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Transcrição de vídeo

Todas as parametrizações que fizemos até agora foram de uma curva com apenas um parâmetro. O que nós vamos começar a fazer nesse vídeo é parametrizar uma superfície de três dimensões, usando dois parâmetros. Vamos começar com um exemplo de um toróide. O toróide é conhecido por ter sua superfície como a de uma rosca. E nós sabemos como uma rosca parece. Vou desenhar com uma que combine, bom, não tenho nenhuma nenhuma cor que combine com rosca, vou usar verde mesmo. A rosca se parece com isso. Ela tem um buraco no centro e talvez o outro lado de uma rosca pareca algo como isso, então podemos desenhar assim. Assim é como se parece uma rosca. Então, como construímos isso usando dois parâmetros? O que queremos fazer é uma rosquinha, se você desenhar alguns eixos aqui... Então essa é nossa rosquinha. Vou desenhar alguns eixos. Então vamos dizer que o eixo z vai para cima e para baixo. Desenhamos aqui, a rosca está meio vai ficar desse jeito. Nosso eixo z vai exatamente pelo centro da rosquinha. Então até aqui temos, bom, isso vai ser mais um exercício de desenho do que qualquer outra coisa. Então meu eixo z, e você pode imaginar que o eixo z vai daqui e então isso saindo por aqui vai ser meu eixo x Se esse for meu eixo x entao talvez o meu eixo y saia dessa maneira E a única razão pela qual eu desenhei isso é que se você imaginar a seção dessa rosca, eu vou desnhar a um pouco mais elegante, mas a seção dessa rosca no plano XZ vai se parecer algo como isso Se eu fosse cortar isso no plano XZ isso vai parecer como algo assim. Essa vai ser a fatia. Seria assim, e nós não estamos pensando numa rosca inteira, somente a superfície de uma. Então ficaria um traço como esse. Então se cortarmos a rosquinha na parte positiva de ZY isso vai ficar um círculo parecido com algo assim. E se você ir por aqui, você está indo para obter muitos círculos. Então, se você pensar nisso, é um monte de círculos rotacionados em torno do eixo z. Se você pensar desse jeito, ele vai dar-nos uma boa intuição para a melhor maneira de parametrizar essa coisa. Então, vamos fazê-lo dessa maneira. Vamos começar com apenas um eixo ZY. Vou desenhá-lo um pouco mais claro do que eu fiz aqui. Então esse é o eixo z, e que é y, apenas como aquele. E digamos que o centro destes círculos, vamos dizer que encontra-se, você sabe, ele pode mentir, quando você cruza o eixo zy, o centro está assentado sobre o eixo-y. Eu não desenhá-la perfeitamente que aqui, mas eu acho que você pode visualizar. Então ele fica ali mesmo, no eixo-y. E digamos que é uma b distância do centro do toro, ou a partir do eixo z é uma distância de b. É sempre vai ser uma distância de b. É sempre, se você imaginar o topo da rosca, deixe-me desenhar o topo da rosca. Se você estiver olhando para baixo em um donut, deixe-me desenhar uma donut bem aqui, se você está olhando para baixo em um donut, que só olha algo parecido. O eixo z é apenas vai ser de estalo para fora. O eixo x viria para baixo como este, em seguida, o eixo y seria ir para a direita, assim. Então você pode imaginar, eu só estou voando sobre isso. Estou sentado sobre o eixo z olhando para o donut. Ele vai olhar assim. E se você imaginar a seção transversal, este direito círculo aqui, a parte superior do círculo, se você está olhando para baixo, ficaria assim. E este b distância é uma distância do eixo z para o centro de cada um destes círculos. Então, esta distância, deixe-me desenhá-la na mesma cor, a partir do centro para a centro desses círculos, que vai ser b. É só ir a manter-se ir ao centro dos círculos, b. Que vai ser b, que vai ser b. Que vai ser b. Do centro do nosso toro para o centro do nosso círculo que define o toro, é uma distância de b. Então, esta distância aqui, que a distância é logo ali b. E de b, podemos imaginar que temos um raio. Um raio de comprimento a. Então, esses círculos têm raio de comprimento a. Então, esta distância aqui é um, este direito distância aqui é a, esta distância