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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 10: Preliminares para integrais de superfícieComo parametrizar uma superfície- Parte 1
Introdução à parametrização de uma superfície com dois parâmetros. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - Olá, estudante!
Tudo bem com você? Vamos começar, agora, mais uma
aula da Khan Academy Brasil, e, neste vídeo, eu vou
realizar uma introdução à parametrização de uma superfície
através de dois parâmetros. Todas as parametrizações que fizemos até agora
foram de uma curva com apenas um parâmetro. O que nós vamos começar
a fazer nesse vídeo é parametrizar uma superfície de
três dimensões usando dois parâmetros. Para isso, vamos começar
com um exemplo de um toroide. O toroide é conhecido por ter uma superfície
como a de um donut, uma rosquinha. E nós sabemos como
uma rosquinha se parece. Eu vou desenhar aqui só
para você ter uma ideia. A rosca, ou seja, o toroide, se parece com isso aqui.
Ele tem um buraco no centro e, talvez, o outro lado seja algo
parecido com isso aqui. Assim é como se parece uma rosca, e isso
representa muito bem o formato de um toroide. Então, a pergunta aqui é: como construímos
isso usando dois parâmetros? Podemos, inicialmente,
desenhar aqui alguns eixos. Então, vamos dizer que o eixo z
vai para cima e para baixo e que passa exatamente
pelo centro da rosquinha. Vamos dizer que o eixo z
tem sua origem nesse ponto. Assim, o eixo x também vai ter a sua origem nesse
ponto e aí vem para cá. Esse é o meu eixo x. Saindo da mesma origem,
teremos o eixo y. A única razão de ter desenhado isso desse jeito
é que se você imaginar a seção dessa rosca do eixo x,z, teremos algo mais ou menos assim.
Isso vai ser uma espécie de fatia dessa rosca. Nós não estamos pensando em uma rosca inteira,
mas estamos pensando apenas na superfície de uma fatia. Também podemos cortar uma
fatia na parte positiva do plano z,y, assim, teremos um círculo
parecido com isso aqui. Se você percorrer esse toroide,
vai encontrar mais círculos. Muitos círculos,
na verdade. Então, se você pensar bem sobre isso,
teremos vários círculos rotacionados em torno do eixo z. Pensando dessa forma, teremos uma boa intuição
para a melhor maneira de parametrizar essa coisa. Então vamos fazer isso
utilizando essas ideias. Para isso, vamos começar
apenas com o plano z,y. Eu vou desenhar aqui os eixos z,y de uma
forma um pouco melhor que a que desenhei aqui. Esse é o eixo z e,
esse, é o eixo y. Digamos que o ponto central do eixo desse círculo, quando
você cruza o plano z,y, esteja sobre o eixo x, desse jeito. Eu vou desenhar o círculo em torno desse eixo,
que, como eu falei, é o centro do círculo. Agora, vamos dizer que o centro desse círculo
está a uma distância b do centro do toroide, ou que a partir do eixo z
o centro está a uma distância b. Na verdade, os centros desses círculos
sempre estarão a uma distância b do eixo z. Agora, que tal tentarmos desenhar como
visualizaríamos o toroide caso o víssemos de cima? Como assim? Se visualizássemos
esse toroide de cima, ou seja, se estivéssemos acima do
toroide e olhasse para baixo, para ele, nesse caso,
como visualizaríamos o toroide? Se estivéssemos vendo desse jeito,
teríamos uma visão da seguinte forma: o eixo z estaria orientado
para o nosso rosto. Ou seja, nessa tela aqui, o
eixo z estaria saindo da tela. Nessa visão, o eixo x estaria orientado para baixo
e o eixo y estaria orientado para a direita, desse jeito aqui. Então, isso é uma
forma de visualizar. É como se tivéssemos sobre o eixo z e olhando
para a rosquinha, ou seja, para o toroide. Agora, se você puder imaginar a seção transversal,
