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Determinação de uma função de valor vetorial de posição para uma parametrização de dois parâmetros

Determinação de uma função de valor vetorial de posição para uma parametrização de dois parâmetros. Versão original criada por Sal Khan.

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RKA2JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos continuar falando a respeito de como parametrizar um toroide, que é uma superfície de revolução parecida com um donut. Uma rosquinha, vamos dizer assim. Para isso, eu utilizei dois parâmetros, que demorou um certo tempo para visualizarmos porque tudo isso, de certa forma, é questão de visualização. É o mais difícil de se fazer nesse tipo de parametrização. Recapitulando: como podemos parametrizar este toroide? Podemos pegar um ponto aqui e rotacionar, e aí vamos criar um círculo em sua volta. Claro, pode ser qualquer círculo, mas eu peguei um aqui no plano ZY. E, quando parametrizamos esse círculo, nós vamos ter um ângulo "s" que varia de zero a 2π. Depois disso, nós rotacionamos esse círculo ao redor de si mesmo. Ou, melhor dizendo, vamos rotacioná-lo ao redor do eixo Z, tudo isso com o mesmo centro. Isso significa que a distância do centro do círculo até o centro do toroide sempre vai ser igual a "b". Estas são as visões superiores. Por causa disso, nós definimos um segundo parâmetro "t", que nos diz o quão longe o círculo rotaciona ao redor do trajeto do eixo Z. Então, estes são os dois parâmetros que nós definimos. E, nesta aula, vamos continuar tentando entender o que acontece de fato com esse tipo de superfície. Para isso, nós temos aqui uma espécie de domínio que a nossa parametrização irá definir. O "s" vai de zero a 2π, o que significa que, quando "t" é igual a zero, nós temos uma rotação para fora do plano ZY. Aqui o "s" está em zero, e vai até 2π. E, quando "t" vai para 2π, nós movemos o círculo para a frente. Nós o rotacionamos ao redor do eixo Z. Um faz um ponto rotacionar ao redor de um centro, e isso cria um círculo, e o outro faz esse círculo rotacionar ao redor do eixo Z. E, portanto, esta linha no domínio ST corresponde a esse círculo tridimensional do espaço XYZ. Dada essa introdução, eu espero que você tenha visualizado bem como esse toroide é criado. Agora, vamos tentar definir uma posição para o vetor dessa parametrização. Primeiro vamos fazer o "z", que é bem mais simples. Para isso, vamos olhar esta imagem aqui. Qual vai ser o nosso "z"? O "x", o "y" e o "z" devem ser uma função de "s" e "t", correto? Mas o que isso significa? Significa que qualquer posição no espaço deve ser uma função de um "t" particular e um "s" particular. E é exatamente o que temos aqui. Este ponto corresponde a este aqui. Este ponto aqui, que é o π/2, corresponde a este aqui. Este ponto aqui, quando "t" está saindo de zero, corresponde a este. E, por fim, este ponto é este aqui, onde percorremos 1/4 de círculo. Basicamente, o que eu estou querendo dizer é que quaisquer "s" e "t" representam um ponto neste plano XYZ. Por causa disso, tanto "x" quanto "y" quanto "z" são funções de "s" e "t". Então, primeiro vamos determinar o "z". Ou seja, o "z" como uma função de "s" e "t". E qual vai ser essa função? Bem, se você pegar qualquer círculo e determinar o ângulo entre o raio e o plano XY, então, este ângulo aqui é o ângulo "s" e eu posso desenhar o círculo aqui para ficar melhor de ver. Este aqui é o ângulo "s", o raio eu vou chamar de "a", e "z" será esta distância aqui, que é a parte de cima do plano XY. E aqui podemos aplicar o que chamamos de razões trigonométricas Então, este é o "z" e agora podemos aplicar o que chamamos de razões trigonométricas. Se você não lembra, eu sugiro que dê uma revisada nesse conteúdo. Ou seja, nós calculamos o seno deste ângulo "s", que eu posso colocar aqui e que é igual à medida do cateto oposto ao ângulo "s" dividido pela hipotenusa, que neste caso é o "a". Então, colocamos aqui que sen s é igual a z/a. Se multiplicarmos ambos os membros desta equação por "a", vamos ficar com "a" vezes sen s, que é igual a "z". Este "z" nos diz o quanto estamos acima desse plano XY. Com isso, "z", que é uma função de "s" e de "t", vai ser igual a "a" vezes sen s. Note que este "z" não faz diferença alguma. Isso porque não importa o quanto rotacionamos o círculo ao redor desse eixo Z. O importante é o quanto giramos em torno deste círculo. Se o "s" é zero, então estamos apenas no plano XY. Se o "s" é igual a π/2, então, estamos aqui em cima no círculo, O que significa que estamos rotacionando nesta parte superior da rosquinha, do nosso donut. Agora, vamos tentar achar "x" e "y". Note que estas duas figuras são visões superiores do nosso toroide, correto? Portanto, a distância do centro de todos os círculos até o centro do toroide é igual a "b". Portanto, todas estas distâncias são iguais a "b". Portanto, para achar o "x" e o "y", vamos pensar no quão distante da origem cada ponto está. E claro, para isso, você precisa fazer uma projeção desse ponto no plano XY. Para visualizar isso melhor, de novo, nós podemos olhar para este círculo, que é um círculo em particular. Se eu colocar aqui um plano XYZ, a distância do círculo