direita há uma, a distância que ali é a. Se eu fosse olhar para estes círculos, os círculos tem raio a. E o que vamos fazer é ter dois parâmetros. Um deles é o ângulo que este raio faz com o xz avião, para que você possa imaginar o eixo x saindo. Deixe-me fazer isso na mesma cor. Você pode imaginar o eixo-x que sai aqui. Portanto, este é o plano xz. Assim, um parâmetro que vai ser o ângulo entre o nosso raio eo plano xz. Vamos chamar esse ângulo, ou esse parâmetro, estamos vai chamar esse s. E assim como s vai entre 0 e 2 pi, como s vai de 0 em 2 pi, quando o 0 é apenas vai ser neste ponto aqui, e depois como ele vai para 2 pi, você vai traçar um círculo que se parece com isso. Agora, só temos um parâmetro. O que nós queremos fazer é, então, spin este círculo ao redor. O que eu apenas desenhei é que ali mesmo círculo. O que nós queremos fazer é girar todo o círculo ao redor. Portanto, vamos definir um outro parâmetro. Vamos chamar essa t uma, e eu vou tomar a visão de cima novamente. Este está ficando um pouco confuso. Deixe-me chamar uma outra visão de cima. Como você pode ver, isso é tudo sobre visualização. Então, digamos que este é o meu eixo-x, que é meu eixo-y. E nós dissemos que começamos aqui no plano zy. Estamos b longe do eixo z, de modo que a distância é b. Neste diagrama, o eixo z é apenas pulando para fora de nós. É pulando para fora da página. Nós estamos olhando para baixo. É como o ponto de vista mesmo que logo ali. E o que eu desenhava, quando s é igual a 0 radianos, vamos estar aqui, exatamente um raio de mais ao longo do eixo-y. E então vamos rodar. À medida que giram em torno, vamos rodar e, em seguida, vir todo o caminho até aqui. Isso é quando nós estamos bem ali, e depois voltar para baixo. Então, se você olhasse na parte superior do círculo, é vai ficar assim. Agora, para fazer a rosca, vamos ter que girar esta configuração todo em torno do eixo z. Lembre-se, o eixo z é pulando para fora. É olhando para cima de nós. Ele está saindo da tela de vídeo. Agora, para girá-lo, vamos rodar este círculo em torno do eixo z. E para fazer isso, vamos definir um parâmetro que nos diz como quanto temos que rodar. Portanto, este é quando temos rodado 0 radianos. Em algum momento, vamos ser aqui, e nós ter rodado, este é b bem, e nosso círculo vai para ser desse jeito. Este é talvez este ponto em nosso donut, bem ali. Nesse ponto, gostaríamos de ter rodado ele, digamos p radianos. Assim, este parâmetro de quanto temos girado em torno do eixo z, o quanto temos ido ao redor dessa forma, estamos vai chamar esse t. E t também vai variar entre 0 e 2 pi. E quero deixar isso bem claro. Vamos realmente tirar o domínio que estamos a mapeamento de nossa superfície, de modo que compreendemos isso totalmente. Então deixe-me tirar algumas, e depois vamos falar sobre como podemos realmente parametrizar que em uma posição função vectorial. Tão certo aqui, vamos chamá-t que o eixo. Que, lembre-se, o quanto estamos girado em torno de o direito do eixo z lá. E vamos chamar este aqui em baixo o nosso s eixo. E eu acho que isso vai ajudar as coisas um bom bocado. Então, quando s é igual a 0, e variam apenas de t, assim que são tanto vai variar entre 0 e 2 pi. Portanto, este aqui é 0, esta aqui é de 2 pi. Deixe-me fazer algumas coisas no meio. Este é pi, pi isso seria mais de 2 obviamente, mais de 2 pi, isso seria mais de 4 pi 3. Você faz a mesma coisa sobre o p-axis. Vai para ir até 2 pi. Vamos fazer isso. Então, nós estamos indo para ir até 2 pi. Eu realmente quero que você visualize isso, porque então o parametrização, eu acho, vai ser bastante simples. Então, isso é 2 pi, pi este é, este é mais de 2 pi, e então este é de 3 pi mais de 4. Então, vamos pensar sobre o que parece que se você apenas segurar s constante a 0, e nós apenas t variam entre zero e 2 pi. E deixe-me fazer isso em magenta, aqui mesmo. Então, nós estamos segurando s constante, e nós somos apenas diferentes o parâmetro 2 pi. De modo que este, se você pensar sobre isso, deve apenas formar uma curva em três