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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 11: Integrais de superfície- Introdução à integral de superfície
- Como encontrar elementos de área
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície - parte 1
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 2
- Exemplo de cálculo de uma integral de superfície parte 3
- Uso de integrais de superfície para encontrar a área da superfície
- Exemplo de integral de superfície - Parte 1
- Exemplo de integral de superfície - Parte 2
- Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 1
- Integral de superfície - Ex. 2, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 1
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 2
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 3
- Integral de superfície- Ex. 3, parte 4
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Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final
Usando algumas identidades trigonométricas para, finalmente, calcular o valor da integral de superfície. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
[RKA20C] Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a
mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos continuar
resolvendo o nosso exemplo sobre integral de superfície. Agora que já conseguimos expressar o nosso dσ, acho que estamos
muito perto de conseguir calcular a nossa integral. Mas tem uma coisa
que quero apontar, e que talvez tenha te incomodado desde
o final do último vídeo. No último vídeo, tirei a √cos² t e simplifiquei isso para cos t. Aí, você pode ter dito: "Espere! Espere! E se cos t
for avaliado para um número negativo?". Bem, a gente pode corrigir isso
elevando ao quadrado e depois tirando a raiz quadrada. Aí, sim, a gente vai obter a
versão positiva disso. Ou seja, vamos essencialmente obter
o valor absoluto do nosso cos t. O motivo de sermos capazes
de fazer isso, em particular neste vídeo
ou neste problema, é porque vimos que o t assume
valores entre -π/2 e π/2. Então, o cosseno de qualquer
coisa que seja no primeiro ou no quarto quadrante,
é bem aqui. Será sempre positivo para
os nossos propósitos, por causa desta integral de superfície. O cos t vai ser sempre positivo. Então, neste caso,
não temos que escrever o valor absoluto do cos t, podemos apenas escrever o cos t. Espero que isso te deixe
satisfeito ou satisfeita, porque isso foi baseado
em como parametrizamos o t. Agora, com isso fora do caminho,
vamos avaliar esta integral aqui. Apenas para nos lembrar,
a nossa integral original era essa integral de
superfície de x² dσ. A gente já sabe o que dσ é. Agora, só temos que escrever x²
em termos dos parâmetros. Bem, sabemos qual é
a parametrização de x. O x, em termos dos parâmetros,
está bem aqui. De acordo com essa parametrização,
x = cos t . cos s. x (s . t) = cos t . sen t. Estamos calculando
a integral disso ao quadrado. Então, vamos pensar
um pouco sobre isso. Vamos apenas fazer esta parte aqui
por enquanto. Se elevarmos x²,
vamos obter cos²t . cos²s. Ok. Aí, ao colocar esse x²,
que é isto, teremos o dσ, que é isto aqui, já o encontrei
no vídeo anterior. dσ é a mesma coisa
que cos t ds dt. Agora que temos isso
em termos de parâmetros, isso se torna uma integral dupla
com relação a esses dois parâmetros. Percebemos que os limites de integração são bem diretos em relação a s
e em relação a t. s assume todos os valores entre 0 e 2π, e t assume todos os valores
entre -π/2 e π/2. Então, de acordo com a forma
que eu escrevi aqui, vamos integrar com respeito a s primeiro. s vai de 0 a 2π. Vamos deixar bem claro
que isso é s. Aí , vou colocar aqui
que t vai de -π/2 até π/2. Vamos ver se podemos
simplificar isso um pouco. Vou colocar aqui que isso vai ser
igual à ∬ sobre a mesma região. Ou seja, sobre a área. Bem, temos esse cos²t e temos, também,
este outro cos t, aqui. Sendo assim, podemos simplificar isso colocando cos³t . cos²s, e em seguida ds dt. Ah, acho legal colocar isso
com cores diferentes. Então, isto aqui em azul é a parte ds. E isto aqui em amarelo é a parte dt. Agora, podemos integrar em relação a s. Mas repare aqui que essas duas partes,
a parte t e a parte s, estão apenas se multiplicando, então, quando estamos
integrando em relação a s, esse cos³t realmente é
apenas uma constante. Podemos, então, fatorá-lo
e aí teríamos algo assim. Vou reescrever isso aqui. Vamos ter a integral de
-π/2 até π/2 do cos³t. Como eu faturei isso,
agora vou escrever a parte de s. Então, colocamos aqui
isso vezes a integral em que s vai de 0 a 2π
do cos²s ds. Aí, claro, não podemos
esquecer do dt, aqui. Agora, observe que esta parte aqui
