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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 10: Preliminares para integrais de superfícieDerivadas parciais de funções vetoriais
Derivadas parciais de funções vetoriais. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos conversar
sobre a derivada parcial de uma função com valor vetorial. Para isso, vamos ter aqui uma
função vetorial r(s, t) sendo igual a "x", que vai ser uma função
de (s, t) vezes o vetor unitário î, mais y(s, t) vezes o vetor
unitário de "y", ou seja, j^, mais z(s, t) vezes o vetor unitário
de "z", que neste caso é o k^. Dado que temos essa função vetorial,
vamos definir, ou vamos pensar sobre o que significa ter a derivada
parcial dessa função vetorial em relação a um dos parâmetros:
"s" ou "t". Eu acho que vai ser bastante natural,
nada completamente bizarro aqui. A gente já fez derivadas parciais
de funções não vetoriais antes. Basta variarmos uma das variáveis, ou seja, levarmos em consideração
apenas uma variável, e mantermos a outra
como uma constante. Nós vamos fazer exatamente
a mesma coisa aqui. A gente também já aprendeu sobre
as derivadas regulares da função vetorial. O caminho que usamos foi basicamente calcular a derivada normal
de cada um dos termos. Vamos fazer a mesma coisa aqui,
só que com uma derivada parcial. Enfim, feitos esses comentários, vamos definir a derivada parcial
de "r" em relação a "s". Quando eu faço isso, eu vario "s"
e mantenho o "t" sendo uma constante. Sendo assim, essa derivada parcial
em relação a "s" é igual ao limite de Δs
tendendo a zero de "r" de: s + Δs, já que estamos variando o "s", isso vírgula "t". Nós estamos mantendo o "t", ou seja, ele é tido como
uma constante aqui. Isso menos r(s, t),
tudo isso sobre Δs. Agora, fazendo um pouco de álgebra, sabemos que r(s + Δs, t)
é a mesma coisa que x(s + Δs, t) i^, mais y(s + Δs, t) j^, mais z(s + Δs, t) k^, tudo isso menos este r(s, t). Se você fizer um pouco de álgebra aqui, isto vai ser igual ao limite,
com Δs tendendo a zero, e eu vou escrever pequeno porque
vou pegar um espaço bem grande aqui, de x(s + Δs, t), menos x(s, t), acho que você já sabe onde eu vou chegar. Eu sei que isto um pouco chato de fazer, mas é sempre bom fazer isso novamente. Isto aqui dividido por Δs, vezes i^. Mais "y" de, ah, o limite aqui, com Δs tendendo a zero, se aplica a todos os termos
que eu estou escrevendo aqui. Continuando:
temos y(s + Δs, t) menos y(s, t), tudo isso sobre
Δs, vezes j^. Finalmente, mais
z(s + Δs, t) menos z(s, t), tudo isso sobre Δs, vezes
o vetor unitário de "z", ou seja, k^. Tudo isto aqui sai desta definição. Se você literalmente colocar
apenas s + Δs no lugar de "s", você vai ver que tudo isto,
fazendo um pouco de álgebra, vai acabar chegando na mesma coisa. Bem, nós estamos tomando
aqui a derivada parcial de cada uma destas funções
em relação a "s". Mas uma coisa que é preciso observar aqui é que essas funções, este x(s, t), este y(s, t)
e este z(s, t), não são funções vetoriais. Teremos uma função vetorial
ao multiplicar esta função não vetorial com os vetores unitários. Multiplicamos x(s, t) com o i^, mais y(s, t) com o j^, mais z(s, t) com o k^. Mas, de forma independente,
estas funções não são funções vetoriais. Portanto, a gente tem aqui apenas
a definição regular de derivadas parciais, onde nós estamos pegando o limite com
Δs tendendo a zero em cada um destes casos. Enfim, isto é exatamente
a mesma coisa que fizemos antes. Sendo assim, temos aqui que isto
é igual à derivada parcial de "x" em relação a "s", vezes i^. mais a derivada parcial de "y"
em relação a "s" vezes j^, mais a derivada parcial de "z"
em relação a "s" vezes k^. Feito isso, é bom deixar claro aqui que este vídeo tem uma importância
muito grande porque ele vai nos dar algumas
boas ferramentas para os vídeos que teremos depois, sobre integrais de superfícies. Então, eu vou fazer uma coisa aqui
que é um pouco de pseudomatemática, principalmente porque
diferenciais são essas coisas que são muito difíceis
de definir com rigor, mas eu acho que vou conseguir te dar
uma intuição do que está acontecendo aqui. Para começar a fazer essa discussão,
