Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Exemplo de integral de superfície - Parte 1
Visualizando uma parametrização adequada. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
- Hi, is there any way we can parameterize the sphere so it can be a function of a single parameter? Thanks in advance.(2 votos)
- I may assume that you mean to parameterize spheres of the S^2 type. (that means spheres in an Euclidian space R^3)
If that, the answer is no.
The best parametrization you could get is by the use of spherical coordinates which may reduce to a function of R^2 -> R^3. (And that is valid only for the unit sphere case).
In all other cases of S^2, you may have to know the radius, the azimuth and the inclination in order get the parametrization of all the points.
If you are interested, there is a nice summary of spherical coordinates in: http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos começar a resolver um exemplo de integral de superfície. Para isso, vamos calcular
a integral de superfície da função x²dσ, onde a superfície em questão, ou seja, a superfície que
iremos nos importar, vai ser uma esfera unitária, que é definida por
"x² + y² + z² = 1". Neste primeiro vídeo, eu vou me concentrar em realizar
uma parametrização desta superfície aqui. Como você vai ver, essa parte
geralmente é a mais difícil, porque demora um pouco para visualizar, aí depois disso tudo é meio mecânico. Mas claro, pode ter o seu grau
de dificuldade também, por isso que eu eu vou resolver
tudo isso aqui nos próximos vídeos. Sabendo disso, vamos pensar primeiro sobre como podemos parametrizar esta esfera unitária em função
de dois parâmetros. Então, vamos pensar sobre isso. Primeiro, vamos pensar
sobre a esfera unitária. Eu vou pegar uma vista plana
aqui desta esfera unitária e vou colocar em um gráfico "z"
em relação ao plano (x, y). Sendo assim, eu vou
colocar aqui o eixo "z" e aqui eu vou colocar o plano (x, y). É bom deixar claro que isto aqui
não é apenas o eixo "x" ou o eixo "y", mas sim o plano "xy" visto de lado. Agora, nossa esfera,
nossa esfera unitária, pode se parecer com isto aqui. A própria esfera unitária não
é muito difícil de visualizar. Bem, o raio desta esfera em
qualquer ponto é igual a 1, já que é uma esfera unitária. Então, este comprimento aqui é 1
e este comprimento aqui também é 1. E é sempre bom frisar que
isto aqui é uma esfera, não é apenas uma circunferência. Eu acho até legal deixar isto aqui
um pouquinho sombreado para deixar claro que essa coisa
tem uma certa dimensionalidade. Este sombreado faz com que você
pareça um pouco mais esférico. Agora, vamos tentar
parametrizar isso. Como o primeiro passo, vamos
apenas pensar aqui um pouco na situação caso a gente
não tivesse que pensar acima ou abaixo do plano (x, y). Se a gente apenas pensar sobre onde esta esfera
unitária cruza o plano (x, y), como nós poderíamos parametrizar isso? Bem, vamos pensar um
pouco aqui sobre isso. Onde que esta esfera cruza o plano (x, y)? Ela cruza aqui, e realmente
em todos os lugares, então, ela cruza aqui também. Sabendo disso, vamos desenhar
aqui do lado o plano (x, y) e pensar sobre esse cruzamento, aí depois a gente pode pensar sobre o que acontece
quando a gente vai abaixo ou acima do plano (x, y). Então, no plano (x, y) aqui, temos esta pequena região
onde acabamos de sombrear. Eu vou desenhar isso aqui. A gente pode ver isso aqui
que eu vou desenhar com uma vista de cima,
uma visão superior. Assim, o eixo "z" vai estar
apontado para você, direto para fora aqui da tela, aí teremos aqui o eixo "y"
e aqui o eixo "x". Este primeiro é algo que estamos
vendo aqui de lado, e este aqui agora é algo que
estamos vendo de cima. Assim, a nossa esfera vai se parecer
com isso quando vista de cima. O que eu acabei de desenhar aqui,
este círculo pontilhado, vai ser onde nossa espera unitária
vai cruzar o plano (x, y). E assim, usando isso, podemos começar a pensar sobre como parametrizar
os nossos valores "x" e "y", ou seja, a coordenada "x"
e a coordenada "y" de nossa função. Bem, vamos pensar aqui
no primeiro parâmetro. Como percebemos aqui, o eixo "z" está apontado para fora
da tela, ou seja, para você. Vamos imaginar, então, que ele comece a girar
no sentido anti-horário. Como estamos girando este eixo "z", a visão que teremos vista de cima é que a gente vai ter uma espécie
de ângulo sendo formado aqui. Eu vou chamar esse ângulo de "s", que, inclusive, ele diz para a gente o quanto estamos girando do eixo "x"
em relação ao eixo "y". Você também pode pensar
nisso como algo que está girando em torno de "z". Lembrando que o eixo "z"
está apontado para você. Um detalhe, o raio aqui é sempre 1, já que a gente está falando
de uma esfera unitária. Então, dado esse parâmetro "s", quais seriam as suas coordenadas (x, y)? Estamos pensando sobre isso porque estamos sobre o plano (x, y), então, para saber qual é a coordenada "x", precisamos de lembrar da definição do círculo unitário nas
funções trigonométricas. A coordenada "x"
vai ser o cos(s). O certo mesmo é o raio vezes o cos(s),
mas o raio é 1. Já a coordenada "y"
é 1sen(s). O legal é que é daí que obtemos
as nossas definições para o cosseno e seno de alguma coisa, então, isto aqui é bem bonito e divertido. Agora, neste caso aqui, "z" é obviamente igual a zero, então, se a gente quiser, a gente pode colocar a nossa
