Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daqui na academia Brasil e nesse vídeo vamos continuar resolvendo o nosso exemplo sobre integral de superfície e agora que já conseguimos expressar a que o nosso de Sigma eu acho que estamos muito perto de conseguir calcular a nossa integral Mas tem uma coisa que eu quero apontar aqui e que talvez tenha te incomodado desde o final do último vídeo no último vídeo eu tirei a raiz quadrada do Cosseno ao quadrado de ter e eu sempre fiquei isso para o cosseno de ter aí você pode ter dito espere espere isso eu gostando de terror avaliado para um número negativo bem a gente pode corrigir os elevando ao quadrado e aí depois tirando a raiz quadrada Aí sim a gente vai obter a versão positiva disso ou seja nós vamos essencialmente obter o valor absoluto do nosso cosseno de ter o motivo de sermos capazes de fazer isso em particular nesse vídeo nesse problema é porque Vimos que o te assumir valores entre menos pi sobre 2 e penso sobre 2 é o cosseno de qualquer coisa que seja no primeiro ou no quarto quadrante isso é bem aqui será sempre positivo para os nossos propósitos por causa dessa integral de superfície o cosseno de ter vai ser sempre positivo Então nesse caso não temos que escrever o valor absoluto do Cosseno de ter podemos apenas escrever o cosseno de ter eu espero que isso te deixa satisfeito ou satisfeita porque isso aqui foi baseado em como parametrizamos o ter agora com isso fora do caminho vamos avaliar essa integral aqui e apenas planos de lembrar a nossa integral original era essa integral de superfície de x ao quadrado de Sigma a gente já sabe o que designa é agora só temos que escrever x ao quadrado em termos dos parâmetros bem sabemos Qual é a parametrização de X o X em termos dos parâmetros está bem Aqui de acordo com essa parametrização x = cosseno de x o cosseno de s x d s t = cosseno de Às vezes o seno de ter e nós estamos calculando a integral dia só o quadrado Então vamos pensar um pouco sobre isso vamos apenas fazer essa parte aqui por enquanto se levarmos x ao quadrado vamos obter cosseno ao quadrado de ter vezes o cosseno ao quadrado de S OK aí é o colocar esse x ao quadrado que é isso teremos o de Sigma que é isso aqui que eu já encontrei no vídeo anterior de Sigma é a mesma coisa que o cosseno de ter dsdt agora que temos isso em termos de parâmetros isso se torna uma integral dupla com relação a esses dois parâmetros percebemos que os limites de integração são bem diretos em relação a essa em relação a ter essa é a some todos os valores entre 0 e 2 Pires e de assumir todos os valores entre - e sobre dois epis sobre dois então já acordo com a forma que eu escrevi aqui vamos integrar com respeito a essa primeiro essa e vai dizer era 2 pia vamos deixar bem claro aqui que isso é esse aí eu vou colocar aqui que o de menos pi sobre 2 até pi sobre 2 vamos ver se podemos simplificar isso um pouco eu vou colocar aqui que isso vai ser igual a integral do ucla sobre a mesma região ou seja sobre a área bem temos esse cosseno ao quadrado de ter e temos também esse outro cosseno de ter aqui sendo assim podemos simplificar isso colocando o cosseno ao cubo de ter vezes o cosseno ao quadrado de S e em seguida desce de ter Ah eu acho legal colocar isso aqui com cores diferentes então isso aqui em azul é a parte de S E isso aqui em amarelo é a partir de agora podemos integrar em relação a s mas repare aqui que essas duas partes a parte teia a parte é se estão apenas se multiplicando então quando estamos integrando em relação à é se esse cosseno Ao Cubo DT realmente apenas uma constante podemos então fator Alô e aí teríamos algo assim eu vou reescrever isso aqui vamos ter a integral de menos pi sobre 2 até pi sobre 2 do Cosseno álcool E como eu faturei isso agora vou escrever a partir de S então colocamos aqui isso vezes a integral em que é se vai dizer ua2 do Cosseno ao quadrado de SDS E aí Claro não podemos esquecer do de te aqui agora Observe que essa parte aqui não tem nada dependente de ter então podemos reescrever isso aqui novamente eu vou reescrever tudo isso aqui eu vou colocar aqui a integral indo de menos pi sobre 2 até pi sobre 2 do Cosseno ao cubo de ter aí eu coloco de te aqui vezes a integral indo de Olha o que eu tô fazendo aqui é apenas reorganizar as coisas mas eu não mudei nada ok então isso vezes a integral de 0 2pi do Cosseno ao quadrado de SDS e você não tem que fazer dessa forma você poderia apenas ter avaliado isso enquanto estava com tudo misturado assim mas isso vai nos ajudar a deixar o nosso trabalho um pouco mais fácil vai deixar a partir da trigonometria um pouco mais fácil de fazer então para resolver essas de trás precisamos recorrer a nossa trigonometria o cosseno ao quadrado de s o podemos reescrever Como o meio mais meio vezes o