até o centro do toroide vai ser esta aqui, que é o "b". E será que é possível calcular essa distância? Se olharmos para este centro, nós temos um ângulo que é formado entre o raio e o plano XY. E, se soubermos esse ângulo, nós conseguimos determinar este "z", correto? Acaba que este ponto é a projeção deste aqui no plano XY. E com isso, nós conseguimos descobrir essa distância, que é igual a "a" vezes cos s. Isso porque o cosseno de "s" é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa. E, se ajeitarmos, vamos ficar com isto aqui. Portanto, esta distância vai ser igual a esta aqui, que é "b", mais esta, que é "a" vezes cos s. Se o "s" estiver para cá, o "z" vai estar aqui e a distância até o centro do toroide será menor. E isso faz sentido, porque esta distância aqui vai ser menor do que "b". Se olharmos para estas figuras aqui, que apresentam visões superiores da curva, o "b" é esta distância aqui. E quando somamos com "a" vezes cos s, essa distância fica maior. Ou seja, esta distância aqui é b + a vezes cos s. Isso significa que estamos dependendo do "s" e do "t". Mas em que isso ajuda a determinar o "x" e o "y"? Se nós pegarmos um ponto aqui e rotacionarmos, a distância entre ele e o centro da toroide vai ser esta aqui, que é igual a b + a vezes cos s, o que significa que estamos indo para longe do plano XY. E quais são as coordenadas "x" e "y" desse ponto? Esta é uma visão superior, correto? O que significa que nós estamos no topo do eixo Z, olhando diretamente para baixo, para o chão. Ou seja, estamos olhando para o plano XY. Se você desenhar outro triângulo aqui, este é o ângulo "t" e, calculando o seno dele, o que achamos? Este aqui é o "x", nossa coordenada "x" como uma função de "s" e "t", e que vai ser igual ao seno de "t", que é o seno deste ângulo, seno de "t" vezes a medida deste lado, que é a hipotenusa do triângulo, e que é igual a b + a vezes cos s. E claro, este "x" aqui está na direção positiva. Do jeito que eu defini aqui, é como se os valores positivos de "x" estivessem indo nesta direção e os negativos, nesta. A ideia aqui só foi mostrar o desenho. Não se importe tanto com essa questão de eixo agora. Basicamente, para determinar a coordenada "x" em função de "s" e "t", você pega o seno deste ângulo "t" e multiplica por (b + a vezes cos s). E como podemos determinar o "y"? No nosso triângulo, ele representa esta distância aqui. Então, o "y" como uma função de "s" e "t" vai ser igual ao cosseno deste ângulo, que é o cosseno de "t", vezes esta medida, que é igual a (b + a vezes cos s). Isso porque, para calcular o cosseno deste ângulo "t", nós precisamos pegar o cateto adjacente a ele, que neste caso é o "y", e dividir pela hipotenusa, que neste caso é (b + a vezes cos s). E aí, quando você ajeita, acaba chegando nisto aqui. E, como "y" depende do "t" e do "s", em vez de escrevermos apenas "y", colocamos "y" como uma função de "s" e "t". Eu posso copiar esta parte e colocar aqui embaixo, e finalmente terminamos a nossa parametrização. Mas podemos reescrevê-la como uma função com valor de vetor posição. Como assim? Vamos dizer que nós temos uma função "r" aqui, que representa o vetor posição e que dependa de "s" e de "t", e que vai ser igual ao "x" de "s" e "t", que eu posso colocar aqui como (b + a vezes cos s) vezes sen t. Isto vai na direção "x", então, podemos colocar um "i" aqui. Mas lembre-se, do jeito que eu defini, esta é a direção positiva do "x". E somamos isto com o "y", que é (b + a vezes cos s) vezes cos t na direção "j", que é o vetor unitário de "y". Ou seja, este aqui é o vetor unitário "j". E ainda somamos isto com o "z", ou seja, mais (a vezes sen s) na direção do vetor unitário "k", que é este vetor aqui. Com isso, qualquer "s" e "t" dentro do domínio, nós conseguimos achar a posição do ponto aqui no toroide. Por exemplo, se você pegar este ponto aqui, onde o "s" e o "t" são iguais a π/2, você pode substituir nesta função e vai achar a posição do ponto no toroide. Para terminar, vamos fazer isso rapidinho. Ou seja, se quisermos achar o vetor posição do ponto (π/2, π/2), isso vai ser igual a (b + a vezes cos π/2), que multiplica (sen π/2), isso na direção "i", mais (b + a vezes cos π/2), vezes (cos π/2) na direção "j", mais (a vezes sen π/2) na direção "k". Resolvendo, nós vamos ter que cos π/2 é zero, então, este produto vai zerar; e sen π/2 = 1. Aqui também vai dar zero, sobrando somente o "b". Mas, como aqui também é zero, toda esta parte vai zerar. E sen π/2 = 1. Portanto, se ajeitarmos isto, vamos ficar com "b" na direção "i", mais zero na direção "j", mais "a" na direção "k". E, como na direção "j" é zero, podemos reescrever isto como "b" na direção "i", mais "a" na direção "k". Então, "b" na direção "i" é este aqui, depois subimos "a" unidades na direção "k" e aqui nós temos o vetor posição. Ou seja, este ponto aqui corresponde a este aqui. Claro, este foi um ponto, de certa forma, fácil de calcular. Mas você pode pegar qualquer ponto deste domínio e jogar na função posição que você vai encontrar o ponto nesta superfície. E claro, o "s" tem que estar entre zero e 2π, e o "t" também. Esse é o domínio dos parâmetros da função r(s, t). Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!