Integrais triplas 3

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos ter uma integral tripla, mas em vez de calculá-la, eu vou determinar. E de forma parecida com o processo que você talvez já tenha visto antes em nossas aulas, vamos descobrir a massa com uma função de densidade. E o que eu, principalmente, quero nesta aula, é mostrar para você como definir as fronteiras em situações que a figura é um pouco mais complicada. E caso dê tempo, e eu espero que dê, vamos tentar fazer isso a partir do ponto em que mudamos a ordem de integração. Vamos dizer que eu tenho uma superfície que é 2x + 3z + y, que é igual a 6. Ao desenhar a superfície, vamos ter o eixo "x", o eixo "z" e o eixo "y". E, nesta situação, nos importamos com a superfície em sentido do octante positivo, porque em casos que lidamos com três dimensões, em vez de termos 4 quadrantes, temos 8 octantes. E queremos que o octante esteja onde todo o "x", "y" e "z" seja positivo, que aqui seria neste desenho que eu fiz. Porém, para ficar mais claro, primeiro eu vou desenhar o ponto em que a intersecção de "x" ocorre e "y" e "z" são zero. A intersecção "x" é 2x = 6. E isso significa que x = 3. Então, 1, 2 e 3. Agora, para a intersecção "y" no ponto em que ela ocorre, em que "x" e "z" são zero, "y" vai ser igual a 6. Então, vamos ter 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Para o "z", o ponto em que ocorre a intersecção em que "x" e "y" são zero, o eixo "z" vai ser igual a 1/2, o que daria nesta posição. Agora, a figura que temos vai ter uma superfície inclinada. E como sabemos ela é definida pela função que temos acima. Mas, agora, vamos considerar também o volume e isso vai deixar tudo um pouco mais complicado. Então, nesta situação, nos perguntamos o volume entre a superfície e o plano (x, y). Vamos dizer que o volume acima desta superfície e a superfície "z" são iguais a 2. E ao desenhar isso, vamos ter esta linha que vai ao longo do plano (z, y). E no outro canto, uma linha que vai ao longo do eixo (z, x). Vamos ter, também, um ponto que conecta estes dois. Temos ciência que z = 2. E o volume que queremos saber é aquele entre o plano de cima e o plano que está inclinado. E para ficar mais fácil a visualização, que é a parte difícil da coisa, visualize que temos paredes tanto na esquerda quanto na direita. E o centro, que é o plano que eu escrevi em cima, é a parte de baixo. E para ficar mais fácil a visualização, vamos usar uma integral tripla. E, para isso, diremos que a densidade deste volume, que é relevante para nós, é uma função de "x", "y" e "z" que é igual a x², "y" e "z". Eu quero deixar bem claro que, nesta parte, o importante não são as letras, já que poderia ser qualquer coisa. O importante aqui é entender a lógica desta situação. E para isso, eu quero que você visualize um pequeno cubo no volume que é importante. Podemos considerar o "dV" como o volume do cubo, o volume diferencial. E isto é igual a "dy" que é uma lateral do cubo, vezes "dx" que é a outra lateral, vezes "dz". E caso queiramos saber a massa deste cubo, a única coisa que é necessária aqui é calcular a função de densidade, dado o ponto vezes este "dV" que fizemos. E podemos chamar essa massa diferencial de "dM", que é igual à multiplicação das partes de cima. Ou seja, x²yz vezes dy dx dz. Normalmente, mudamos esta ordem conforme o que formos integrar primeiro. E, neste caso, vamos integrar primeiro em relação a "z". Por isso, vamos pegar o cubo e somar com todos os outros no eixo "z". Em resumo, vamos para cima e para baixo. Porém, isso gera uma dúvida extremamente importante. Qual seria a fronteira inferior? E a resposta disso é que conforme somamos estes cubos, eles se transformam em uma coluna. E o que é a parte de baixo desta coluna? A nossa superfície está descrita em cima. Isso significa que se queremos a fronteira inferior definida em termos de "z", só precisamos resolver a parte de cima em termos de "z". E isso significa que vamos ter 3z = 6 - 2x - y. Depois z = 2 - 2/3x - y/3. E esta última parte é igual à expressão da superfície que temos na esquerda superior. Mas, na situação em que nos referimos a "z", é desta forma que o definimos. Agora, para a nossa fronteira inferior, ela vai ser a superfície z = 2 - 2/3x - y/3. Para a parte de cima, a superfície de cima, temos z = 2. E o volume desta coluna vai ser a função de densidade x²yz vezes o volume diferencial. E como integramos em relação a "z" primeiro, eu vou escrever "dz" aqui e depois em relação a "x". Na coluna que vimos antes, ao integrar em relação a "z", conseguimos o volume de cada uma das colunas, onde a fronteira de cima é um plano. E com a informação de que a fronteira de cima é o plano, e a fronteira inferior é a superfície, vamos agora integrar em relação a "x". E, por isso, vamos somar todos os "dx". E a fronteira inferior para "x" é definida por todo o caminho até "x". O volume em questão é para seguir o todo o caminho até que "x" seja igual a zero. Se você ficou confuso com isso, o que não é realmente difícil nas temáticas tridimensionais, lembre que você já integrou em relação a "z" as duas variáveis. Para ficar mais fácil, eu fiz esta projeção de nosso volume no plano (x, y), isso meio que simplifica as coisas. Temos o ponto em que x = 3, então 1, 2 e 3. Depois y = 6, então 1, 2, 3, 4, 5 e 6. E a partir desta visão, um jeito de pensar no assunto é que já integramos ao longo do eixo "z". Porém, na visão do plano (x, y), que temos aqui, as colunas vão ficar de um jeito diferente. Não temos a direção "z". Mas a base de cada uma das colunas vai ser "dx", depois "dy" para cima e para baixo. E, se lembramos bem, decidimos integrar em relação a "x", então, vamos somar cada uma destas colunas da direção "x". E caso em uma situação dessas surja o questionamento de qual é a fronteira inferior na direção "x", nesta situação, vai ser zero. Caso tivéssemos uma linha, seria essa linha como função de "y". Para a fronteira superior temos a nossa notação, porém, precisamos ver em termos de "x", o que significa que colocaríamos "x" igual a zero. E agora temos 2x + y = 6. Queremos uma relação em termos de "x", então, vamos ter 2x = 6 - y. Por fim, x = 3 - y/2. Agora, finalmente, vamos integrar em relação a "y". E pode ficar tranquilo que é bem fácil. Ao usar mais uma vez as colunas, temos noção que a fronteira inferior é igual a zero. E na parte de cima é igual a 6. Agora, é só uma questão de mover as coisas por aqui que conseguiríamos, por fim, resolver a questão. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!