Exemplo de integral de superfície - Parte 2

RKA2JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos continuar falando a respeito de um exemplo de integral de superfície. Aqui temos a nossa parametrização e agora vamos resolver esta integral. Para isso, precisamos descobrir qual é o dσ em termos dos parâmetros "s" e "t". Ou seja, nós queremos transformar esta integral em uma integral dupla no plano ST. Lembre-se que o dσ é um pedaço infinitesimal de área aqui. E, como sabemos, ele é a mesma coisa que o módulo do produto vetorial entre a parcial da nossa parametrização em relação a "s" e a parcial da nossa parametrização em relação a "t", vezes ds, vezes dt. Esta até que é uma equação, de certa forma, simples, não é? Mas tem um produto vetorial que pode complicar um pouco. Mas nós vamos ver que não é nada demais. Antes de calcular isso, vamos pensar na parcial desta função em relação a "s" e em relação a "t", já que vamos precisar aqui. Vamos começar pela parcial de "r" em relação a "s", que vai ser igual a o quê? Bem, derivando esta primeira parte em relação a "s", nós vamos tratar o "t" como constante. Isso significa que, quando aplicarmos a regra do produto aqui, quando formos derivar o cosseno de "t" em relação a "s", vai dar zero. Com isso, vamos ficar com: -cos t vezes sen s na direção i^. Isso porque a derivada do cosseno de "s" em relação a "s" é menos seno. E somamos isso com a derivada deste produto em relação a "s". Deixe-me abrir isto aqui para ficar mais fácil de ver. Esta é a derivada do produto de duas funções: cos t vezes sen s, correto? Vamos ficar com: a derivada da primeira função, que é cos t, vezes a segunda a função, que é sen s, mais a primeira função, que é cos t, vezes a derivada da segunda função, que é sen s. Como estamos derivando em relação a "s", esta derivada aqui vai ser zero e esta parte vai zerar. Com isso, ficamos somente com esta aqui. E a derivada de sen s em relação a "s" é cos s. E ainda tem um cos t aqui, multiplicando. Portanto, a derivada parcial deste produto em relação a "s" é igual a cos t vezes cos s na direção j^. E a derivada de sen t em relação a "s" é igual a zero. É como se estivéssemos derivando uma constante. Um 5, por exemplo: a derivada de 5 é zero, correto? Então, colocamos mais zero na direção k^. Agora, com o mesmo pensamento, vamos determinar a derivada parcial de "r" em relação a "t". Eu sugiro que você pause o vídeo e tente descobrir sozinho. Vamos lá, então. Vamos fazer a mesma coisa. Primeiro, nós derivamos este produto em relação a "t". E você pode utilizar esta mesma ideia aqui, só que, desta vez, é o "s" que vai ser tratado como constante. E aí, olhando aqui, nós precisamos fazer somente a derivada de cos t em relação a "t", que é igual a -sen t. Multiplicamos isso pelo cos s na direção i^, e somamos isso com a derivada deste produto em relação a "t", que é a mesma coisa que -sen t vezes sen s na direção j^, já que a derivada de cos t é igual a -sen t. E somamos isto com a derivada de sen t em relação a "t", que é igual a cos t. Então: +cos t na direção k^. Agora, sim, podemos utilizar estas duas derivadas parciais para calcular este produto vetorial. E como calculamos ele? Nós utilizamos um determinante. Na primeira linha, nós colocamos os vetores unitários: i^, j^ e k^. Na segunda linha, colocamos as parciais de "r" em relação a "s", isto é, na direção i^, vamos ter -cos t vezes sen s; na direção j^, cos t vezes cos s e, na direção k^, vamos ter zero. Ou seja, estas funções aqui. Já na terceira linha, colocamos estas aqui. Isso quer dizer que vamos ficar com: -sen t vezes cos s na direção i^, menos o sen t vezes sen s na direção j^, e o cos t na direção k^. Para fazer esse determinante, você pode fazer de várias maneiras. Mas o ideal é, primeiro, ignorar