Integral de superfície- Ex. 3, parte 4

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nessa aula, nós vamos continuar resolvendo a nossa integral de superfície e ainda falta resolver essa integral dupla de dr dθ e também podemos colocar os limites de integrações dessas duas integrais. Se subirmos aqui, vamos ver que o teta (θ) varia de zero até 2π e o r de zero até 1 e eu posso colocar isso nas integrais. Aqui, a integral em relação a r vai ser de zero até 1 e a integral em relação a teta (θ) vai ser de zero até 2π. Para continuar integrando, integramos a parte de dentro primeiro em relação a r e, com isso, eu repito a raiz quadrada de 2, que multiplica a integral de zero a 2π, eu posso colocar o dθ aqui também. Para ficar mais fácil de realizar essa integração, nós podemos reescrever essa parte aplicando a distributiva, e vamos ficar com r menos r ao quadrado vezes o cosseno de teta (cosθ) e, integrando isso, vamos considerar o cosseno como uma constante e, por causa disso, integramos somente o r ao quadrado. Então, a integral de r vai ser: r ao quadrado sobre 2 menos a integral de r ao quadrado vezes o cosseno de teta (cosθ), que é menos r ao cubo sobre 3 vezes o cosseno de teta (cosθ). E nós avaliamos isso de zero até 1. Aplicando o teorema fundamental do cálculo, nós pegamos esse 1 e substituímos no lugar do r, e aí vamos ficar com 1 ao quadrado sobre 2, que é a mesma coisa que ½ menos 1 ao cubo sobre 3, que vai dar ⅓ vezes o cosseno de teta (cosθ). Subtraímos isso substituindo esse zero no lugar do r. Se fizermos isso, aqui vai dar zero e aqui também. Portanto, vamos ficar somente com essa parte. Ou seja, se avaliarmos essa integral de zero até 1, vamos ficar com ½ menos ⅓ vezes o cosseno de teta (cosθ). E aí podemos reescrever a expressão como: a raiz quadrada de 2, que multiplica a integral de zero até 2π de ½ menos ⅓ vezes o cosseno de teta (cosθ) dθ. O que devemos fazer aqui é repetir essa raiz quadrada de 2, e aí vamos ficar com a raiz quadrada de 2, que multiplica a integral disso aqui e a integral de ½. É a mesma coisa que ½ vezes teta (θ). E a integral desse produto, vamos considerar ⅓ como constante. Com isso, vamos ficar com -⅓, que multiplica a integral do cosseno, que, nesse caso, é o seno, e avaliamos isso de zero até 2π. Agora, é só substituir. Por isso, vamos ficar com a raiz quadrada de 2, que multiplica isso aqui avaliado de zero a 2π. Ou seja, pegamos esse 2π e substituímos no lugar do teta (θ) pelo resultado que vai dar quando colocamos esse zero no lugar do teta (θ). Fazendo isso, se substituirmos 2π no lugar do teta (θ), vamos ficar com π. Isso porque ½ vezes 2π, nós vamos cancelar esse 2 com esse aqui, e o seno de 2π é zero. Por isso, essa parte vai zerar e subtraímos isso pelo resultado que vai dar quando substituímos o zero no lugar do teta (θ). Mas se colocarmos o zero aqui, essa parte vai zerar e o seno de zero é igual a zero. Portanto, essa parte também vai zerar. Ou seja, tudo isso vai ser zero e, com isso, vamos ficar somente com π. E raiz quadrada de 2π é igual à raiz quadrada de 2π. Portanto, se voltarmos no início da nossa questão, nós temos que isso é igual à raiz quadrada de 2π. Ou seja, se somarmos a integral de cada uma dessas superfícies, o resultado vai ser a integral dessa aqui. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!