olhando de cima para o toroide, teremos algo assim. E, ainda, teremos o centro desse círculo
a uma distância b do eixo z. Essa será a distância para cada
um dos centros desses círculos, então essa será a distância
a partir do centro do toroide ou do eixo z até o centro de um dos círculos
que teremos percorrendo todo o toroide. Sendo assim, essa distância aqui é b e, de b,
na verdade, do centro desse círculo, temos um raio. Um raio de comprimento a, então, todos
esses círculos têm um raio de comprimento a. Então, essa distância aqui é a, essa distância
também é a, e a distância aqui também é a. Se eu fosse olhar para esses círculos,
todos eles terão um raio a. O que vamos fazer aqui
é obter dois parâmetros. Um deles é o ângulo que
esse raio faz com o plano z,y. Eu vou desenhar o eixo x aqui para ficar
mais fácil de visualizar. Afinal, é como se estivéssemos olhando para o toroide
a partir do eixo x, mas, como eu disse, um dos parâmetros é o ângulo
que o raio faz no plano z,y. Vamos chamar esse ângulo ou esse parâmetro de s,
e, como esse s vai variar de zero a 2π, temos que s é maior ou igual
a zero e menor ou igual a 2π. Podemos traçar aqui um círculo
que se parece com isso aqui. Por enquanto,
só temos um parâmetro. Para obter o outro parâmetro, podemos girar o círculo
ao redor da origem das coordenadas. Visto novamente de cima, vamos percorrer
todo o círculo que eu desenhei. Eu vou fazer novamente
a visão superior aqui, ok? Ou seja, eu vou desenhar como eu veria
se eu estivesse sobre o eixo z. Dessa forma, vamos
desenhar aqui o plano x,y. Vamos colocar o eixo x orientado para baixo
e o eixo y orientado para a direita. Eu falei antes com essa visão no plano z,y
que estamos a uma distância b em relação ao eixo z. Como eu falei nesse diagrama aqui embaixo,
o eixo z está orientado para fora da tela. Se eu considerar o ponto em que o ângulo s
é igual a zero radiano, eu vou estar aqui, exatamente um
raio a mais ao longo do eixo y. Quando o nosso ângulo s for igual a “pi” (π),
estaremos neste outro ponto. Aqui, temos b
menos o raio a. Com isso, teremos o nosso
círculo visto de cima. Aí, vamos começar a
girar ao redor do eixo z. Se você olhar de cima para a parte superior
do círculo, teremos algo assim, portanto, isso aqui é o que obtemos
quando deslocamos zero radiano. Em algum outro momento,
vamos estar aqui. À medida em que giramos, vamos
percorrer todo o caminho aqui. Aí, esse b e o nosso círculo
vão estar desse jeito. Talvez, seja esse ponto em nossa rosquinha.
Aqui, agora, vamos definir o nosso outro parâmetro. Eu vou chamar esse parâmetro de t, que é o parâmetro
que obtemos quando rotacionamos ao redor do eixo z, e t vai variar
entre zero e 2π. É bom deixar esses
intervalos bem claros, porque, aí, conseguimos saber exatamente qual é
o domínio em que estamos mapeando nossa superfície. Depois de compreender isso muito bem, vai ficar mais fácil
fazer a nossa parametrização. Enfim, continuando aqui. Eu vou desenhar eixos
utilizando os nossos parâmetros. Vou colocar aqui o eixo t, que é o parâmetro que utilizamos
para quando estamos girando ao redor do eixo z. E, aqui, também,
temos o eixo s, que é o parâmetro que obtemos quando
giramos em torno de uma fatia do nosso toroide. Eu acho que isso vai nos ajudar
a visualizar melhor as coisas. Inicialmente, vamos observar aqui o que
acontece quando o s é igual a zero, portanto, isso aqui é
zero e isso aqui é 2π. Eu acho legal fazer algumas coisas intermediárias
aqui também, então, aqui, temos “pi” (π). Aqui, temos π sobre 2 e,
aqui, temos 3π sobre 4. Podemos fazer a
mesma coisa no eixo t. O t também vai variar de zero a 2π.
