Integrais triplas 3

o Olá pessoal tudo bem nessa aula vamos ter uma integral tripla mas ao invés de calcular ela e o voo determinar e de forma parecida com o processo que você talvez já tenha visto antes em nossas aulas vamos descobrir a massa com uma função de densidade e o que o principalmente quero nessa aula é mostrar para você como definir as fronteiras em situações que a figura é um pouco mais complicada e caso de tempo e eu espero que dê Vamos tentar fazer isso a partir do ponto em que mudamos a ordem de integração vamos dizer que eu tenho uma superfície que é 2 x + 3 e x + y que é igual a 6 ao desenhar a superfície vamos ter o eixo X ou eixo Z eo eixo Y e nessa situação nos importamos com a superfície em sentido do optante Positivo porque em casos que lidamos com três dimensões ao invés de temos quatro quadrantes temos oito octantes e queremos que o optante esteja aonde e o x y z seja positivo que aqui seria nesse desenho que eu fiz Porém para ficar mais claro primeiro eu vou desenhar o ponto em que a intersecção de X ocorre e y e z são zero a intersecção X é 2x = 6 e isso significa que x = 3 então um dois e três agora para intersecção Y no ponto em que ela ocorre e y e z são 0 Y vai ser igual a 6 Então vamos ser 1 2 3 4 5 e 6 para o z o ponto em que ocorre a intersecção em que x e y são 10 o eixo Z vai ser igual a 1 / 2 O que daria nessa posição agora a figura que temos vai ter uma superfície inclinada e como sabemos ela é definida pela função que temos em cima mas agora Vamos considerar também o volume e isso vai deixar tudo um pouquinho mais complicado então nessa situação nos perguntamos o volume entre a superfície e o plano XY vamo o volume acima dessa superfície e é superfícies é são iguais a 2 e ela desenhar isso vamos ter essa linha que vai ao longo do plano Z Y e no outro canto uma linha que vai ao longo do eixo z x vamos ter também um ponto que conecta esses dois temos ciência quiser = 2 e o volume que queremos saber é aquele entre em cima e o plano que está internado e para ficar mais fácil a visualização que a parte difícil da coisa visualize que temos paredes tanto na esquerda quanto na direita e o centro que é o plano que eu escrevi em cima é a parte de baixo e para ficar mais fácil a visualização vamos usar uma integral tripla E para isso diremos que a densidade desse volume e é relevante para nós é uma função de x y e z que é igual a x ao quadrado Y e z eu quero deixar bem claro que nessa parte importante não são as letras já que poderia ser qualquer coisa O importante aqui é entender a lógica dessa situação e e eu quero que você visualiza um pequeno cubo no volume que é importante podemos considerar o dever como o volume do cubo o volume diferencial e isso é igual a de y que ha na lateral do cubo vezes de x que é outra lateral vezes dizer e caso queira nos saber a massa desse cubo A única coisa que é necessário aqui é calcular a função de densidade dado o ponto vezes esse dever que fizemos e podemos chamar essa massa diferencial ddm que é igual a multiplicação das partes de cima ou seja x ao quadrado Y Z xdy de xbz e normalmente mudamos Essa ordem conforme o que formos integrado primeiro e neste caso vamos integrar o primeiro em relação às por isso vamos pegar o cubo e somar com todos os outros no eixo Z em resumo vamos para cima e para baixo Porém isso gera uma dúvida extremamente importante qual seria a fronteira inferior e a resposta disso é que conforme sua mão e eles se transformam numa coluna e o que é a parte de baixo dessa coluna A nossa superfície está descrita em cima Isso significa que se queremos a fronteira inferior definida em termos dizer só precisamos resolver a parte de cima um termo dizer que significa que vamos ter três e igual a 6 - 2x menos y depois Z = 2 - 2 sobre três x menos y sobre três e essa última parte é igual a expressão da superfície que temos a esquerda superior mas na situação em que nos referimos a z é dessa forma que definimos ele agora para nossa Fronteira inferior ela vai ser a superfície Z = 2 - 2 sobre três x menos y sobre três para a parte de cima a superfície de cima temos Z = 2 e volume dessa coluna vai ser a função de densidade x ao quadrado Y Z vezes o volume diferencial e como integramos em relação às é primeiro eu vou escrever dizer aqui e depois em relação a x na coluna que vimos handsaw integrado em relação a z conseguimos o volume de cada uma das colunas Aonde a fronteira de cima é um plano e com a informação de que a fronteira de cima é o plano EA Fronteira inferior é a superfície vamos agora integrar em relação a x e por isso vamos somar todos os DX EA Fronteira inferior para X é definida por todo o caminho até x o volume em questão é para seguir o todo o caminho até que x seja igual a zero se você ficou confuso com isso o que não é realmente difícil nas temáticas tridimensionais lembre que você já integrou em relação a z as duas variáveis para ficar mais fácil eu fiz essa Projeção de nosso volume no plano XY isso meio que simplifica as coisas temos o ponto em que x = 3 então um dois e três depois Y = 6 então 1 2 3 4 5 e 6 e a partir dessa visão um jeito de pensar no assunto é que já integramos ao longo do eixo Z porém a revisão do plano XY e temos aqui as colunas não ficaram de um jeito diferente não temos na direção Z mas a base de cada uma das colunas vai ser DX depois de Y para cima e para baixo e se lembramos bem decidimos integrar em relação a x Então vamos tomar cada uma dessas Colunas da direção x e caso numa situação dessas surja o questionamento de qual a fronteira inferior direção x nessa situação vai ser zero caso tivéssemos uma linha seria essa linha como função de Y para Fronteira superiores temos a nossa notação porém precisamos ver em termos de X O que significa que colocaríamos x igual a zero e agora temos 2x + Y = 6 queremos uma relação em termos de X então vamos ter 2x = 6 - Y por Fin x = 3 - y sobre 2 agora finalmente vamos integrar em relação a y e pode ficar tranquilo que é bem fácil a usar mais uma vez as colunas a função que a fronteira inferior é igual a zero e na parte de cima é igual a 6 agora é só uma questão de mover as coisas por aqui conseguiríamos por fim resolver a questão e é isso Pessoal espero que tenham aprendido e até a próxima