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Integrais triplas 2

Usando uma integral tripla para encontrar a massa de um volume de densidade variável. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2MP - Fala, galera do Khan! Estamos no segundo vídeo da nossa série sobre integrais triplas e neste vídeo iremos finalizar o cálculo da massa de um prisma retangular, que começamos lá no vídeo passado. Até aqui, já calculamos o volume do sólido utilizando a integral tripla, relacionamos esse cálculo do volume também com a integral dupla e iniciamos o pensamento de como se daria a massa de um prisma retangular de densidade variável a partir, também, de uma integral tripla. E, ainda no último vídeo, definimos a densidade deste prisma como uma função de "x", "y" e "z", que é "x" vezes "y", vezes "z", e estabelecemos também que o infinitesimal dm, neste caso, é "x" vezes "y", vezes "z", vezes dxdydz, que nada mais é do que o nosso dv. Então, vamos aqui reescrever essa última proposição sobre o dm, que é igual a "x" vezes "y", vezes "z" e, desta vez, para provar que a ordem dos infinitesimais não importa, faremos dz primeiro, depois dy e, por último, dx. Respeitando os limites estabelecidos para cada eixo lá no vídeo passado, nós vamos integrar esta função densidade três vezes. Então, teremos a primeira integral variando de zero a 2 para "z", a segunda integral variando de zero a 4 para "y" e, por último, a integral de "x" variando de zero a 3. Então, primeiramente, temos a integral de xydz, que é "x" vezes "y", vezes z², dividido por 2, nos deixando apenas com a integral dupla de 2xydydx. Indo mais adiante, nós resolveremos agora a integral 2xydy, que é 2xy² dividido por 2 e, novamente, nós substituímos aqui diretamente o limite superior. Então, teremos 2 vezes "x", vezes 4², dividido por 2, que é 16x. Por fim, nos resta apenas a integral de 16xdx, que é 16x² dividido por 2. E, realizando de forma direta aqui a substituição de novo, nós teremos 16 vezes 3², dividido por 2, que nos resulta em 8 vezes 9. Então, temos aqui, de acordo como foi definida a densidade e a geometria do sólido, a massa do sólido, que é 72 unidades de massa. Nós realizamos isto através da integral tripla de ρ vezes dv. Você pode notar que o problema com as integrais triplas é que, se você possui uma figura um pouco mais complexa do que um prisma, ou uma grandeza definida por variáveis mais complexas, e não apenas "x" vezes "y", vezes "z", essa tripla integração não se dará de forma muito fácil. E o que faremos nos próximos vídeos é justamente tentar desenvolver integrais cujas funções ou limites são mais difíceis do que essas que nós fizemos nos últimos dois vídeos. Então, é isso, galera. Nós nos vemos aqui pela Khan!