inicialmente, vamos realizar
uma parametrização dessa superfície. Para isso, vamos pegar
esta superfície aqui e começar a avaliá-la. Não podemos esquecer que nós
queremos avaliar a integral sobre a superfície S₃ de "zds" Observe a superfície 3 aqui. Nesta superfície, nós precisamos observar
todos os valores possíveis de "x" e "y" que estão dentro desse círculo unitário,
incluindo a fronteira. Assim, teremos os valores de "z", que é uma função
para os valores de ''x". Nós sabemos que este plano
que é esta superfícies superior bem aqui, S₃, é um subconjunto do plano "Z", e "Z = 1 - x", é o conjunto acima do círculo
unitário no plano ''xy", ou um tipo de subconjunto
que cruza com o nosso cilindro que meio que o corta. Bem, vamos pensar aqui
primeiro no plano "xy". Vamos pensar sobre isso em termos
de coordenadas polares, porque é provavelmente a maneira
mais fácil de pensar sobre isso. Eu vou redesenhar uma
vista superior aqui para a gente ver isso melhor. Nesta visão aqui superior, a gente tem aqui o eixo "y"
e aqui o eixo "x". "x" e "y" podem assumir qualquer valor, afinal, foi dito antes que é preciso
preencher o círculo unitário. Então, se você meio que projetar
esta superfície superior para baixo, no plano "xy", você vai encontrar
essa superfície laranja, a superfície inferior,
que se parece com isto aqui. Isso é essencialmente um círculo unitário, assim, podemos ter um parâmetro. Podemos ter um parâmetro
que essencialmente diz o quanto estamos nos movimentando
ao redor desse círculo. Esse parâmetro é
basicamente o nosso ângulo, e vamos usar o θ para
descrever esse ângulo. A gente ainda não usou o θ
como parâmetro, então, vamos usá-lo aqui agora. Isto é θ. Mas se tivéssemos "x" e "y"
apenas como uma função de θ? Nós teríamos um raio fixo, não é? Já que isso está apenas
nos dando os pontos do lado de fora do círculo unitário. Mas precisamos ser capazes
de ter todos os "x" e "y" que estão fora e dentro
desse círculo unitário. Sendo assim, precisamos
ter dois parâmetros. Então, além de variar esse ângulo, também precisamos variar o raio. Sendo assim, talvez a gente queira
rastrear fora deste círculo unitário, ou quem sabe rastrear algo interno, ou algo ainda mais curto. Então, com certeza, realmente precisamos
de um raio variável para que a gente possa saber o quão
distante do centro nós estamos indo. Ah, você pode chamar isso aqui de "r". Aí por exemplo, se "r" é fixado e você altera seus intervalos de θ, você vai obter todos esses pontos aqui. Aí, variando o "r", você faria isso com todos os "r". Indo de "r = 0" até "r = 1". Fazendo isso, você vai preencher
todo o círculo unitário. Vamos escrever isso aqui,
acho que é legal, "r" está entre zero e 1. E o nosso θ? O nosso θ vai percorrer
todo o caminho, então, nosso θ vai estar
entre zero e 2π. Agora que sabemos desses detalhes, estamos prontos para
realizar a parametrização. Bem, "x" é igual a quê? "x" vai ser igual a rcosθ. Já "y", vai ser igual a rsenθ. Agora "Z" é apenas uma
função de "x", "Z = 1 - x''. Mas como "x = rcosθ"
temos "Z = 1 - rcosθ". Então pronto, temos aqui a nossa
parametrização dessa superfície. "x" e "y" vão nos fornecer todos
os valores no círculo unitário. Mas aí o "Z", que está aqui em cima, baseado em uma função de "x",
em que "Z = 1 - x", vai nos fornecer todos os pontos
possíveis dessa superfície. Você pode escolher um "x" e um "y", aí teremos um "Z" que vai nos
indicar algum lugar nessa superfície. Sabendo disso, podemos escrever essa parametrização como uma
função do vetor posição. Aí, em vez de chamar isso aqui
de função vetor posição "r", uma vez que já usamos
o "r" aqui para o raio, eu vou chamar isso aqui de S₃. Eu vou fazer isso
aqui na cor roxa, ok? Só para a gente saber
que estamos falando sobre essa superfície 3 como uma função
do vetor de posição. E S₃ é uma função de (r, θ). Isso é igual a rcosθî
+ rsenθĵ + (1 - rcosθ)k^ Agora estamos prontos para começar
a fazer todas as coisas necessárias para calcular a integral de superfície. A primeira coisa que precisamos fazer é calcular o produto vetorial da derivada parcial disso em relação a "r" com a derivada
parcial disso em relação a θ. Vamos fazer isso então. Vamos calcular o produto
