Exemplo de integral de superfície - Parte 1

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a resolver um exemplo de integral de superfície. Para isso, vamos calcular a integral de superfície da função x²dσ, onde a superfície em questão, ou seja, a superfície que iremos nos importar, vai ser uma esfera unitária, que é definida por "x² + y² + z² = 1". Neste primeiro vídeo, eu vou me concentrar em realizar uma parametrização desta superfície aqui. Como você vai ver, essa parte geralmente é a mais difícil, porque demora um pouco para visualizar, aí depois disso tudo é meio mecânico. Mas claro, pode ter o seu grau de dificuldade também, por isso que eu eu vou resolver tudo isso aqui nos próximos vídeos. Sabendo disso, vamos pensar primeiro sobre como podemos parametrizar esta esfera unitária em função de dois parâmetros. Então, vamos pensar sobre isso. Primeiro, vamos pensar sobre a esfera unitária. Eu vou pegar uma vista plana aqui desta esfera unitária e vou colocar em um gráfico "z" em relação ao plano (x, y). Sendo assim, eu vou colocar aqui o eixo "z" e aqui eu vou colocar o plano (x, y). É bom deixar claro que isto aqui não é apenas o eixo "x" ou o eixo "y", mas sim o plano "xy" visto de lado. Agora, nossa esfera, nossa esfera unitária, pode se parecer com isto aqui. A própria esfera unitária não é muito difícil de visualizar. Bem, o raio desta esfera em qualquer ponto é igual a 1, já que é uma esfera unitária. Então, este comprimento aqui é 1 e este comprimento aqui também é 1. E é sempre bom frisar que isto aqui é uma esfera, não é apenas uma circunferência. Eu acho até legal deixar isto aqui um pouquinho sombreado para deixar claro que essa coisa tem uma certa dimensionalidade. Este sombreado faz com que você pareça um pouco mais esférico. Agora, vamos tentar parametrizar isso. Como o primeiro passo, vamos apenas pensar aqui um pouco na situação caso a gente não tivesse que pensar acima ou abaixo do plano (x, y). Se a gente apenas pensar sobre onde esta esfera unitária cruza o plano (x, y), como nós poderíamos parametrizar isso? Bem, vamos pensar um pouco aqui sobre isso. Onde que esta esfera cruza o plano (x, y)? Ela cruza aqui, e realmente em todos os lugares, então, ela cruza aqui também. Sabendo disso, vamos desenhar aqui do lado o plano (x, y) e pensar sobre esse cruzamento, aí depois a gente pode pensar sobre o que acontece quando a gente vai abaixo ou acima do plano (x, y). Então, no plano (x, y) aqui, temos esta pequena região onde acabamos de sombrear. Eu vou desenhar isso aqui. A gente pode ver isso aqui que eu vou desenhar com uma vista de cima, uma visão superior. Assim, o eixo "z" vai estar apontado para você, direto para fora aqui da tela, aí teremos aqui o eixo "y" e aqui o eixo "x". Este primeiro é algo que estamos vendo aqui de lado, e este aqui agora é algo que estamos vendo de cima. Assim, a nossa esfera vai se parecer com isso quando vista de cima. O que eu acabei de desenhar aqui, este círculo pontilhado, vai ser onde nossa espera unitária vai cruzar o plano (x, y). E assim, usando isso, podemos começar a pensar sobre como parametrizar os nossos valores "x" e "y", ou seja, a coordenada "x" e a coordenada "y" de nossa função. Bem, vamos pensar aqui no primeiro parâmetro. Como percebemos aqui, o eixo "z" está apontado para fora da tela, ou seja, para você. Vamos imaginar, então, que ele comece a girar no sentido anti-horário. Como estamos girando este eixo "z", a visão que teremos vista de cima é que a gente vai ter uma espécie de ângulo sendo formado aqui. Eu vou chamar esse ângulo de "s", que, inclusive, ele diz para a gente o quanto estamos girando do eixo "x" em relação ao eixo "y". Você também pode pensar nisso como algo que está girando em torno de "z". Lembrando que o eixo "z" está apontado para você. Um detalhe, o raio aqui é sempre 1, já que a gente está falando de uma esfera unitária. Então, dado esse parâmetro "s", quais seriam as suas coordenadas (x, y)? Estamos pensando sobre isso porque estamos sobre o plano (x, y), então, para saber qual é a coordenada "x", precisamos de lembrar da definição do círculo unitário nas funções trigonométricas. A coordenada "x" vai ser o cos(s). O certo mesmo é o raio vezes o cos(s), mas o raio é 1. Já a coordenada "y" é 1sen(s). O legal é que é daí que obtemos as nossas definições para o cosseno e seno de alguma coisa, então, isto aqui é bem bonito e divertido. Agora, neste caso aqui, "z" é obviamente igual a zero, então, se a gente quiser, a gente pode colocar a nossa coordenada "z" aqui, colocamos "z" igual a zero, afinal, estamos no plano (x, y). Agora, vamos pensar sobre o que acontece se a gente for acima ou abaixo do plano (x, y). Lembre-se, nós estamos aqui no plano (x, y), e isso aqui está nos dizendo como estamos girando em torno do eixo "z". Agora, a gente vai pensar sobre o que acontece quando a gente