cosseno de dois s e o cosseno Ao Cubo DT bem É a mesma coisa vamos ver podemos fatorar isso aqui colocamos o cosseno de ter vezes o cosseno ao quadrado de ter e a intuição aqui nos diz que se a gente puder obter um produto de um sendo fazendo algo com o cosseno vai ser ótimo porque o cosseno é a derivada do seno e aí a gente vai conseguir fazer uma espécie de substituição em você vê uma função e sua derivada em que você pode apenas tratá-los como se fosse uma única variável enfim a gente está tentando transformar isso aqui para fazer isso chegar no que a gente quer o cosseno ao quadrado de ter pode ser reescrito como um menos o seno ao quadrado de ter Então temos aqui o cosseno de ter vezes um menos o seno ao quadrado de ter aí podemos reescrever isso aqui da seguinte forma o cosseno de ter menos o cos Às vezes o sinal quadrado de ter é agora que você deve estar pensando o seguinte Ei isso aqui em cima parece ser mais simples do que isso aqui embaixo porém é mais fácil calcular a anti derivada do Cosseno de ter aqui embaixo porque a gente tem oceano de ter aqui assim conseguimos fazer uma substituição por um algo que você consegue fazer até mesmo de cabeça mas vamos reescrever isso aqui para isso não ficar muito confuso assim temos a integral de menos pi sobre 2 a pi sobre 2 do Cosseno de ter menos o cosseno de ter vezes o seno ao quadrado de tdt isso vezes a integral de 0 a 2 pedir de meio Mares meio vezes o cosseno de dois SDS Agora sim estamos prontinhos aqui para calcular algumas antes derivadas anti derivada de Isso aqui vai ser o que antes derivada do Cosseno de te é apenas oceano de ter agora aqui a derivada do seno de ter é o cosseno de ter então podemos fazer uma substituição por um você pode é igual ao seno de ter a Hideo vai ser igual ao cosseno de tdt você pode fazer isso mas podemos fazer isso de cabeça aqui fazendo de cabeça eu vou ter o ao quadrado de U aí a antes de elevada disso vai ser o Ao Cubo sobre três wesseloh de ter então teremos aqui sendo ao cubo de ter Vamos colocar aqui menos o sendo ao cubo de ter sobre três Ok vamos avaliar isso daqui no de menos pi sobre 2 até pi sobre 2 sendo difícil sobre dois é um assim temos um menos um terço e a dois terços Mas vamos deixar isso aqui desse jeito para não confundir ninguém ok aí isso menos o seno de pi sobre 2 bem e isso vai ser um negativo menos o seno de pi sobre 2 ao cubo que também é um negativo é Então temos aqui menos um terço agora podemos realizar esse cálculo temos aqui um menos um terço que a dois terços aí olha essa parte aqui temos menos um mais um terço O que é menos dois terços Mas como eu tenho e não negativo na frente o teremos dois terços positivo assim temos dois terços mais dois terços que é igual a quatro terços agora podemos fazer essa outra parte aqui antes derivada de meio é apenas meio vezes ter e a anti derivada do Cosseno de 2s é o que idealmente você faria ter um dois aqui na frente então deixou escrever isso aqui de uma forma mais clara se eu fosse calcular antes derivada do Cosseno de 2s idealmente a gente ia querer ter um dois aqui bem na verdade podemos fazer isso aqui podemos colocar 12 aqui na frente mas para colocar esse dois aqui a gente também precisa colocar um meio aqui para que a gente não altera o valor disso a você precisa também ter um DS aqui bem antes derivada do Cosseno de S é apenas o seno de S assim temos que é anti derivada disso vai ser apenas meio vezes o seno de 2s Claro teríamos isso mais uma constante se você estiver você calculando a integral indefinida mas estamos a integral definida então não se preocupe com a constante assim antes derivada do Cosseno de 2s é meio vezes oceano d2s mas como temos esse meio aqui meio vezes meio é igual a um quarto Então temos um quarto vezes o seno de 2s é a ser anti derivada Mas queremos avaliar Tudo isso vendo de 0 a 2 pia um detalhe interessante aqui em qualquer dessas duas situações Isso vai ser igual a zero porque é o seno de 0 é zero e o sendo de duas vezes dois pique é quatro pia também é igual a zero então em T = 2 PPI temos meio vezes 2 p - 10 o que é igual a pia e inteiro igual a zero temos tudo isso sendo igual a zero assim toda essa parte aqui será ap - 0 que é igual a pi e pronto terminamos essa parte agora é só multiplicar essas duas coisas assim teremos aqui quatro terços vezes então toda essa integral aqui e a quatro terços vezes Pires se você tem uma esfera de raio 1 bem na verdade eu nem deveria falar espera porque estamos falando só da superfície Então nesse caso temos o raio igual a um que é onde estamos avaliando a integral de superfície bem agora merecemos um pouquinho de descanso né isso daqui foi grande demais eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e mais uma vez eu quero deixar aqui para você um grande abraço e até a próxima