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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Exemplo de integral de superfície - Parte 2
Obtendo o produto vetorial para calcular o diferencial da superfície em termos de parâmetros. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula, vamos continuar falando a respeito de um exemplo
de integral de superfície. Aqui temos a nossa parametrização e agora vamos resolver esta integral. Para isso, precisamos descobrir qual é
o dσ em termos dos parâmetros "s" e "t". Ou seja, nós queremos transformar
esta integral em uma integral dupla no plano ST. Lembre-se que o dσ é um pedaço
infinitesimal de área aqui. E, como sabemos, ele é a mesma
coisa que o módulo do produto vetorial entre a parcial da nossa
parametrização em relação a "s" e a parcial da nossa parametrização
em relação a "t", vezes ds, vezes dt. Esta até que é uma equação,
de certa forma, simples, não é? Mas tem um produto vetorial
que pode complicar um pouco. Mas nós vamos ver que não é nada demais. Antes de calcular isso, vamos
pensar na parcial desta função em relação a "s" e em relação a "t", já que vamos precisar aqui. Vamos começar pela parcial de "r"
em relação a "s", que vai ser igual a o quê? Bem, derivando esta primeira
parte em relação a "s", nós vamos tratar o "t"
como constante. Isso significa que, quando aplicarmos
a regra do produto aqui, quando formos derivar o
cosseno de "t" em relação a "s", vai dar zero. Com isso, vamos ficar com:
-cos t vezes sen s na direção i^. Isso porque a derivada do cosseno de "s"
em relação a "s" é menos seno. E somamos isso com a derivada
deste produto em relação a "s". Deixe-me abrir isto aqui para
ficar mais fácil de ver. Esta é a derivada do produto
de duas funções: cos t vezes sen s, correto? Vamos ficar com: a derivada
da primeira função, que é cos t, vezes a segunda a função,
que é sen s, mais a primeira função,
que é cos t, vezes a derivada da segunda função,
que é sen s. Como estamos derivando em relação a "s",
esta derivada aqui vai ser zero e esta parte vai zerar. Com isso, ficamos somente com esta aqui. E a derivada de sen s
em relação a "s" é cos s. E ainda tem um cos t aqui, multiplicando. Portanto, a derivada parcial
deste produto em relação a "s" é igual a cos t vezes
cos s na direção j^. E a derivada de sen t em relação a "s"
é igual a zero. É como se estivéssemos
derivando uma constante. Um 5, por exemplo:
a derivada de 5 é zero, correto? Então, colocamos mais zero na direção k^. Agora, com o mesmo pensamento, vamos determinar a derivada
parcial de "r" em relação a "t". Eu sugiro que você pause o vídeo
e tente descobrir sozinho. Vamos lá, então. Vamos fazer a mesma coisa. Primeiro, nós derivamos este
produto em relação a "t". E você pode utilizar esta
mesma ideia aqui, só que, desta vez, é o "s"
que vai ser tratado como constante. E aí, olhando aqui, nós
precisamos fazer somente a derivada de cos t em relação a "t", que é igual a -sen t. Multiplicamos isso pelo
cos s na direção i^, e somamos isso com a derivada
deste produto em relação a "t", que é a mesma coisa que
-sen t vezes sen s na direção j^, já que a derivada de cos t
é igual a -sen t. E somamos isto com a derivada
de sen t em relação a "t", que é igual a cos t. Então:
+cos t na direção k^. Agora, sim, podemos utilizar
estas duas derivadas parciais para calcular este produto vetorial. E como calculamos ele? Nós utilizamos um determinante. Na primeira linha, nós colocamos
os vetores unitários: i^, j^ e k^. Na segunda linha, colocamos as parciais
de "r" em relação a "s", isto é, na direção i^, vamos ter
-cos t vezes sen s; na direção j^,
cos t vezes cos s e, na direção k^, vamos ter zero. Ou seja, estas funções aqui. Já na terceira linha,
colocamos estas aqui. Isso quer dizer que vamos ficar com:
-sen t vezes cos s na direção i^, menos o sen t vezes
sen s na direção j^, e o cos t na direção k^. Para fazer esse determinante,