vai abaixo ou acima deste plano. Para descobrir a forma que vamos estar acima ou abaixo do plano, eu vou apresentar um outro parâmetro. Esse novo parâmetro que eu vou apresentar é o "t", que vai indicar quando estamos acima ou abaixo do plano (x, y). Agora, o que é interessante sobre isso é que se a gente pegar qualquer outra seção que é paralela ao plano (x, y), teremos um raio menor. Então, vamos colocar isso aqui de uma forma bem clara. Se estamos aqui, onde este plano é cruzado pela nossa esfera unitária, o raio é menor do que era antes, então, qual vai ser esse novo raio? Bem, com um pouquinho de trigonometria, a gente percebe que este comprimento bem aqui é igual a cos(t). Então, este raio aqui é igual a cos(t). E ainda funciona aqui, porque se "t" percorrer todo o caminho até zero, o cos(0) é 1, logo, isso funciona quando estamos no plano (x, y). Então, o raio aqui, vai ser o cos(0), que é quando temos ''t = 0". Aqui não estamos nos deslocando acima ou abaixo do plano (x, y), agora, se a gente se movimentar aqui para cima do plano (x, y), o raio vai mudar, então, neste caso será o cos(t). Agora, podemos usar isso para realmente parametrizar (x, y) em qualquer lugar. Vamos, então, olhar aqui para esta seção transversal. Aqui, não estamos no plano (x, y), estamos em algo que é paralelo ao plano (x, y). Beleza, como estamos aqui, esta seção transversal, quando vista de cima, vai se parecer com isto aqui, mais ou menos assim. Essa é a visão superior desta seção transversal aqui, e o nosso raio aqui em cima é o cos(t). Então, dado esta posição aqui que estamos, qual vai ser a parametrização usando s(x, y)? Bem, exatamente a mesma coisa, exceto agora que o nosso raio não é mais apenas 1, agora é uma função de "t". Como estamos mais alto, por assim dizer, temos que a nossa coordenada "x" vai ter um raio que é o nosso cos(t). Então, temos aqui o nosso raio vezes o cos(s), afinal, nessa altura, nós vamos girar em torno do eixo "z'', então, temos um ângulo "s" realizando todo esse caminho, por isso que temos aqui o cos(t) vezes cos(s). Da mesma forma, a nossa coordenada "y" vai ser igual ao nosso raio, que é o cos(t) vezes sen(s). Exatamente a mesma lógica aqui, exceto que agora temos um raio diferente, nosso raio não é mais 1 vezes sen(s). E eu sei que eu isso parece muito confuso, mas o que você precisa dizer é apenas em qual nível somos paralelos ao eixo "x". Estamos meio que rastreando outros círculos onde temos outros planos se cruzando com nossa esfera unitária, e fazemos isso girando com o "s". Ao fazer isso, o nosso raio vai mudando, com uma função que vai nos dizer onde estamos acima ou abaixo do plano (x, y). É assim que vamos girando acima ou abaixo do plano (x, y), ou seja, teremos isso para raios diferentes de 1, e ao mesmo tempo, estamos girando em torno do "z". O mesmo vale para a coordenada "y". Agora, a coordenada "z" é muito simples, vai ser apenas uma função de "t", afinal, não depende de como estamos girando por aqui em qualquer altitude, afinal, "z" é a nossa altitude. Agora que fizemos isso, podemos ir direto para este diagrama bem aqui. Nossa coordenada "z" vai ser o sen(t), portanto, nosso "z = sen(t)". Então vamos escrever isso. "z" vai ser igual ao sen(t). Agora sim, cada ponto nesta esfera pode ser descrito como uma função de (t, s). Ah, também não podemos deixar de pensar em que faixa essa função é definida. Você poderia pensar: para qualquer dado "t", "s" vai percorrer todo o caminho. Nós vemos isso bem aqui. Em qualquer nível visto de cima, "s" vai realizar uma volta completa. Então, pensando nisso em termos de radianos, "s" vai estar entre zero e 2π, e "t" é essencialmente a nossa altitude na direção "z". Então, vamos percorrer todo o caminho, indo de -π/2, que é quanto corresponde este ângulo, até chegar aqui em cima. Não precisa dar uma volta completa. Sendo assim, "t" vai até π/2. Pronto, já temos a parametrização. É legal escrever isso aqui agora de uma forma que seja mais reconhecível. Se a gente quiser escrever essa superfície como um vetor de posição, podemos fazer assim. Podemos escrever "r" como sendo uma função de (s, t) e isso sendo do igual à nossa componente "x'', bem, a nossa componente "x" vai ser o cos(t) vezes cos(s)î. Aí, isso mais a nossa componente "y", que é o cos(t) vezes sen(s)ĵ, mais a nossa componente "z", que vai ser apenas o sen(t)k^. E esses aqui são os intervalos que estes parâmetros vão assumir. Bem, aqui é apenas o primeiro passo, nós parametrizamos a superfície. Agora precisamos configurar a integral de superfície de acordo com essa parametrização. Para fazer isso, a gente precisa realizar um produto vetorial, algo que pode ser um pouco difícil, mas nós vamos fazer isso com muita calma, aí, depois, vamos calcular a própria integral. Então, eu vou deixar aqui para você um grande abraço, e dizer que te aguardo no próximo vídeo!