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Transcrição de vídeo

Oi e aí galera do que academia então estamos começando aqui a nossa série de vídeos sobre integrais triplas E como sempre nós iniciaremos a série com uma introdução Digamos que nós queremos calcular o volume de um prisma retangular Prisma e este que possui as seguintes dimensões nas coordenadas x y e z x é maior ou igual a zero e menor ou igual a três Y é maior ou igual a zero e menor ou igual a quatro já para a última coordenada Z teremos que é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2 e claramente neste cento nós poderíamos simplesmente utilizar geometria básica para calcular esse volume porém como intuito aqui é estudar integral tripla nós iremos ver como a grandeza volume se relaciona com este tipo de integral aqui temos três eixos do espaço x y e z e agora vamos esboçar este Prisma cujo volume e estamos tentando calcular teremos três unidades no eixo X 4 unidades no eixo Y e para nossa e teremos duas unidades de distância bom então aqui está o esboço do nosso Prisma e Como dito anteriormente você poderia dizer que o volume deste sólido é simplesmente x y x z que é 24 unidades de volume mas novamente aqui para o propósito da nossa explicação nós iremos pegar um volume infinitesimal deste Prisma que é este pequeno Prisma aqui que nós temos de dever e de acordo com as coordenadas que estamos utilizando para o comprimento do Prisma teríamos de X para a largura de Y e para a altura desse portanto temos aqui que dever é igual a dxdy xdz não necessariamente nessa ordem já que como se trata de uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto bom agora que nós temos uma fórmula para o nosso volume infinitesimal nós podemos realizar a soma de todos esses pequenos volumes para encontrar o volume do nosso sólido E para isso nós iremos utilizar e integrais Já que é justamente esse o papel delas né tomar infinitas vezes distâncias ou grandezas infinitas e mais então o seguindo a ordem xyz que definimos aqui em cima primeiro nós realizamos esta soma infinita no eixo X então teremos uma integral definida ou DX varia de 0 a 3 e continuamos este processo com as demais variáveis então teremos outra integral desta vez variando entre 0 e 4 que é para y e por último a integral de dizer que varia entre 0 e 2 e só para lembrar que estamos integrando aqui é um vezes dxdy dese e como vocês já sabem a integral d1dx é simplesmente x e como os limites inferiores dessas integrais aqui são 10 nós podemos simplesmente substituir o valor do nosso limite superior então teremos 3dyd Z agora o que nos resta é realizar a soma sou as integrais das outras variáveis da mesma forma que fizemos para X então teremos mais o grau variando de 0 a 4 de três de y e novamente trata-se da integral de uma constante então teremos 3 x y e substituindo Y por quatro teremos 12 então por último nós iremos realizar a integral de 12 dese que é nada mais nada menos do que 12 vezes e substituindo-os e por dois que é o limite superior aqui dessa integral teremos 24 que é justamente o valor que nós descobrimos utilizando geometria básica e realizado este cálculo nós podemos notar aqui no segundo passo da nossa integral que poderíamos ter facilmente definido este volume aqui como uma integral dupla fixando o valor de três para x e realizando a integral dupla das duas outras coordenadas como fizemos após este segundo passo aqui porém nem sempre teremos valores constante para x e o que é integral tripla possibilita calcular é justamente casos onde teríamos por exemplo uma superfície variável aqui no eixo e não uma Face de um prisma outra situação já integral tripla no Serve é quando estamos tentando e não o volume mas sim a massa deste sólido que possui densidade variável então tenhamos Hulk esta letra grega aqui como uma função de X Y Z que é simplesmente x y x z então para descobrirmos a massa do nosso sólido infinitesimal que chamaremos de DM nós teremos que multiplicar a densidade xyz pelo nosso dever que por sua vez como já descobrimos anteriormente é dxdy vezes dizer portanto nós teríamos que a massa infinitesimal deste Prisma que seria XY xz vezes dxdy dese e a Justamente esse exemplo que utilizaremos para entender melhor a utilidade deste tipo de integral Então é isso galera até o próximo vídeo E aí