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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 7: Integrais triplasIntegrais triplas 1
Introdução à integral tripla. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, galera do Khan Academy! Estamos começando a nossa série de vídeos
sobre integrais triplas e, como sempre, nós iniciaremos a série
com uma introdução. Digamos que nós queremos calcular
o volume de um prisma retangular, prisma este que possui as seguintes
dimensões nas coordenadas "x", "y" e "z": "x" é maior ou igual a zero
e menor ou igual a 3, "y" é maior ou igual a zero e menor
ou igual a 4. Já para a última coordenada, "z", teremos que é maior ou igual a zero
e menor ou igual a 2. E claramente, neste exemplo,
nós poderíamos simplesmente utilizar geometria básica
para calcular esse volume, porém, como o intuito aqui
é estudar a integral tripla, nós veremos como a grandeza volume
se relaciona com este tipo de integral. Aqui temos três eixos do espaço:
"x", "y" e "z". E agora vamos esboçar este prisma
cujo volume e estamos tentando calcular. Teremos três unidades no eixo "x",
4 unidades no eixo "y" e, para nossa altura "z",
teremos duas unidades de distância. Então, aqui está o esboço do nosso prisma. E, como dito anteriormente, você poderia
dizer que o volume deste sólido é simplesmente "x" vezes "y", vezes "z",
que é 24 unidades de volume. Mas, novamente, aqui,
para o propósito da nossa explicação, nós pegaremos um volume infinitesimal
deste prisma, que é este pequeno prisma aqui,
que nós chamaremos de dv. E, de acordo com as coordenadas
que estamos utilizando, para o comprimento do prisma, teríamos dx,
para a largura, dy e, para a altura, dz. Portanto, temos aqui
que dv = dx vezes dy, vezes dz, não necessariamente nessa ordem,
já que é uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Agora que nós temos uma fórmula
para o volume infinitesimal, nós podemos realizar a soma
de todos esses pequenos volumes para encontrar o volume do sólido. E, para isso, utilizaremos as integrais,
já que é justamente esse o papel delas: somar infinitas vezes distâncias
ou grandezas infinitesimais. Então, seguindo a ordem xyz
que definimos aqui em cima, primeiro nós realizamos
essa soma infinita no eixo "x". Então, teremos uma integral definida
onde "x" varia de zero a 3 e continuamos este processo
com as demais variáveis. Então, teremos outra integral, desta vez
variando entre zero e 4, que é para "y" e, por último, a integral de dz,
que varia entre zero e 2. Só para lembrar, o que estamos integrando
aqui é 1 vezes dx, vezes dy, vezes dz. E, como vocês já sabem,
a integral de 1dx é simplesmente "x". E, como os limites inferiores
destas integrais são zero, nós podemos simplesmente
substituir o valor do limite superior. Então, teremos 3dydz. Agora o que nos resta é realizar as somas,
ou as integrais, das outras variáveis, da mesma forma que fizemos para "x". Então, teremos mais uma integral,
variando de zero a 4, de 3dy. E, novamente, trata-se da integral
de uma constante. Então, teremos 3 vezes "y"
e, substituindo "y" por 4, teremos 12. Então, por último, nós realizaremos
a integral de 12dz, que é, nada mais nada menos,
do que 12 vezes "z". E, substituindo "z" por 2,
que é o limite superior desta integral, teremos 24, que é justamente o valor
que descobrimos utilizando geometria básica. Realizado esse cálculo, nós podemos notar,
aqui no segundo passo da integral, que poderíamos ter facilmente definido
este volume aqui como uma integral dupla, fixando o valor de 3 para "x" e realizando
a integral dupla das duas outras coordenadas, como fizemos após este segundo passo. Porém, nem sempre teremos
valores constantes para "x". E o que a integral tripla
possibilita calcular é justamente casos onde teríamos,
por exemplo, uma superfície variável aqui no eixo
e não uma face de um prisma. Outra situação onde
a integral tripla nos serve é quando estamos tentando calcular
não o volume, mas a massa deste sólido, que possui densidade variável. Então, teríamos ρ ("ro"),
que é esta letra grega aqui, como uma função de xyz, que é
simplesmente "x" vezes "y", vezes "z". Então, para descobrirmos
a massa do nosso sólido infinitesimal, que chamaremos de dm, nós teríamos
que multiplicar a densidade xyz pelo dv, que, por sua vez, como já descobrimos
anteriormente, é dx vezes dy, vezes dz. Portanto, nós teríamos
que a massa infinitesimal deste prisma seria "x" vezes "y", vezes "z",
vezes dxdydyz, E é justamente este exemplo
que utilizaremos para entender melhor a utilidade
desse tipo de integral. Então, é isso, galera.
Até o próximo vídeo!