Integrais triplas 1

RKA2MP - E aí, galera do Khan Academy! Estamos começando a nossa série de vídeos sobre integrais triplas e, como sempre, nós iniciaremos a série com uma introdução. Digamos que nós queremos calcular o volume de um prisma retangular, prisma este que possui as seguintes dimensões nas coordenadas "x", "y" e "z": "x" é maior ou igual a zero e menor ou igual a 3, "y" é maior ou igual a zero e menor ou igual a 4. Já para a última coordenada, "z", teremos que é maior ou igual a zero e menor ou igual a 2. E claramente, neste exemplo, nós poderíamos simplesmente utilizar geometria básica para calcular esse volume, porém, como o intuito aqui é estudar a integral tripla, nós veremos como a grandeza volume se relaciona com este tipo de integral. Aqui temos três eixos do espaço: "x", "y" e "z". E agora vamos esboçar este prisma cujo volume e estamos tentando calcular. Teremos três unidades no eixo "x", 4 unidades no eixo "y" e, para nossa altura "z", teremos duas unidades de distância. Então, aqui está o esboço do nosso prisma. E, como dito anteriormente, você poderia dizer que o volume deste sólido é simplesmente "x" vezes "y", vezes "z", que é 24 unidades de volume. Mas, novamente, aqui, para o propósito da nossa explicação, nós pegaremos um volume infinitesimal deste prisma, que é este pequeno prisma aqui, que nós chamaremos de dv. E, de acordo com as coordenadas que estamos utilizando, para o comprimento do prisma, teríamos dx, para a largura, dy e, para a altura, dz. Portanto, temos aqui que dv = dx vezes dy, vezes dz, não necessariamente nessa ordem, já que é uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. Agora que nós temos uma fórmula para o volume infinitesimal, nós podemos realizar a soma de todos esses pequenos volumes para encontrar o volume do sólido. E, para isso, utilizaremos as integrais, já que é justamente esse o papel delas: somar infinitas vezes distâncias ou grandezas infinitesimais. Então, seguindo a ordem xyz que definimos aqui em cima, primeiro nós realizamos essa soma infinita no eixo "x". Então, teremos uma integral definida onde "x" varia de zero a 3 e continuamos este processo com as demais variáveis. Então, teremos outra integral, desta vez variando entre zero e 4, que é para "y" e, por último, a integral de dz, que varia entre zero e 2. Só para lembrar, o que estamos integrando aqui é 1 vezes dx, vezes dy, vezes dz. E, como vocês já sabem, a integral de 1dx é simplesmente "x". E, como os limites inferiores destas integrais são zero, nós podemos simplesmente substituir o valor do limite superior. Então, teremos 3dydz. Agora o que nos resta é realizar as somas, ou as integrais, das outras variáveis, da mesma forma que fizemos para "x". Então, teremos mais uma integral, variando de zero a 4, de 3dy. E, novamente, trata-se da integral de uma constante. Então, teremos 3 vezes "y" e, substituindo "y" por 4, teremos 12. Então, por último, nós realizaremos a integral de 12dz, que é, nada mais nada menos, do que 12 vezes "z". E, substituindo "z" por 2, que é o limite superior desta integral, teremos 24, que é justamente o valor que descobrimos utilizando geometria básica. Realizado esse cálculo, nós podemos notar, aqui no segundo passo da integral, que poderíamos ter facilmente definido este volume aqui como uma integral dupla, fixando o valor de 3 para "x" e realizando a integral dupla das duas outras coordenadas, como fizemos após este segundo passo. Porém, nem sempre teremos valores constantes para "x". E o que a integral tripla possibilita calcular é justamente casos onde teríamos, por exemplo, uma superfície variável aqui no eixo e não uma face de um prisma. Outra situação onde a integral tripla nos serve é quando estamos tentando calcular não o volume, mas a massa deste sólido, que possui densidade variável. Então, teríamos ρ ("ro"), que é esta letra grega aqui, como uma função de xyz, que é simplesmente "x" vezes "y", vezes "z". Então, para descobrirmos a massa do nosso sólido infinitesimal, que chamaremos de dm, nós teríamos que multiplicar a densidade xyz pelo dv, que, por sua vez, como já descobrimos anteriormente, é dx vezes dy, vezes dz. Portanto, nós teríamos que a massa infinitesimal deste prisma seria "x" vezes "y", vezes "z", vezes dxdydyz, E é justamente este exemplo que utilizaremos para entender melhor a utilidade desse tipo de integral. Então, é isso, galera. Até o próximo vídeo!