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Exemplo de integral de superfície - Parte 3: reta final

Usando algumas identidades trigonométricas para, finalmente, calcular o valor da integral de superfície. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

[RKA20C] Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos continuar resolvendo o nosso exemplo sobre integral de superfície. Agora que já conseguimos expressar o nosso dσ, acho que estamos muito perto de conseguir calcular a nossa integral. Mas tem uma coisa que quero apontar, e que talvez tenha te incomodado desde o final do último vídeo. No último vídeo, tirei a √cos² t e simplifiquei isso para cos t. Aí, você pode ter dito: "Espere! Espere! E se cos t for avaliado para um número negativo?". Bem, a gente pode corrigir isso elevando ao quadrado e depois tirando a raiz quadrada. Aí, sim, a gente vai obter a versão positiva disso. Ou seja, vamos essencialmente obter o valor absoluto do nosso cos t. O motivo de sermos capazes de fazer isso, em particular neste vídeo ou neste problema, é porque vimos que o t assume valores entre -π/2 e π/2. Então, o cosseno de qualquer coisa que seja no primeiro ou no quarto quadrante, é bem aqui. Será sempre positivo para os nossos propósitos, por causa desta integral de superfície. O cos t vai ser sempre positivo. Então, neste caso, não temos que escrever o valor absoluto do cos t, podemos apenas escrever o cos t. Espero que isso te deixe satisfeito ou satisfeita, porque isso foi baseado em como parametrizamos o t. Agora, com isso fora do caminho, vamos avaliar esta integral aqui. Apenas para nos lembrar, a nossa integral original era essa integral de superfície de x² dσ. A gente já sabe o que dσ é. Agora, só temos que escrever x² em termos dos parâmetros. Bem, sabemos qual é a parametrização de x. O x, em termos dos parâmetros, está bem aqui. De acordo com essa parametrização, x = cos t . cos s. x (s . t) = cos t . sen t. Estamos calculando a integral disso ao quadrado. Então, vamos pensar um pouco sobre isso. Vamos apenas fazer esta parte aqui por enquanto. Se elevarmos x², vamos obter cos²t . cos²s. Ok. Aí, ao colocar esse x², que é isto, teremos o dσ, que é isto aqui, já o encontrei no vídeo anterior. dσ é a mesma coisa que cos t ds dt. Agora que temos isso em termos de parâmetros, isso se torna uma integral dupla com relação a esses dois parâmetros. Percebemos que os limites de integração são bem diretos em relação a s e em relação a t. s assume todos os valores entre 0 e 2π, e t assume todos os valores entre -π/2 e π/2. Então, de acordo com a forma que eu escrevi aqui, vamos integrar com respeito a s primeiro. s vai de 0 a 2π. Vamos deixar bem claro que isso é s. Aí , vou colocar aqui que t vai de -π/2 até π/2. Vamos ver se podemos simplificar isso um pouco. Vou colocar aqui que isso vai ser igual à ∬ sobre a mesma região. Ou seja, sobre a área. Bem, temos esse cos²t e temos, também, este outro cos t, aqui. Sendo assim, podemos simplificar isso colocando cos³t . cos²s, e em seguida ds dt. Ah, acho legal colocar isso com cores diferentes. Então, isto aqui em azul é a parte ds. E isto aqui em amarelo é a parte dt. Agora, podemos integrar em relação a s. Mas repare aqui que essas duas partes, a parte t e a parte s, estão apenas se multiplicando, então, quando estamos integrando em relação a s, esse cos³t realmente é apenas uma constante. Podemos, então, fatorá-lo e aí teríamos algo assim. Vou reescrever isso aqui. Vamos ter a integral de -π/2 até π/2 do cos³t. Como eu faturei isso, agora vou escrever a parte de s. Então, colocamos aqui isso vezes a integral em que s vai de 0 a 2π do cos²s ds. Aí, claro, não podemos esquecer do dt, aqui. Agora, observe que esta parte aqui não tem nada dependente de t. Então, podemos reescrever isso novamente. Vou reescrever tudo isso aqui, vou colocar aqui a integral indo de -π/2 até π/2 do cos³t. Aí, coloco dt aqui, vezes a ∫ indo de... Olha, o que estou fazendo aqui é apenas reorganizar as coisas, mas não mudei nada, ok? Então, isso vezes a integral de 0 a 2π do cos²s ds. E você não tem que fazer dessa forma. Você poderia apenas ter avaliado isso enquanto estava com tudo misturado assim. Mas isso vai nos ajudar a deixar o nosso