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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
Cálculo do terceiro integral de superfície e chegada à resposta final. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - E aí, pessoal?
Tudo bem? Nessa aula, nós vamos continuar
resolvendo a nossa integral de superfície e ainda falta resolver
essa integral dupla de dr dθ e também podemos colocar os limites
de integrações dessas duas integrais. Se subirmos aqui, vamos ver que o teta (θ)
varia de zero até 2π e o r de zero até 1 e eu posso colocar isso nas integrais. Aqui, a integral em relação a r
vai ser de zero até 1 e a integral em relação a teta (θ)
vai ser de zero até 2π. Para continuar integrando, integramos
a parte de dentro primeiro em relação a r e, com isso, eu repito a raiz quadrada de 2,
que multiplica a integral de zero a 2π, eu posso colocar o dθ aqui também. Para ficar mais fácil de realizar
essa integração, nós podemos reescrever essa parte
aplicando a distributiva, e vamos ficar com r menos r ao quadrado
vezes o cosseno de teta (cosθ) e, integrando isso, vamos considerar
o cosseno como uma constante e, por causa disso, integramos
somente o r ao quadrado. Então, a integral de r vai ser:
r ao quadrado sobre 2 menos a integral de r ao quadrado
vezes o cosseno de teta (cosθ), que é menos r ao cubo
sobre 3 vezes o cosseno de teta (cosθ). E nós avaliamos
isso de zero até 1. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, nós pegamos esse 1 e substituímos
no lugar do r, e aí vamos ficar com
1 ao quadrado sobre 2, que é a mesma coisa que ½
menos 1 ao cubo sobre 3, que vai dar ⅓
vezes o cosseno de teta (cosθ). Subtraímos isso substituindo
esse zero no lugar do r. Se fizermos isso,
aqui vai dar zero e aqui também. Portanto, vamos ficar
somente com essa parte. Ou seja, se avaliarmos essa integral
de zero até 1, vamos ficar com ½
menos ⅓ vezes o cosseno de teta (cosθ). E aí podemos reescrever
a expressão como: a raiz quadrada de 2, que multiplica
a integral de zero até 2π de ½ menos ⅓ vezes o
cosseno de teta (cosθ) dθ. O que devemos fazer aqui é repetir
essa raiz quadrada de 2, e aí vamos ficar com
a raiz quadrada de 2, que multiplica a integral disso aqui
e a integral de ½. É a mesma coisa
que ½ vezes teta (θ). E a integral desse produto,
vamos considerar ⅓ como constante. Com isso, vamos ficar com -⅓,
que multiplica a integral do cosseno, que, nesse caso, é o seno,
e avaliamos isso de zero até 2π. Agora, é só substituir. Por isso, vamos ficar
com a raiz quadrada de 2, que multiplica isso aqui avaliado
de zero a 2π. Ou seja, pegamos esse 2π
e substituímos no lugar do teta (θ) pelo resultado que vai dar quando
colocamos esse zero no lugar do teta (θ). Fazendo isso, se substituirmos 2π
no lugar do teta (θ), vamos ficar com π. Isso porque ½ vezes 2π,
nós vamos cancelar esse 2 com esse aqui, e o seno de 2π é zero. Por isso, essa parte vai zerar e subtraímos isso
pelo resultado que vai dar quando substituímos o zero
no lugar do teta (θ). Mas se colocarmos o zero aqui,
essa parte vai zerar e o seno de zero é igual a zero. Portanto, essa parte também vai zerar.
Ou seja, tudo isso vai ser zero e, com isso, vamos ficar
somente com π. E raiz quadrada de 2π
é igual à raiz quadrada de 2π. Portanto, se voltarmos no início
da nossa questão, nós temos que isso é igual
à raiz quadrada de 2π. Ou seja, se somarmos a integral
de cada uma dessas superfícies, o resultado vai ser a integral dessa aqui. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês
e até a próxima, pessoal!