Como parametrizar uma superfície- Parte 1

RKA22JL - Olá, estudante! Tudo bem com você? Vamos começar, agora, mais uma aula da Khan Academy Brasil, e, neste vídeo, eu vou realizar uma introdução à parametrização de uma superfície através de dois parâmetros. Todas as parametrizações que fizemos até agora foram de uma curva com apenas um parâmetro. O que nós vamos começar a fazer nesse vídeo é parametrizar uma superfície de três dimensões usando dois parâmetros. Para isso, vamos começar com um exemplo de um toroide. O toroide é conhecido por ter uma superfície como a de um donut, uma rosquinha. E nós sabemos como uma rosquinha se parece. Eu vou desenhar aqui só para você ter uma ideia. A rosca, ou seja, o toroide, se parece com isso aqui. Ele tem um buraco no centro e, talvez, o outro lado seja algo parecido com isso aqui. Assim é como se parece uma rosca, e isso representa muito bem o formato de um toroide. Então, a pergunta aqui é: como construímos isso usando dois parâmetros? Podemos, inicialmente, desenhar aqui alguns eixos. Então, vamos dizer que o eixo z vai para cima e para baixo e que passa exatamente pelo centro da rosquinha. Vamos dizer que o eixo z tem sua origem nesse ponto. Assim, o eixo x também vai ter a sua origem nesse ponto e aí vem para cá. Esse é o meu eixo x. Saindo da mesma origem, teremos o eixo y. A única razão de ter desenhado isso desse jeito é que se você imaginar a seção dessa rosca do eixo x,z, teremos algo mais ou menos assim. Isso vai ser uma espécie de fatia dessa rosca. Nós não estamos pensando em uma rosca inteira, mas estamos pensando apenas na superfície de uma fatia. Também podemos cortar uma fatia na parte positiva do plano z,y, assim, teremos um círculo parecido com isso aqui. Se você percorrer esse toroide, vai encontrar mais círculos. Muitos círculos, na verdade. Então, se você pensar bem sobre isso, teremos vários círculos rotacionados em torno do eixo z. Pensando dessa forma, teremos uma boa intuição para a melhor maneira de parametrizar essa coisa. Então vamos fazer isso utilizando essas ideias. Para isso, vamos começar apenas com o plano z,y. Eu vou desenhar aqui os eixos z,y de uma forma um pouco melhor que a que desenhei aqui. Esse é o eixo z e, esse, é o eixo y. Digamos que o ponto central do eixo desse círculo, quando você cruza o plano z,y, esteja sobre o eixo x, desse jeito. Eu vou desenhar o círculo em torno desse eixo, que, como eu falei, é o centro do círculo. Agora, vamos dizer que o centro desse círculo está a uma distância b do centro do toroide, ou que a partir do eixo z o centro está a uma distância b. Na verdade, os centros desses círculos sempre estarão a uma distância b do eixo z. Agora, que tal tentarmos desenhar como visualizaríamos o toroide caso o víssemos de cima? Como assim? Se visualizássemos esse toroide de cima, ou seja, se estivéssemos acima do toroide e olhasse para baixo, para ele, nesse caso, como visualizaríamos o toroide? Se estivéssemos vendo desse jeito, teríamos uma visão da seguinte forma: o eixo z estaria orientado para o nosso rosto. Ou seja, nessa tela aqui, o eixo z estaria saindo da tela. Nessa visão, o eixo x estaria orientado para baixo e o eixo y estaria orientado para a direita, desse jeito aqui. Então, isso é uma forma de visualizar. É como se tivéssemos sobre o eixo z e olhando para a rosquinha, ou seja, para o toroide. Agora, se você puder imaginar a seção transversal, olhando de cima para o toroide, teremos algo assim. E, ainda, teremos o centro desse círculo a uma distância b do eixo z. Essa será a distância para cada um dos centros desses círculos, então essa será a distância a partir do centro do toroide ou do eixo z até o centro de um dos círculos que teremos percorrendo todo o toroide. Sendo assim, essa distância aqui é b e, de b, na verdade, do centro desse círculo, temos um raio. Um raio de comprimento a, então, todos esses círculos têm um raio de comprimento a. Então, essa distância aqui é a, essa distância também é a, e a distância aqui também é a. Se eu fosse olhar para esses círculos, todos eles terão um raio a. O que vamos fazer aqui é obter dois parâmetros. Um deles é o ângulo que esse raio faz com o plano z,y. Eu vou desenhar o eixo x aqui para ficar mais fácil de visualizar. Afinal, é como se estivéssemos olhando para o toroide a partir do eixo x, mas, como eu disse, um dos parâmetros é o ângulo que o raio faz no plano z,y. Vamos chamar esse ângulo ou esse parâmetro de s, e, como esse s vai variar de zero a 2π, temos que s é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2π. Podemos traçar aqui um círculo que se parece com isso aqui. Por enquanto, só temos um parâmetro. Para obter o outro