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Transcrição de vídeo

No último vídeo, tínhamos este retângulo e usamos uma integral tripla para achar seu volume. Sei que provavelmente pensou: "eu poderia ter usado a minha geometria básica e multiplicado a largura pela altura e pela profundidade". Isso é verdade porque esta é uma função constante. Uma vez que integramos em relação a z, ficamos com uma integral dupla que é exatamente o que teria feito nos últimos vídeos quando aprendemos a calcular o volume embaixo de uma superfície. Mas fizemos uma mudança no final do vídeo. Dissemos: "você poderia ter calculado o volume deste domínio retangular de forma direta. Mas e se o nosso objetivo não fosse calcular o volume?" O nosso objetivo era calcular a massa deste volume e, ainda, dizer qual era o material -- se o volume era de um gás ou de um sólido -- a densidade não é constante. Agora, a massa fica --não sei-- mais interessante de calcular. E definimos uma função de densidade. Rho, que parece a letra p com a parte de baixo mais curva, nos dá a densidade em qualquer ponto. No final do vídeo dizemos: "O que é massa?". Massa é densidade vezes o volume. Você poderia ver de outro jeito. Densidade é o mesmo que massa dividido por volume. A massa ao redor de um ponto muito, muito pequeno, o qual chamamos de d massa, o diferencial da massa, será a densidade naquele ponto. Ou a densidade exatamente naquele ponto vezes o diferencial de volume ao redor daquele ponto vezes o volume deste pequeno cubo. Como vimos no último vídeo, se você está usando as coordenadas retangulares, este diferencial de volume poderia ser a distância em x vezes a distância em y vezes a distância em z. A densidade era a nossa função de densidade, definida por x, y e z, e queríamos calcular a massa deste volume. Digamos que as nossas coordenadas x, y e z -- os seus valores-- estão em metros e a densisade é em quilogramas por metros cúbicos. Nossa resposta será em quilogramas. E essas são unidades SI. Vamos calcular a massa deste volume com densidade variável. Temos a mesma integral aqui. O diferencial de massa será este valor. Vamos escrever isso. É x --quero garantir que não ficarei sem espaço-- É xyx vezes -- e vou integrar em relação a dz primeiro. -- Mas você pode alterar a ordem. Talvez faremos isso no próximo vídeo. Faremos dz primeiro, depois dy e depois dx. Mais uma vez, isto é a massa em qualquer diferencial de volume. Se integramos z primeiro, dissemos que z varia em que intervalo? Os valores de z varia de zero a dois. Y varia de zero a quatro. E x varia de zero a três. Como calculamos isso? Qual é a antiderivada -estamos integrando em relação a z- Qual é a antiderivada de xyz em relação a z? Vejamos. Isto é uma constante, então ficará xyz ao quadrado sobre dois. Certo? Sim, está certo. Vamos avaliar de dois até zero. Você obtém -- eu sei que ficarei sem espaço. Você obterá dois ao quadrado, que é quatro, divido por dois, que é dois. É dois xy menos zero. Quando você calcular isso, obteremos dois xy e agora faltam as outras duas integrais. Não escrevi as outras duas integrais. Talvez escreverei. Restam duas integrais. Restam o dy e o dx. Y vai de zero a quatro, e x vai de zero a três. Eu realmente vou ficar sem espaço. Agora, você calcular a antiderivada disso em relação a y. Qual é a antiderivada disso em relação a y? --Deixe-me apagar algumas coisas para não fazer uma confusão.-- Deram-me a boa sugestão de rolar, mas não rolei o suficiente. Acho que posso deletar isso aqui. Deletei um pouco a mais. Mas você sabe o que eu deletei. Ok, vamos calcular a antiderivada em relação a y. Vou começar aqui em cima onde tenho espaço. A antiderivada de dois xy em relação a y é y ao quadrado sobre dois; os dois se cancelam. Você obtém xy ao quadrado. E y vai de zero a quatro. Ainda temos que calcular a integral de fora. X vai de zero a três dx. Quando y é igual a quatro, você obtém 16 x. Quando y é zero, tudo isso é zero. Você integra 16 x de zero a três dx. Isso é igual a que? Oito x ao quadrado. Você avalia de zero a três. Quando é três, oito vezes nove é 72. E oito vezes zero é zero. A massa da nossa figura -- o volume que calculamos a última vez foi 24 metros cúbicos.-- Eu apaguei, mas se você viu o último vídeo, isso foi o que aprendemos. Mas a sua massa é 72 quilogramas. Fizemos isso integrando esta função de densidade de três varáveis -- esta função de três variáveis. Ou em três dimensões você pode ver isso como um campo escalar, certo? Em qualquer ponto há um valor, mas não uma direção. E esse valor é uma densidade. Mas nós integramos o campo escalar deste volume. Esse é a habilidade que ganhamos com a integral tripla. No próximo vídeo mostrarei como montar integrais triplas mais complicadas. A grande dificuldade com integrais triplas é -- acho que seu professor fará isso várias vezes-- quando calcular integrais triplas, a menos que você tenha uma figura simples como essa, o cálculo-- se você quisesse analiticamente avaliar uma integral tripla com limites de integração mais complicados, ou mais complicadas que uma função de densidade-- A integral fica complicada. Geralmente é muito difícil ou muito demorado para avaliá-la analiticamente usando os métodos de cálculo tradicionais. Verá que em muitas provas de cálculo, quando começam a fazer a integral tripla, apenas pedem para você montá-la. Ele acreditam que você fez tantas integrais triplas que você é capaz de calcular a antiderivada. Às vezes, se eles quiserem te dar algo mais complicado, dirão para trocar a ordem. Esta é a integral com a qual estamos lidando, em relação a z, e a x, e a y. Queremos que reescreva a integral quando muda a ordem. Faremos isso no próximo vídeo. Te vejo mais tarde. [Legendado por: Pilar Dib] [Revisado por: Tatiana F. D'Addio]