dimensões, e não uma superfície. Porque estamos variando apenas um parâmetro aqui. Então, vamos pensar sobre o que é isso. Lembre-se, s, deixe-me tirar o meu eixos. Então esse é o meu eixo-x, que é o meu eixo-y, e depois este é o meu, estou ficando mais confuso e mais confusa. Esse é o meu eixo z, direito - na verdade, deixem-me chamar-lhe um pouco maior do que isso. Eu acho que vai ajudar todos os nossos visualizações. Tudo certo. Então este é o meu eixo-x, que é meu eixo-y, e então o meu eixo z sobe assim. z-eixo. Agora lembre-se, quando s é igual a 0, isso significa que não temos girado em torno deste círculo em tudo. Isso significa que nós estamos aqui. Vamos ser b longe, e então uma outra vez. Certo? Nós não temos girado em torno de tudo isso. Estamos montando s igual a zero. Então, basicamente, vamos ser b afastado, assim que isso vai ser uma distância de b de distância, e depois vamos ser outra de distância. A b é o centro do círculo, e depois vamos ser outra de distância. Vamos ser bem ali. Então este é um b mais longe. E depois vamos variar t. Lembre-se, t foi o quanto nós fomos ao redor do eixo z. Estas foram vistas superior aqui. Então, essa linha aqui, em nosso domínio st, podemos dizer, quando nós mapeá-lo, ou parametrizar isso, ele vai corresponder à curva que é essencialmente a borda externa são donut. Se esta é a visão de cima da rosca, que será o exterior borda da rosca, assim mesmo. Então deixe-me chamar a borda externa. E para fazer isso um pouco melhor, deixe-me tirar dos eixos em ambos os aspectos positivos e negativos do domínio. Pode fazer meu gráfico um pouco mais fácil de visualizar as coisas. Domínio positivo e negativo, este é negativo z ali. Então esta linha no nosso plano ts, eu acho que poderíamos dizer, este linha magenta, temos s em 0 radianos e aumentamos t, este é t é zero, isto é t é igual a 2 pi, que t é igual a pi, isto é t é igual a 3 pi sobre 2, todo o caminho de volta para t é igual a 2 pi. Esta linha corresponde a essa linha, como girar, como nós aumentar a t s e mantenha constante a 0. Agora vamos fazer um outro ponto. Digamos que quando s está no pi, certo, lembre-se, quando é s na pi, fomos exatamente, pi é de 180 graus. Quando s está no pi, fomos exatamente 180 graus ao redor do círculo, em torno de cada um destes círculos. Então, nós estamos bem ali. E agora vamos segurá-la constante em pi, e gire-o ao redor para formar a nossa rosquinha. Então, vamos para formar o interior do nosso donut. Então, quando s está em pizza, e nós vamos tomar t de 0, então quando s é pi e t é 0, nós vamos ser, este era o centro do nosso círculo, vamos ser um abaixo disso. Vamos ser bem ali. E então como nós variar, à medida que aumentamos t, de modo que subimos junto, segurando s na pi, e nós aumentamos t, vamos traçar o interior do nosso donut, que vai olhar algo assim. Essa foi a minha melhor chance de desenhá-lo. E então nós podemos fazer isso várias vezes. Quando s é pi sobre 2, eu quero fazer várias cores diferentes, quando s é pi mais de 2, temos rodado aqui exatamente 90 graus, certo? Pi mais de 2 é de 90 graus neste momento. E então se nós variam t, estamos essencialmente traçando o topo da rosca, certo? Então deixe-me garantir que eu desenhá-lo. Assim, a seção transversal, na parte superior da rosca, vamos para começar bem aqui. Então, quando s é pi mais de 2, e você variar a direita, e então você t muito, estou tendo problemas para desenhar linhas retas. E então você variar t, que vai ficar assim. Isso é o topo do círculo ali. A parte superior do círculo vai ser ali mesmo. A parte superior do círculo vai ser bem ali. Parte superior do círculo vai ser bem ali. Então eu apenas ligar os pontos. Vai ser algo como isso. Que é o topo de nossa donut. Se eu estava fazendo este ponto de vista superior, que seria o topo da donut, apenas como aquele. E se eu queria fazer parte inferior da rosca, apenas para tornar a imagem mais clara, se eu fosse fazer parte inferior da donut, o fundo do donut seria - ver, se eu s tomar como 3 pi mais