vetorial através de uma determinante de uma matriz 3 por 3. Colocamos aqui na primeira linha, os nossos vetores unitários
"i", "j" e "k". Isso pode ficar um
pouquinho complicado, mas vamos tentar o nosso melhor aqui
para apenas trabalhar com isso. Qual é a derivada parcial
dessa função em relação a "r"? A derivada parcial disso
em relação a "r" é: cosθ na componente "i", então colocamos aqui o cosθ. Agora a derivada parcial
dessa segunda componente em relação a "r" é igual ao senθ. Então, colocamos aqui o senθ. Já a nossa terceira componente
vai ser igual a -cosθ. Então, colocamos aqui o -cosθ. Agora vamos fazer a derivada
parcial em relação a θ. A parcial disso aqui
em relação a θ é -rsenθ. Então, colocamos aqui o -rsenθ. Já a parcial disso
em relação a θ é rcosθ. E aqui, temos que a parcial
em relação a θ é zero menos, -r vezes, a derivada do cosθ
em relação a θ é -senθ. E menos vezes menos é positivo. Assim, temos aqui apenas
rsenθ positivo. Colocamos aqui o rsenθ positivo. Agora vamos calcular
o determinante dessa matriz. Esse determinante será
o produto vetorial entre a parcial dessa função
em relação a "r" e a parcial desta função em relação a θ. Isso é igual a, a nossa componente "i"
vai ser o senθ vezes rsenθ, então, isso vai ser
rsen²θ - (-cosθrcosθ). Então isso será
mais rcos²θ. E aí colocamos o "î" aqui. Aí, isso mais a nossa componente "j",
que é -cosθ vezes rsenθ. Então, temos aqui menos
vezes menos, que é positivo. Então isso é rcosθ vezes senθ, menos, temos aqui
o cosθ vezes rsenθ. Então é menos -rcosθ vezes senθ. Colocamos aqui também o "ĵ". Bem, isso é interessante
porque temos a mesma coisa, só que um termo é positivo
e o outro é negativo, assim, um acaba cancelando o outro. Com isso, tudo isso aqui
acaba sendo igual a zero. Portanto, não temos componente "j". Finalmente, vamos para
a nossa componente "k". Temos o cosθ vezes rcosθ. Logo, temos rcos²θ - rsenθ vezes -senθ. Ou seja, isso é igual a rsen²θ positivo. Então, colocamos o sinal
de positivo aqui e depois o rsen²θ, depois o "k^". Tudo isso é muito legal, porque essa parte aqui
pode ser simplificada. Se a gente fatorar o "r" aqui,
a gente vai ter rsen²θ + cos²θ. Esta parte aqui acaba sendo igual a 1, então, tudo isso aqui acaba sendo ''rî". E fazemos a mesma coisa aqui. Isso também pode ser simplificado. Na verdade, é a mesma coisa,
isso também acaba sendo igual a "r". Então, tudo isso aqui acaba
sendo igual a "rî + rk^". Agora precisamos calcular
o módulo disso. Deixa eu copiar isso aqui e colar aqui. Aí vamos deixar bem claro que estamos calculando o módulo
desse produto vetorial. Então, vamos colocar essas
duas barras aqui. O módulo desse produto vetorial vai ser
igual à raiz quadrada disso, que é r² mais isso aqui,
que também é r². Isso aqui é igual a √2r. Na verdade, deveríamos colocar aqui
o valor absoluto de "r", mas como sabemos que "r" só assume
valores positivos para esse caso, então, podemos deixar o "r" assim. Logo, o módulo desse produto vetorial
realmente é igual a √2r. O que é muito bom, porque
agora podemos avaliar o ''dS". O "dS" vai ser isso aqui que calculamos
seguindo por "drdθ". Agora que sabemos isso, podemos calcular a integral de superfície, que é o nosso objetivo principal. Podemos colocar aqui que nossa
integral da superfície S₃ de "ZdS" é igual a, eu vou usar cores diferentes aqui para definir as variáveis
de integração, ok? Eu vou fazer aqui um do lado de fora
e um do lado de dentro. Agora colocamos o "Z". Z = 1 - rcosθ. Então, colocamos aqui 1 - rcosθ. Como temos "r" e cosseno, vamos precisar
integrar em relação às duas variáveis. Aí eu colocoo "dS" agora, mas colocamos de acordo
com a nossa parametrização. Então, teremos a √2r. Assim, teremos isso aqui vezes a √2. Ah, eu posso colocar
a √2 na frente de tudo, já que é uma constante. Então, eu vou fazer isso,
simplifica as coisas. Agora, colocamos aqui vezes "r"
e agora drdθ. Por último, o que precisamos fazer é integrar em relação a "r" e depois integrar em relação θ. Eu vou fazer isso no
próximo vídeo, beleza? Inclusive, neste vídeo, vamos definir
os limites de integração também. Então, eu quero deixar
para você um grande abraço, e falar que te aguardo
aí no próximo vídeo.