coordenada "z" aqui, colocamos "z" igual a zero, afinal, estamos no plano (x, y). Agora, vamos pensar sobre o que acontece se a gente for acima
ou abaixo do plano (x, y). Lembre-se, nós estamos
aqui no plano (x, y), e isso aqui está nos dizendo como
estamos girando em torno do eixo "z". Agora, a gente vai pensar
sobre o que acontece quando a gente vai abaixo
ou acima deste plano. Para descobrir a forma que vamos
estar acima ou abaixo do plano, eu vou apresentar um outro parâmetro. Esse novo parâmetro que
eu vou apresentar é o "t", que vai indicar quando estamos acima
ou abaixo do plano (x, y). Agora, o que é interessante sobre isso é que se a gente pegar qualquer
outra seção que é paralela ao plano (x, y), teremos um raio menor. Então, vamos colocar isso aqui
de uma forma bem clara. Se estamos aqui, onde este plano
é cruzado pela nossa esfera unitária, o raio é menor do que era antes, então, qual vai ser esse novo raio? Bem, com um pouquinho de trigonometria, a gente percebe que este comprimento
bem aqui é igual a cos(t). Então, este raio aqui
é igual a cos(t). E ainda funciona aqui, porque se "t" percorrer todo
o caminho até zero, o cos(0) é 1, logo, isso funciona quando
estamos no plano (x, y). Então, o raio aqui, vai ser o cos(0), que é quando temos ''t = 0". Aqui não estamos nos deslocando
acima ou abaixo do plano (x, y), agora, se a gente se movimentar aqui
para cima do plano (x, y), o raio vai mudar, então,
neste caso será o cos(t). Agora, podemos usar isso para realmente
parametrizar (x, y) em qualquer lugar. Vamos, então, olhar aqui
para esta seção transversal. Aqui, não estamos no plano (x, y), estamos em algo que
é paralelo ao plano (x, y). Beleza, como estamos aqui, esta seção transversal, quando
vista de cima, vai se parecer com isto aqui, mais ou menos assim. Essa é a visão superior desta
seção transversal aqui, e o nosso raio aqui
em cima é o cos(t). Então, dado esta posição aqui que estamos, qual vai ser a parametrização
usando s(x, y)? Bem, exatamente a mesma coisa, exceto agora que o nosso
raio não é mais apenas 1, agora é uma função de "t". Como estamos mais alto, por assim dizer, temos que a nossa
coordenada "x" vai ter um raio que é o nosso cos(t). Então, temos aqui o nosso
raio vezes o cos(s), afinal, nessa altura, nós vamos
girar em torno do eixo "z'', então, temos um ângulo "s" realizando
todo esse caminho, por isso que temos aqui
o cos(t) vezes cos(s). Da mesma forma, a nossa coordenada
"y" vai ser igual ao nosso raio, que é o cos(t) vezes sen(s). Exatamente a mesma lógica aqui, exceto que agora temos
um raio diferente, nosso raio não é mais
1 vezes sen(s). E eu sei que eu isso parece muito confuso, mas o que você precisa dizer é apenas em qual nível
somos paralelos ao eixo "x". Estamos meio que rastreando
outros círculos onde temos outros planos se cruzando
com nossa esfera unitária, e fazemos isso girando com o "s". Ao fazer isso, o nosso raio
vai mudando, com uma função que vai nos dizer onde estamos acima
ou abaixo do plano (x, y). É assim que vamos girando acima
ou abaixo do plano (x, y), ou seja, teremos isso para
raios diferentes de 1, e ao mesmo tempo, estamos
girando em torno do "z". O mesmo vale para a coordenada "y". Agora, a coordenada "z" é muito simples, vai ser apenas uma função de "t", afinal, não depende de como estamos
girando por aqui em qualquer altitude, afinal, "z" é a nossa altitude. Agora que fizemos isso, podemos ir direto
para este diagrama bem aqui. Nossa coordenada "z" vai ser o sen(t), portanto, nosso "z = sen(t)". Então vamos escrever isso. "z" vai ser igual ao sen(t). Agora sim, cada ponto nesta esfera pode ser descrito como
uma função de (t, s). Ah, também não podemos deixar de
pensar em que faixa essa função é definida. Você poderia pensar: para qualquer dado "t", "s"
vai percorrer todo o caminho. Nós vemos isso bem aqui. Em qualquer nível visto de cima, "s"
vai realizar uma volta completa. Então, pensando nisso em termos
de radianos, "s" vai estar entre zero e 2π, e "t" é essencialmente a nossa
altitude na direção "z". Então, vamos percorrer todo o caminho, indo de -π/2, que é quanto corresponde este ângulo,
até chegar aqui em cima. Não precisa dar uma volta completa. Sendo assim, "t" vai até π/2. Pronto, já temos a parametrização. É legal escrever isso aqui agora de uma forma que seja mais reconhecível. Se a gente quiser escrever essa superfície como um vetor de posição, podemos fazer assim. Podemos escrever "r" como sendo
uma função de (s, t) e isso sendo do igual
à nossa componente "x'', bem, a nossa componente "x"
vai ser o cos(t) vezes cos(s)î. Aí, isso mais a nossa componente "y", que é o cos(t) vezes sen(s)ĵ, mais a nossa componente "z", que vai ser apenas o sen(t)k^. E esses aqui são os intervalos
que estes parâmetros vão assumir. Bem, aqui é apenas o primeiro passo, nós parametrizamos a superfície. Agora precisamos configurar
a integral de superfície de acordo com essa parametrização. Para fazer isso, a gente precisa
realizar um produto vetorial, algo que pode
ser um pouco difícil, mas nós vamos fazer isso
com muita calma, aí, depois, vamos calcular
a própria integral. Então, eu vou deixar aqui para você
um grande abraço, e dizer que te aguardo no próximo vídeo!