Vamos fazer isso aqui. Eu realmente quero que você visualize isso,
porque a parametrização vai ficar muito mais simples. Então, aqui, temos 2π, aqui, temos π, aqui,
π sobre 2 e, aqui, temos 3π sobre 4. Sendo assim, vamos pensar sobre o que acontece
se mantivermos o s constante em zero, e aí variarmos o t
entre zero e 2π. Vou fazer isso aqui. Então nós estamos
mantendo o s constante em zero, e, aí, estamos alterando
apenas o t, entre zero e 2π Se você pensar sobre isso, teremos a formação
de uma curva em três dimensões e, não, uma superfície, porque estamos
variando apenas um parâmetro aqui. Então vamos pensar sobre isso.
Vou colocar aqui os meus eixos novamente. Aqui, eu tenho o meu eixo x, aqui, eu tenho o meu eixo y
e, aqui, eu tenho o meu eixo z. Agora, lembre-se, quando o s é igual a zero, isso significa
que não estamos girando em torno desse círculo. Isso significa que
nós estamos aqui. É importante observar que quando temos s igual a zero,
estaremos a uma distância b, que é aqui, e mais uma distância, que
corresponde ao raio do outro círculo. Então estaremos exatamente aqui.
Aí, vamos variar t. À medida que formos variando o t,
vamos girar ao redor do eixo z, que observamos aqui através
de uma visão superior. Então essa linha aqui em nosso
domínio “st”, por assim dizer, quando fizermos o mapeamento
ou a parametrização, ela vai corresponder à curva que é essencialmente
a borda externa do nosso toroide. Se essa é a visão superior do toroide,
teremos, aqui, a borda exterior dela, então, vamos fazer
a borda externa aqui. Para isso, mantemos s em
zero radiano e aumentamos o t. Eu estou desenhando os domínios positivos e negativos
desses eixos para que consigamos visualizar melhor. Aqui, temos t igual a zero,
aqui, temos t igual a π sobre 2, aqui, temos t igual a π, depois,
temos t igual a 3π sobre 2, e, por último, depois de percorrer todo
o caminho, temos 2π. Essa linha corresponde a essa linha,
girando ao redor do eixo z. Mantendo o s constante
em zero e variando o t. Agora, vamos fazer de
outro ponto de vista. Vamos dizer que
o s está em π. Lembre-se, quando o s está em π,
circulamos exatamente 180 graus ao redor do círculo, em torno de cada um desses círculos,
então, nós estamos bem aqui. Agora, vamos manter o s constante em π e
girar ao redor para formar a nossa rosquinha. Aqui, vamos formar o
interior do nosso donut. Vamos, então, manter o s em π
e vamos pegar o ponto t em zero. Para encontrar esse ponto, vamos no centro do círculo,
e, aí, diminuímos uma distância a, que é o raio do círculo. Vamos estar bem aqui. À medida que
seguramos o s em π e aumentamos o t, vamos obter o interior da
nossa rosca, do nosso toroide. Com isso, vamos ter algo
mais ou menos assim. Aí, podemos fazer isso várias vezes, podemos fazer,
por exemplo, mantendo o s igual a π sobre 2. Quando temos s sendo igual a π sobre 2,
estaremos exatamente em 90 graus, ok? Aí, o que obtemos quando mantemos o π
sobre 2 constante e alteramos o t? Estaremos essencialmente traçando o topo do toroide,
fazendo o desenho aqui na seção transversal, estaremos aqui na parte superior dessa rosca.
E aí, vamos começar bem aqui. Então, quando o s é π sobre 2 e
variamos o t, o que vai acontecer? Teremos a parte superior do círculo aqui,
aqui, aqui e aqui. Agora, basta ligar os pontos. Com isso, teremos algo
mais ou menos assim. Esse é o topo do nosso toroide.