trabalho um pouco mais fácil. Vai deixar a parte da trigonometria um pouco mais fácil de fazer. Então, para resolver essas duas integrais, precisamos recorrer à nossa trigonometria. O cos² s, podemos reescrever como 1/2 + 1/2 . cos2s. E o cos³t... bem, é a mesma coisa. Vamos ver: podemos fatorar isso aqui. Colocamos o cos t . cos²t. E a intuição nos diz que, se a gente puder obter um produto de um sen fazendo algo com o cos, vai ser ótimo, porque o cos é a derivada do sen. Aí, a gente vai conseguir fazer uma espécie de substituição em u. Você vê uma função e sua derivada, em que você pode apenas tratá-las como se fosse uma única variável. Enfim, estamos tentando transformar isto aqui para fazer isso chegar no que queremos. O cos²t pode ser reescrito como 1 - sen²t. Então, temos aqui cost . 1 - sen²t. Aí, podemos reescrever isso da seguinte forma: cost - cost . sen²t. Agora, você deve estar pensando o seguinte: "Ei! Isto aqui em cima parece ser mais simples que isto aqui embaixo". Porém, é mais fácil calcular a antiderivada do cos t aqui embaixo, porque a gente tem o sen t aqui. Assim, conseguimos fazer uma substituição por u. Algo que você consegue fazer até mesmo de cabeça. Mas vamos reescrever isso para não ficar muito confuso. Assim, temos a ∫ de -π/2 a π/2 do cos t - cos t . sen² t dt. E isso vezes a ∫ de 0 a 2π de 1/2 + 1/2 . cos2s ds. Agora sim, estamos prontinhos aqui para calcular algumas antiderivadas. A antiderivada disto aqui vai ser o quê? A antiderivada do cos t é apenas o sen t. Agora, a derivada do sen t é o cos t. Então, podemos fazer uma substituição por u. Você pode dizer que u = sen t. Aí, du = cos t dt. Você pode fazer isso... Podemos fazer isso de cabeça. Fazendo de cabeça, vou ter u² du. Aí, a antiderivada disso vai ser u³/3. u é sen t, então, teremos aqui sen³t... Vamos colocar aqui -sen³t/3. Ok, vamos avaliar isto aqui indo de -π/2 até π/2. senπ/2 é 1. Assim, temos 1 - 1/3, que é 2/3, mas vamos deixar isso desse jeito para não confundir ninguém, ok? Aí, isso -sen π/2. Bem, isso vai ser um negativo. Menos sen π/2³, que também é negativo, Então, temos aqui -1/3. Agora, podemos realizar esse cálculo. Temos, aqui, 1 - 1/3, que é 2/3. Aí, olha esta parte aqui: temos -1 + 1/3, que é -2/3. Mas como temos um sinal negativo na frente, teremos +2/3. Assim, temos 2/3 + 2/3 = 4/3. Agora, podemos fazer esta outra parte aqui. A antiderivada de 1/2 é apenas 1/2 . t. E a antiderivada do cos2s é o que? Idealmente, você faria ter um 2 aqui na frente. Então, deixa eu escrever isso de uma forma mais clara. Se eu fosse calcular a antiderivada do cos2s, idealmente, a gente ia querer ter um 2 aqui. Bem, na verdade, podemos fazer isso, podemos colocar um 2 aqui na frente. Mas, para colocar esse 2 aqui, a gente também precisa colocar um 1/2 aqui, para que a gente não altere o valor disso. Ah! Você precisa também ter um ds aqui. Bem, a antiderivada do cos s é apenas o sen s. Assim, temos que a antiderivada disso vai ser apenas 1/2 . sen2s. Claro, teríamos isso mais uma constante se você estivesse calculando a integral indefinida, mas estamos calculando uma integral definida. Então, não se preocupe com a constante. Assim, a antiderivada do cos2s é 1/2 . sen2s, mas como temos este 1/2 aqui, 1/2 . 1/2 = 1/4. Então, temos 1/4 . sen2s. Essa é a antiderivada. Mas queremos avaliar tudo isso indo de 0 a 2π. Um detalhe interessante é que, em qualquer dessas duas situações, isso vai ser igual a 0, porque sen0 é 0, e o sen(2 . 2π), que é 4π, também é igual a 0. Então, em t = 2π, temos 1/2 . 2π - 0, que é igual a π, e em t = 0, temos tudo isso sendo igual a 0. Assim, toda esta parte aqui será π - 0, que é igual a π. Pronto, terminamos essa parte! Agora, é só multiplicar essas duas coisas. Assim, teremos aqui 4/3 . π. Então, toda esta integral aqui é igual a 4/3 . π. Se você tiver tem uma esfera de raio 1... Bem, na verdade, eu nem deveria falar esfera, porque estamos falando só da superfície. Então, neste caso, temos o raio = 1, que é onde estamos avaliando a integral de superfície. Agora merecemos um pouquinho de descanso, né? Isto aqui foi grande demais! Espero que você tenha compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, quero deixar para você um grande abraço. Até a próxima!