esta coluna e esta linha, e aí calcular o determinante, digamos assim, desta "submatriz". Quando você faz isso, você vai achar o determinante na direção i^. E você vai fazer isso para todas as outras componentes. Ou seja, nós pegamos o determinante na direção i^, subtraímos pelo determinante na direção j^ e somamos com o determinante na direção k^. E, pegando o primeiro aqui na direção i^, nós ignoramos esta coluna e esta linha e calculamos o determinante desta submatriz. Isso significa que nós vamos multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Fazendo isso, vamos ficar com cos t vezes cos s vezes cos t, que é igual a cos² t vezes cos s, e subtraímos por este produto aqui, que vai dar zero. Ou seja, vamos continuar com este mesmo resultado. Agora, na direção j^, nós devemos ignorar esta coluna e esta linha e calculamos o determinante da matriz que tem estes dois elementos e estes aqui. Fazendo isso, nós vamos ter: -cos t vezes sen s que multiplica cos t, que vai ser igual a -cos² t vezes sen s, e subtraímos pelo produto entre estes dois elementos, que vai ser igual a zero. Ou seja, o resultado vai continuar este. E, como aqui tem um menos e aqui também, podemos colocar ambos os sinais como positivos. O resultado vai ser o mesmo. E, na direção k^, nós fazemos o seguinte: nós ignoramos esta coluna e esta linha e calculamos o determinante desta submatriz. Ou seja, pegamos a diagonal principal e subtraímos pelo produto dos elementos da diagonal secundária. Vou apagar isto aqui porque vai dar um resultado maior. Então, vamos ficar com: -cos t vezes sen s, que multiplica -sen t vezes sen s, que é igual a cos t vezes sen t vezes sen² s. E vai ficar positivo aqui porque temos um sinal de menos aqui e outro aqui, também. E subtraímos isto pelo produto entre os elementos da diagonal secundária, que vai ser igual a +cos t vezes sen t vezes cos² s. E ficou positivo porque estamos subtraindo por um valor negativo. E, olhando para esta soma, podemos até ajeitar. Deixe-me ver, podemos colocar o cos t vezes sen t em evidência, que multiplica o sen² s + cos² s. E note que isto aqui nós conhecemos. É a relação fundamental da trigonometria: sen² s + cos² s = 1. Portanto, esta soma pode ser reescrita como: cos t vezes sen t. Pronto, descobrimos o produto vetorial entre as parciais, que é cos² t vezes cos s na direção i^, mais cos² t vezes sen s na direção j^, mais cos t vezes sen t na direção k^. E ainda não terminamos. Como vimos aqui, precisamos determinar o módulo deste produto vetorial. E como podemos calcular esse módulo? Nós vamos utilizar a raiz quadrada do quadrado de cada um destes termos. Ou seja, (cos² t vezes cos s)² vai ser igual a cos⁴ t vezes cos² s, mais o quadrado deste produto, que vai ser cos⁴ t vezes sen² s, mais o quadrado deste produto, que é igual a cos² t vezes sen² t. Note que esta soma tem um cos⁴ t em comum. Por isso, nós podemos colocá-lo em evidência. E aí vamos ficar com cos⁴ t em evidência, que multiplica (cos² s + sen² s). E, se você perceber, isto também vai dar 1. Isso porque se trata da relação fundamental da trigonometria. Portanto, toda esta soma pode ser reescrita como cos⁴ t. Então, vamos ficar com a raiz quadrada de cos⁴ t, mais cos² t vezes sen² t. E de novo, podemos fatorar esta parte colocando cos² t em evidência. Então, a raiz quadrada de cos t², que multiplica (cos² t + sen² t). E, de novo, esta é a relação fundamental, portanto, vai ser igual a 1. E tudo isso vai ser igual à raiz quadrada de cos² t, que é a mesma coisa que cos t. Pronto, achamos o produto vetorial que queríamos. Com isso, agora podemos determinar o dσ, que é a mesma coisa que o módulo deste produto vezes ds vezes dt. Ou seja, o dσ vai ser igual a cos t vezes ds vezes dt. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!