Agora podemos fazer a parte inferior também. Apenas para deixar mais claro, para fazer
a parte inferior da rosca, o fundo do toroide, precisamos manter o s constante
em 3π sobre 4, e, aí, variar o t. Com isso, vamos obter
o fundo do toroide. Então, vamos
desenhar isso aqui. Você não seria capaz de ver tudo isso
se eu não tivesse feito essa figura transparente. Além disso, eu sei que essa
figura está um pouco confusa, mas eu acredito que você conseguiu
ter uma ideia sobre isso. Quando o s for 2π, estaremos novamente
de volta ao exterior do toroide. Enfim, isso é o que acontece quando temos o s
constante em certo de valores, e aí variarmos o t. Agora, vamos
fazer o contrário. O que acontece se mantivermos o t constante
em certos valores e variarmos o s? Vamos manter o t
constante aqui em zero. Quando o t está em zero, não
teremos percorrido todo o toroide. Nesse caso,
estaremos no plano z,y. Com o t igual a zero, nós vamos
variar o s indo de zero a 2π. Sendo assim, inicialmente estaremos em s
igual a zero, que é esse ponto aqui. Depois, vamos para s igual a π sobre 2,
que é esse ponto aqui. Depois, vamos para s igual a π,
que é esse ponto. Em seguida, vamos para s igual a
3π sobre 2, que é esse ponto. Por último, vamos para 2π, percorrendo todo
o caminho e voltando ao ponto inicial. Portanto, essa linha
corresponde a esse círculo. Podemos continuar fazendo isso, então,
vamos manter aqui o t constante em π sobre 2. Sendo assim, agora estaremos aqui, e, agora,
quando variarmos o s, o s vai começar aqui, vai circular
desse jeito aqui. Assim, essa linha
corresponde ao círculo. Podemos continuar fazendo isso aqui, quando o
t é igual a π, e aí variarmos o s entre zero e 2π, vamos percorrer todo esse
caminho aqui nesse círculo. Agora, vamos para
t igual a 3π sobre 4. Vamos manter esse t constante,
e aí vamos variar o s de zero 2π. Começando em s igual a zero e aumentando,
vamos percorrer ao redor desse círculo. Por último, vamos
movimentar o t até 2π. Com isso, estaremos
de volta ao início. Eu espero que você esteja vendo um sentido aqui
agora para essa parametrização. Eu não fiz nenhuma
matemática ainda. Eu realmente não mostrei como representar
matematicamente essa parametrização através de uma
função de valor vetorial, mas eu espero que você esteja vendo um sentido
do que significa parametrizar por dois valores. E, só para ter uma
ideia um pouco melhor, as áreas aqui em nosso plano st
vão formar uma superfície, em que no r3 esse pequeno quadrado aqui
vai delimitar uma superfície do toroide. Para deixar bem clara a minha representação,
nós obtemos esse quadrado quando variamos o nosso t entre zero e π sobre 2, e o nosso
s entre zero e π sobre 2 também. Sendo assim, esse quadrado representa
essa superfície do nosso toroide. Se você estiver olhando de cima,
teremos essa região aqui. Como eu disse, eu ainda não
mostrei nada disso matematicamente, mas o que fizemos aqui foi realizar uma transformação
desses parâmetros aqui para essa parte do toroide. Eu acho que fiz o máximo a ser feito
aqui em relação à visualização. Em outro vídeo, eu mostro como realmente podemos
realizar a parametrização com esses dois parâmetros. Nós podemos fazer isso variando o nosso t
e depois variando o nosso s. Aí, se pegarmos todas
as combinações de s e t, teremos todos os pontos ao longo
da superfície desse toroide. Assim, podemos utilizar esses
parâmetros e seus intervalos para transformar em
uma função vetorial que indica a posição de cada
ponto da superfície desse toroide. Eu espero que você tenha compreendido
tudo isso que vimos até aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!