eu vou colocar aqui que isto é igual a, você não vai ver isso em qualquer
livro de matemática, mas eu quero fazer isso porque acho
que vai te dar uma ideia um pouco melhor sobre o que está acontecendo quando a gente calcular
nossas integrais de superfícies. Sendo assim, eu vou dizer que
tudo isto aqui é igual a: r(s), mais o diferencial de "s", que é uma super pequena variação de "s", vírgula t, menos r(s, t), tudo isso sobre essa
mesma super pequena variação em "s". Por isso, eu espero que você
entenda, pelo menos, por que exibir as coisas desta forma. Quando eu determinar o limite
com Δs tendendo a zero, esses Δs vão ficar super pequenos. Na minha cabeça, eu imagino isso
sendo algo como um diferencial. Quando alguém escreve que a derivada
de "y" em relação a "x" é igual a 2, inclusive, já fizemos um pouco
de matemática com diferenciais antes, você pode imaginar multiplicando
ambos os lados por dx. Aí, com isso, você poderia dizer que
dy = 2 vezes dx. A gente já fez isso ao longo do cálculo. A maneira que eu imagino isso é que temos
uma super pequena variação em "y", uma infinitamente pequena variação em "y", e isso é igual a 2 vezes, você pode imaginar aqui uma
pequena variação em "x". Olhando dessa forma, temos aqui que
uma pequena variação em "y", apesar de ser super pequena, vai ser duas vezes
a pequena variação em "x". Eu acho que isso é uma boa maneira
de visualizar essas ideias. Sendo assim, de forma geral,
eu posso ver os diferenciais como super pequenas variações
em uma variável. Assim, com isso fora do caminho
e me explicando sobre o porquê de ter feito
essa discussão, vamos voltar a isto que
eu fiz aqui em cima. Eu só estou dizendo que,
como Δs tende a zero, eu posso imaginar o Δs como o ds. Eu fiz isso para que a gente possa
pegar estes dois lados da igualdade e multiplicá-los pelo diferencial ds. Ao fazer isso, o que teremos? Teremos, aqui do lado esquerdo, a parcial de "r" em relação a "s",
vezes ds. Isso é apenas um diferencial regular,
uma super pequena variação em "s". E isto é igual a, bem, se você multiplicar este lado
da equação com ds, o ds que está no denominador
vai desaparecer. Então, teremos aqui o r(s), mais a nossa super pequena
variação de "s", t, menos r(s, t). Agora eu vou guardar isto aqui
e deixar destacado, porque isso vai ser muito importante
para o próximo vídeo, já que nós vamos realmente pensar
sobre o que isso significa e como a gente vai conseguir visualizar
isto o sobre uma superfície. Ok, feito isso, como você pode observar,
temos um vetor aqui. E, nesse vetor, temos duas variáveis. Pela mesma lógica, podemos fazer
tudo o que fizemos aqui com o "s", só que agora com o "t". Então, podemos definir o parcial
de "r" em relação a "t". Isso acaba sendo igual ao limite,
com Δt tendendo a zero, de r(s, t + Δt) - r(s, t). Nesta situação, nós estamos
mantendo o "s", que você pode imaginar como
se fosse uma constante, e estamos variando o "t". Aí, colocamos tudo isso aqui sobre o Δt. Temos aqui que isto, ou seja, a parcial de "x" em relação a "t"
vezes i^, mais a parcial de "y" em relação a "t"
vezes j^, mais a parcial de "z" em relação a "t"
vezes k^, é exatamente a mesma coisa, apenas trocando o "s" pelo "t"
e vice-versa. E, por essa mesma lógica, teremos
o mesmo resultado, só que em termos de "t". Se a gente fizer a mesma coisa
que fizemos antes, teremos aqui a parcial
de "r" em relação a "t", vezes uma super pequena variação em "t", que é o nosso diferencial em "t", e isso acaba sendo igual a
r(s, t + Δt) - r(s, t). Eu também vou deixar isto aqui destacado, já que, no próximo vídeo, nós vamos realmente visualizar
o que estes dois resultados significam. Só que não podemos esquecer
que tudo o que fizemos aqui foi dizer que estamos derivando
esta função vetorial em relação a "s" ou em relação a "t". Aí eu fiz algumas abordagens
ou manipulações matemáticas para chegar a estes resultados, que serão muito importantes
para o que vamos fazer em relação a integrais de superfícies. Bem, eu espero você tenha compreendido
tudo direitinho que conversamos aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!