de 4 e eu variar t, que é o fundo da nossa donuts. Então deixe-me desenhar o círculo, é ali mesmo, o círculo é ali mesmo, você não seria capaz de ver a coisa toda se isso não era transparente. Então você estaria traçando o fundo da rosca, apenas como aquele. Eu sei que este gráfico está se tornando um pouco confuso, mas espero que você começa a idéia. Quando s é 2 pi novamente, você vai estar de volta para o exterior da rosca novamente. Que também vai ser em roxo. Então é isso que acontece quando temos o s constante em certos valores e variar o t. Agora vamos fazer o contrário. O que acontece se mantivermos a 0, e muito é o? Então t é 0, isso significa que não ter rodado em todas ainda. Então, estamos no plano zy. , Então t é 0, e s terá início às 0, e ele vai para mais de 2 pi que é aquele ponto ali. Então ele vai para pi. Este ponto é a mesma coisa que esse ponto. Em seguida, ele irá para o 3 pi mais de 4, então ele vai voltar todo o caminho até 2 pi. Portanto, esta linha corresponde a este círculo, ali mesmo. Poderíamos continuar fazendo essas se escolher quando t é pi - deixe-me usar uma cor diferente, isso não é diferente o suficiente. Quando t é pi mais de 2, apenas como aquele. Teríamos girado em torno do eixo z 90 graus, então agora que estamos aqui. E agora, quando nós variamos s, s vai começar aqui, e que vai percorrer todo o caminho em torno de como isso. Assim, esta linha corresponde ao círculo. Poderíamos continuar fazendo isso assim. Quando t é igual a pi, que significa que temos todo o caminho em torno do círculo do assim, e agora, quando nós variam de 0 s para mais de 2 pi, vamos começar tudo até aqui, e depois vamos variar, todo o caminho, nós estamos indo para ir para baixo e bater todos os contornos que falamos antes, e eu vou fazer mais uma, só para fazer este tipo de, o andaime, claro. Este roxo escuro, espero que você pode vê-lo. Quando t é de 3 pi mais de 4, temos rodado todo o caminho. Então, estamos no plano xz. E então, quando você varia s, s vai começar aqui, e à medida que aumenta s, você está indo para ir ao redor do círculo, em torno de o círculo, apenas como aquele. E, claro, o círculo quando você começa todo o caminho completo, t mais de pi com mais de 2, que é a mesma coisa. Você está de volta por aqui de novo. Portanto, esta vai ser, podemos até mesmo enrolá-lo da mesma cor. E esperamos que você está recebendo um sentido agora de a parametrização. Eu não fiz nenhuma matemática ainda. Eu realmente não mostrou como representar matematicamente como uma função de valor de vetor, mas espero que você está recebendo um sentido do que significa para parametrizar por dois parâmetros. E só para se ter uma idéia do que essas áreas em nosso plano st correspondem a para esta superfície, em que eu acho que você poderia dizer, em R3, este pequeno quadrado aqui, vamos ver o que é delimitada por. Esta pequena praça, quero me certificar de que escolheu um quadrado que eu possa desenhar ordenadamente. Assim, esse direito praça aqui, que é entre, quando você olha para t, é entre 0 e pi mais de 2. E s está entre 0 e pi mais de 2. Portanto, este aqui é essa parte do nosso toro. Se você está olhando para ele de cima, ele ficaria assim, ali mesmo. Você pode imaginar, nós transformou essa praça. Eu nem sequer lhe mostrado como fazê-lo matematicamente ainda. Mas nós transformou essa praça para este parte do donut. Agora, eu acho que fizemos tanto quanto eu posso fazer na o lado de visualização. Vou parar este vídeo aqui. No vídeo seguinte, vamos realmente falar, como é que vamos realmente parametrizar com estes dois parâmetros? Lembre-se, leva em torno de cada s desses círculos, e depois t leva-nos ao redor do eixo z. E se você pegar todas as combinações de s e t, você está vai ter todos os pontos ao longo da superfície desta toro ou este donut. Como você realmente ir de uma s e no que vai de 0 a 2 pi, em ambos os casos, e transformá-lo em uma imagem tridimensional posição função vetorial que define essa superfície? Nós vamos fazer isso no próximo vídeo.