parâmetro, podemos girar o círculo ao redor da origem das coordenadas. Visto novamente de cima, vamos percorrer todo o círculo que eu desenhei. Eu vou fazer novamente a visão superior aqui, ok? Ou seja, eu vou desenhar como eu veria se eu estivesse sobre o eixo z. Dessa forma, vamos desenhar aqui o plano x,y. Vamos colocar o eixo x orientado para baixo e o eixo y orientado para a direita. Eu falei antes com essa visão no plano z,y que estamos a uma distância b em relação ao eixo z. Como eu falei nesse diagrama aqui embaixo, o eixo z está orientado para fora da tela. Se eu considerar o ponto em que o ângulo s é igual a zero radiano, eu vou estar aqui, exatamente um raio a mais ao longo do eixo y. Quando o nosso ângulo s for igual a “pi” (π), estaremos neste outro ponto. Aqui, temos b menos o raio a. Com isso, teremos o nosso círculo visto de cima. Aí, vamos começar a girar ao redor do eixo z. Se você olhar de cima para a parte superior do círculo, teremos algo assim, portanto, isso aqui é o que obtemos quando deslocamos zero radiano. Em algum outro momento, vamos estar aqui. À medida em que giramos, vamos percorrer todo o caminho aqui. Aí, esse b e o nosso círculo vão estar desse jeito. Talvez, seja esse ponto em nossa rosquinha. Aqui, agora, vamos definir o nosso outro parâmetro. Eu vou chamar esse parâmetro de t, que é o parâmetro que obtemos quando rotacionamos ao redor do eixo z, e t vai variar entre zero e 2π. É bom deixar esses intervalos bem claros, porque, aí, conseguimos saber exatamente qual é o domínio em que estamos mapeando nossa superfície. Depois de compreender isso muito bem, vai ficar mais fácil fazer a nossa parametrização. Enfim, continuando aqui. Eu vou desenhar eixos utilizando os nossos parâmetros. Vou colocar aqui o eixo t, que é o parâmetro que utilizamos para quando estamos girando ao redor do eixo z. E, aqui, também, temos o eixo s, que é o parâmetro que obtemos quando giramos em torno de uma fatia do nosso toroide. Eu acho que isso vai nos ajudar a visualizar melhor as coisas. Inicialmente, vamos observar aqui o que acontece quando o s é igual a zero, portanto, isso aqui é zero e isso aqui é 2π. Eu acho legal fazer algumas coisas intermediárias aqui também, então, aqui, temos “pi” (π). Aqui, temos π sobre 2 e, aqui, temos 3π sobre 4. Podemos fazer a mesma coisa no eixo t. O t também vai variar de zero a 2π. Vamos fazer isso aqui. Eu realmente quero que você visualize isso, porque a parametrização vai ficar muito mais simples. Então, aqui, temos 2π, aqui, temos π, aqui, π sobre 2 e, aqui, temos 3π sobre 4. Sendo assim, vamos pensar sobre o que acontece se mantivermos o s constante em zero, e aí variarmos o t entre zero e 2π. Vou fazer isso aqui. Então nós estamos mantendo o s constante em zero, e, aí, estamos alterando apenas o t, entre zero e 2π Se você pensar sobre isso, teremos a formação de uma curva em três dimensões e, não, uma superfície, porque estamos variando apenas um parâmetro aqui. Então vamos pensar sobre isso. Vou colocar aqui os meus eixos novamente. Aqui, eu tenho o meu eixo x, aqui, eu tenho o meu eixo y e, aqui, eu tenho o meu eixo z. Agora, lembre-se, quando o s é igual a zero, isso significa que não estamos girando em torno desse círculo. Isso significa que nós estamos aqui. É importante observar que quando temos s igual a zero, estaremos a uma distância b, que é aqui, e mais uma distância, que corresponde ao raio do outro círculo. Então estaremos exatamente aqui. Aí, vamos variar t. À medida que formos variando o t, vamos girar ao redor do eixo z, que observamos aqui através de uma visão superior. Então essa linha aqui em nosso domínio “st”, por assim dizer, quando fizermos o mapeamento ou a parametrização, ela vai corresponder à curva que é essencialmente a borda externa do nosso toroide. Se essa é a visão superior do toroide, teremos, aqui, a borda exterior dela, então, vamos fazer a borda externa aqui. Para isso, mantemos s em zero radiano e aumentamos o t. Eu estou desenhando os domínios positivos e negativos desses eixos para que consigamos visualizar melhor. Aqui, temos t igual a zero, aqui, temos t igual a π sobre 2, aqui, temos t igual a π, depois, temos t igual a 3π sobre 2, e, por último, depois de percorrer todo o caminho, temos 2π. Essa linha corresponde a essa linha, girando ao redor do eixo z. Mantendo o s constante em zero e variando o t. Agora, vamos fazer de outro ponto de vista. Vamos dizer que o s está em π. Lembre-se, quando o s está em π, circulamos exatamente 180 graus ao redor do círculo, em torno de cada um desses círculos, então, nós estamos bem aqui. Agora, vamos manter o s constante em π e girar ao redor para formar a nossa