não tem nada dependente de t. Então, podemos reescrever isso novamente. Vou reescrever tudo isso aqui, vou colocar aqui a integral indo
de -π/2 até π/2 do cos³t. Aí, coloco dt aqui, vezes a ∫ indo de... Olha, o que estou fazendo aqui é apenas reorganizar as coisas,
mas não mudei nada, ok? Então, isso vezes a integral de
0 a 2π do cos²s ds. E você não tem que fazer dessa forma. Você poderia apenas ter avaliado isso enquanto estava com tudo misturado assim. Mas isso vai nos ajudar a deixar o nosso trabalho um pouco mais fácil. Vai deixar a parte da trigonometria
um pouco mais fácil de fazer. Então, para resolver
essas duas integrais, precisamos recorrer à nossa trigonometria. O cos² s, podemos reescrever como
1/2 + 1/2 . cos2s. E o cos³t... bem, é a mesma coisa. Vamos ver: podemos fatorar isso aqui. Colocamos o cos t . cos²t. E a intuição nos diz que,
se a gente puder obter um produto de um sen
fazendo algo com o cos, vai ser ótimo, porque o cos é
a derivada do sen. Aí, a gente vai conseguir fazer
uma espécie de substituição em u. Você vê uma função
e sua derivada, em que você pode apenas tratá-las
como se fosse uma única variável. Enfim, estamos tentando
transformar isto aqui para fazer isso chegar
no que queremos. O cos²t pode ser
reescrito como 1 - sen²t. Então, temos aqui
cost . 1 - sen²t. Aí, podemos reescrever isso
da seguinte forma: cost - cost . sen²t. Agora, você deve estar
pensando o seguinte: "Ei! Isto aqui em cima
parece ser mais simples que isto aqui embaixo". Porém, é mais fácil calcular a antiderivada do cos t
aqui embaixo, porque a gente tem o sen t aqui. Assim, conseguimos fazer
uma substituição por u. Algo que você consegue fazer
até mesmo de cabeça. Mas vamos reescrever isso
para não ficar muito confuso. Assim, temos a ∫ de -π/2 a π/2
do cos t - cos t . sen² t dt. E isso vezes a ∫ de 0 a 2π
de 1/2 + 1/2 . cos2s ds. Agora sim, estamos prontinhos aqui
para calcular algumas antiderivadas. A antiderivada disto aqui
vai ser o quê? A antiderivada do cos t é apenas o sen t. Agora, a derivada do sen t
é o cos t. Então, podemos fazer
uma substituição por u. Você pode dizer que u = sen t. Aí, du = cos t dt. Você pode fazer isso...
Podemos fazer isso de cabeça. Fazendo de cabeça,
vou ter u² du. Aí, a antiderivada disso
vai ser u³/3. u é sen t, então,
teremos aqui sen³t... Vamos colocar aqui
-sen³t/3. Ok, vamos avaliar isto aqui
indo de -π/2 até π/2. senπ/2 é 1. Assim, temos 1 - 1/3, que é 2/3, mas vamos deixar isso desse jeito para não confundir ninguém, ok? Aí, isso -sen π/2. Bem, isso vai ser um negativo. Menos sen π/2³,
que também é negativo, Então, temos aqui -1/3. Agora, podemos realizar
esse cálculo. Temos, aqui, 1 - 1/3,
que é 2/3. Aí, olha esta parte aqui:
temos -1 + 1/3, que é -2/3. Mas como temos um sinal negativo
na frente, teremos +2/3. Assim, temos 2/3 + 2/3 = 4/3. Agora, podemos fazer
esta outra parte aqui. A antiderivada de 1/2
é apenas 1/2 . t. E a antiderivada do cos2s é o que? Idealmente, você faria ter
um 2 aqui na frente. Então, deixa eu escrever isso
de uma forma mais clara. Se eu fosse calcular
a antiderivada do cos2s, idealmente, a gente ia querer
ter um 2 aqui. Bem, na verdade, podemos fazer isso, podemos colocar um 2 aqui na frente. Mas, para colocar esse 2 aqui, a gente também precisa
colocar um 1/2 aqui, para que a gente
não altere o valor disso. Ah! Você precisa também
ter um ds aqui. Bem, a antiderivada do cos s
é apenas o sen s. Assim, temos que a antiderivada disso vai ser apenas 1/2 . sen2s. Claro, teríamos isso mais uma
constante se você estivesse calculando a integral indefinida, mas estamos calculando
uma integral definida. Então, não se preocupe
com a constante. Assim, a antiderivada do cos2s
é 1/2 . sen2s, mas como temos este 1/2 aqui, 1/2 . 1/2 = 1/4. Então, temos 1/4 . sen2s. Essa é a antiderivada. Mas queremos avaliar tudo isso
indo de 0 a 2π. Um detalhe interessante é que,
em qualquer dessas duas situações, isso vai ser igual a 0, porque sen0 é 0, e o sen(2 . 2π),
que é 4π, também é igual a 0. Então, em t = 2π, temos 1/2 . 2π - 0,
que é igual a π, e em t = 0, temos tudo isso
sendo igual a 0. Assim, toda esta parte aqui
será π - 0, que é igual a π. Pronto, terminamos essa parte! Agora, é só multiplicar essas duas coisas. Assim, teremos aqui 4/3 . π. Então, toda esta integral aqui é igual a 4/3 . π. Se você tiver tem uma esfera de raio 1... Bem, na verdade, eu nem
deveria falar esfera, porque estamos falando
só da superfície. Então, neste caso, temos o raio = 1, que é onde estamos avaliando
a integral de superfície. Agora merecemos um
pouquinho de descanso, né? Isto aqui foi grande demais! Espero que você tenha
compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, quero deixar
para você um grande abraço. Até a próxima!