você pode fazer de várias maneiras. Mas o ideal é, primeiro,
ignorar esta coluna e esta linha, e aí calcular o determinante,
digamos assim, desta "submatriz". Quando você faz isso, você vai achar
o determinante na direção i^. E você vai fazer isso para todas
as outras componentes. Ou seja, nós pegamos o
determinante na direção i^, subtraímos pelo determinante
na direção j^ e somamos com o determinante
na direção k^. E, pegando o primeiro aqui na direção i^, nós ignoramos esta coluna e esta linha e calculamos o determinante
desta submatriz. Isso significa que nós vamos multiplicar
os elementos da diagonal principal e subtrair pelo produto dos elementos
da diagonal secundária. Fazendo isso, vamos ficar com
cos t vezes cos s vezes cos t, que é igual a cos² t
vezes cos s, e subtraímos por este produto aqui,
que vai dar zero. Ou seja, vamos continuar com
este mesmo resultado. Agora, na direção j^, nós devemos
ignorar esta coluna e esta linha e calculamos o determinante da matriz
que tem estes dois elementos e estes aqui. Fazendo isso, nós vamos ter: -cos t vezes sen s
que multiplica cos t, que vai ser igual a -cos² t
vezes sen s, e subtraímos pelo produto
entre estes dois elementos, que vai ser igual a zero. Ou seja, o resultado vai continuar este. E, como aqui tem um menos e aqui também, podemos colocar ambos
os sinais como positivos. O resultado vai ser o mesmo. E, na direção k^, nós fazemos o seguinte: nós ignoramos esta coluna e esta linha e calculamos o determinante
desta submatriz. Ou seja, pegamos a diagonal principal e subtraímos pelo produto dos
elementos da diagonal secundária. Vou apagar isto aqui porque
vai dar um resultado maior. Então, vamos ficar com:
-cos t vezes sen s, que multiplica
-sen t vezes sen s, que é igual a cos t vezes
sen t vezes sen² s. E vai ficar positivo aqui porque
temos um sinal de menos aqui e outro aqui, também. E subtraímos isto pelo produto
entre os elementos da diagonal secundária, que vai ser igual a
+cos t vezes sen t vezes cos² s. E ficou positivo porque estamos
subtraindo por um valor negativo. E, olhando para esta soma,
podemos até ajeitar. Deixe-me ver, podemos colocar o cos t
vezes sen t em evidência, que multiplica o sen² s + cos² s. E note que isto aqui nós conhecemos. É a relação fundamental
da trigonometria: sen² s + cos² s = 1. Portanto, esta soma pode
ser reescrita como: cos t vezes sen t. Pronto, descobrimos o produto
vetorial entre as parciais, que é cos² t vezes
cos s na direção i^, mais cos² t vezes
sen s na direção j^, mais cos t vezes sen t
na direção k^. E ainda não terminamos. Como vimos aqui, precisamos determinar o módulo
deste produto vetorial. E como podemos calcular esse módulo? Nós vamos utilizar a raiz quadrada
do quadrado de cada um destes termos. Ou seja, (cos² t vezes cos s)² vai ser igual a cos⁴ t vezes cos² s, mais o quadrado deste produto, que vai ser cos⁴ t vezes sen² s, mais o quadrado deste produto, que é igual a cos² t vezes sen² t. Note que esta soma tem um cos⁴ t em comum. Por isso, nós podemos
colocá-lo em evidência. E aí vamos ficar com cos⁴ t em evidência, que multiplica (cos² s + sen² s). E, se você perceber,
isto também vai dar 1. Isso porque se trata da relação
fundamental da trigonometria. Portanto, toda esta soma
pode ser reescrita como cos⁴ t. Então, vamos ficar com
a raiz quadrada de cos⁴ t, mais cos² t vezes sen² t. E de novo, podemos fatorar esta parte colocando cos² t em evidência. Então, a raiz quadrada de cos t², que multiplica (cos² t + sen² t). E, de novo, esta é a relação fundamental, portanto, vai ser igual a 1. E tudo isso vai ser igual
à raiz quadrada de cos² t, que é a mesma coisa que cos t. Pronto, achamos o produto
vetorial que queríamos. Com isso, agora podemos determinar o dσ, que é a mesma coisa que o módulo
deste produto vezes ds vezes dt. Ou seja, o dσ vai ser igual a
cos t vezes ds vezes dt. Eu espero que esta aula
tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!