rosquinha. Aqui, vamos formar o interior do nosso donut. Vamos, então, manter o s em π e vamos pegar o ponto t em zero. Para encontrar esse ponto, vamos no centro do círculo, e, aí, diminuímos uma distância a, que é o raio do círculo. Vamos estar bem aqui. À medida que seguramos o s em π e aumentamos o t, vamos obter o interior da nossa rosca, do nosso toroide. Com isso, vamos ter algo mais ou menos assim. Aí, podemos fazer isso várias vezes, podemos fazer, por exemplo, mantendo o s igual a π sobre 2. Quando temos s sendo igual a π sobre 2, estaremos exatamente em 90 graus, ok? Aí, o que obtemos quando mantemos o π sobre 2 constante e alteramos o t? Estaremos essencialmente traçando o topo do toroide, fazendo o desenho aqui na seção transversal, estaremos aqui na parte superior dessa rosca. E aí, vamos começar bem aqui. Então, quando o s é π sobre 2 e variamos o t, o que vai acontecer? Teremos a parte superior do círculo aqui, aqui, aqui e aqui. Agora, basta ligar os pontos. Com isso, teremos algo mais ou menos assim. Esse é o topo do nosso toroide. Agora podemos fazer a parte inferior também. Apenas para deixar mais claro, para fazer a parte inferior da rosca, o fundo do toroide, precisamos manter o s constante em 3π sobre 4, e, aí, variar o t. Com isso, vamos obter o fundo do toroide. Então, vamos desenhar isso aqui. Você não seria capaz de ver tudo isso se eu não tivesse feito essa figura transparente. Além disso, eu sei que essa figura está um pouco confusa, mas eu acredito que você conseguiu ter uma ideia sobre isso. Quando o s for 2π, estaremos novamente de volta ao exterior do toroide. Enfim, isso é o que acontece quando temos o s constante em certo de valores, e aí variarmos o t. Agora, vamos fazer o contrário. O que acontece se mantivermos o t constante em certos valores e variarmos o s? Vamos manter o t constante aqui em zero. Quando o t está em zero, não teremos percorrido todo o toroide. Nesse caso, estaremos no plano z,y. Com o t igual a zero, nós vamos variar o s indo de zero a 2π. Sendo assim, inicialmente estaremos em s igual a zero, que é esse ponto aqui. Depois, vamos para s igual a π sobre 2, que é esse ponto aqui. Depois, vamos para s igual a π, que é esse ponto. Em seguida, vamos para s igual a 3π sobre 2, que é esse ponto. Por último, vamos para 2π, percorrendo todo o caminho e voltando ao ponto inicial. Portanto, essa linha corresponde a esse círculo. Podemos continuar fazendo isso, então, vamos manter aqui o t constante em π sobre 2. Sendo assim, agora estaremos aqui, e, agora, quando variarmos o s, o s vai começar aqui, vai circular desse jeito aqui. Assim, essa linha corresponde ao círculo. Podemos continuar fazendo isso aqui, quando o t é igual a π, e aí variarmos o s entre zero e 2π, vamos percorrer todo esse caminho aqui nesse círculo. Agora, vamos para t igual a 3π sobre 4. Vamos manter esse t constante, e aí vamos variar o s de zero 2π. Começando em s igual a zero e aumentando, vamos percorrer ao redor desse círculo. Por último, vamos movimentar o t até 2π. Com isso, estaremos de volta ao início. Eu espero que você esteja vendo um sentido aqui agora para essa parametrização. Eu não fiz nenhuma matemática ainda. Eu realmente não mostrei como representar matematicamente essa parametrização através de uma função de valor vetorial, mas eu espero que você esteja vendo um sentido do que significa parametrizar por dois valores. E, só para ter uma ideia um pouco melhor, as áreas aqui em nosso plano st vão formar uma superfície, em que no r3 esse pequeno quadrado aqui vai delimitar uma superfície do toroide. Para deixar bem clara a minha representação, nós obtemos esse quadrado quando variamos o nosso t entre zero e π sobre 2, e o nosso s entre zero e π sobre 2 também. Sendo assim, esse quadrado representa essa superfície do nosso toroide. Se você estiver olhando de cima, teremos essa região aqui. Como eu disse, eu ainda não mostrei nada disso matematicamente, mas o que fizemos aqui foi realizar uma transformação desses parâmetros aqui para essa parte do toroide. Eu acho que fiz o máximo a ser feito aqui em relação à visualização. Em outro vídeo, eu mostro como realmente podemos realizar a parametrização com esses dois parâmetros. Nós podemos fazer isso variando o nosso t e depois variando o nosso s. Aí, se pegarmos todas as combinações de s e t, teremos todos os pontos ao longo da superfície desse toroide. Assim, podemos utilizar esses parâmetros e seus intervalos para transformar em uma função vetorial que indica a posição de cada ponto da superfície desse toroide. Eu espero que você tenha compreendido tudo isso que vimos até aqui e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!