Integral de superfície- Ex. 3, parte 4

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos continuar resolvendo a nossa integral de superfície e ainda falta resolver essa integral dupla aqui Dr detecta e também podemos colocar os limites de integrações dessas duas integrais se soubermos aqui vamos ver que o teto a varia de 0 até 2 pe e o rd 0 até 1 e eu posso colocar isso nas integrais aqui a integral em relação à R vai ser de 0 até 1 EA integral em relação atleta nós ser diseram até 2 pe e para continuar integrando nós integramos essa parte aqui de dentro primeiro em relação a r e com isso Eu repito a raiz quadrada de dois que multiplica a integral de 0 a do espírito e eu posso colocar o detecta aqui também e para ficar mais fácil de realizar essa integração nós podemos reescrever é tô aplicando a distributiva E aí vamos ficar com R - R ao quadrado vezes o cosseno de teta e integrando isso nós vamos considerar o cosseno como uma constante e por causa disso integral e somente o r ao quadrado então a integral Dr vai ser R ao quadrado sobre 2 menos a integral de R ao quadrado vezes o cosseno de teta que é menos é real cubo sobre três vezes o cosseno de teta e nós avaliamos isso de 0 até 1 e aplicando O Teorema Fundamental do Cálculo nós pegamos esse um e substituímos no lugar do Erre E aí vamos ficar com um ao quadrado sobre dois que a mesma coisa que meio menos um Ao Cubo sobre três que vai dar um terço vezes o cosseno de teta e subtraímos isso substituindo esse zero aqui no lugar do r se fizermos Isso aqui vai dar zero e aqui também Portanto vamos ficar somente com essa parte ou seja se a valermos essa integral de 0 até um vamos ficar com o meio - 13 x o cosseno de teta E aí podemos reescrever a expressão como a raiz quadrada de dois que multiplica a integral de 0 até do speedy de 1 sobre 2 menos um terço x o cosseno de teta detecta bem o que devemos fazer aqui é repetir essa raiz quadrada de dois e aí vamos ficar com a raiz quadrada de dois e multiplica a integral disso aqui e a integral de meio é a mesma coisa que meio vezes teto EA integral desse produto Nós Vamos considerar um terço como constante E com isso vamos ficar com menos um terço que multiplica a integral do Cosseno que nesse caso é o seno eo Ah pois isso de 0 até 2 pe e agora é só substituir né por isso vamos ficar com a raiz quadrada de dois que multiplica isso aqui é avaliado de 0 a 2 p ou seja pegamos esse Dois Filhos e substituímos no lugar do teto ah pelo resultado que vai dar quando colocamos esse 0 no lugar do tetra e fazendo isso se substituirmos dois pinos no lugar do teto Ah vamos ficar com o pe isso porque meio vezes 2 p nós vamos cancelar esse Dois com esse aqui e o seno de 2pi é zero por isso essa parte vai gerar e subtraímos isso pelo resultado que vai dar quando substituímos o zero no lugar do teto Ah mas Se colocarmos o zero aqui essa parte vai gerar e o seno de 0 = 0 portanto essa parte também vai gerar ou seja tudo isso vai ser zero e com isso vão e somente confie e raiz quadrada de dois vezes pi = raiz quadrada de dois vezes pin né portanto se voltarmos lá no início da nossa questão nós temos que isso aqui é igual à raiz quadrada de dois vezes pe ou seja se somarmos a integral de cada uma dessas superfícies O resultado vai ser a integral dessa aqui e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal