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Transcrição de vídeo

Vamos agora fazer outra integral tripla, e nesta eu não vou de fato estimar a tripla integral. Mas o que nós faremos é que iremos definir a tripla integral. Nós estamos indo para algo similar que nós fizemos no segundo vídeo onde nós descobrimos a massa usando a função da densidade. Mas o que eu quero fazer neste vídeo é mostrar como ajustar os limites quando a figura é um pouco mais complicada. E se tivermos tempo iremos tentar fazer onde nós mudamos a ordem da integração. Vamos dizer que eu tenho uma superfície, deixe-me fazer algo 2x + 3z + y = 6. Vamos desenhar essa superfície. Se parece algo como isso. Este aqui será meu eixo x. Este aqui será o meu eixo z. este aqui será meu eixo y. Desenhe-os. x,y e z. E eu considero a superfície em uma espécie de octante positivo, certo, porque quando você lida com três dimensões nós temos, ao invés de quatro quadrantes nós temos oito quadrantes. Mas nós queremos o octante onde todo x, y, z é positivo, que é o que eu desenhei aqui. Então vamos ver, deixe-me desenhar algo, qual é o segmento de x? Quando y e z são 0, então nós escrevemos aqui, este é o segmento de x. 2x é igual a 6, então x é igual a 3. Então, 1, 2, 3. Então este é o segmento de x. O segmento de y quando x e z são 0 estão no eixo y, então y será igual a 6. Então nós temos, 1, 2, 3, 4, 5, 6 é o segmento de y. Então finalmente o segmento z quando x e y são 0 Nós estamos no eixo z. 3z será igual a 6. Então z é igual a 1, 2. Então a figura que eu me importo irá parecer com algo como isto. --será esta superfície inclinada. Irá se parecer com algo como isso. Neste octante positivo. Então esta é a superfície definida por essa função. Vamos dizer que eu me importo com o volume, e que eu vou tornar isso um pouco mais complicado. Nós poderíamos dizer oh, bem isto era o volume entre a superfície e o plano xy. Mas eu vou tornar isso um pouco mais complicado. Vamos dizer que o volume acima desta superfície, e a superfície z é igual a 2. Então o volume que nós procuramos irá se parecer com algo como isso. Vamos ver se eu posso desenhar isto. Se nós subirmos 2 aqui -- deixe-me desenhar o topo em uma diferente co, vamos desenhar o topo em verde. Então isto está junto ao plano zy. E então a outra ponta irá se parecer com algo como isso. Vamos ter certeza de que eu posso desenhar isto -- esta é a parte mais difícil. Vamos subir 2 aqui, e isto estará junto ao plano zx. e nós teríamos outra linha conectando estes dois. Então este triângulo verde, isto é parte plano z é igual a 2. O volume que nós nos importamos é o volume entre este topo do plano verde e este plano intitulado definido por 2x + 3z 2x + 3z + y = 6 Então esta área aqui no meio. Vamos ver se eu posso fazer isto um pouco mais claro. Porque a visualização, como eu digo, geralmente é a parte mais difícil. Então nós temos uma espécie de muro frontal aqui, e então o muro de trás seria aqui e este muro de trás aqui, e então teria um outro muro aqui. E então a base disso, a base eu farei em magenta será este plano. Então a base é aquele plano --Aquela é a parte do fundo.. De qualquer forma, eu não sei se eu deveria ter feito essa bagunça porque nós teremos que desenhar dv's e d volumes nisso. De qualquer forma vamos tentar nosso melhor. Então, se nós estamos tentando ter o volume - e atualmente, já que nós estamos fazendo uma tripla integral e queremos mostrar que temos que fazer a tripla integral, em vez de fazer o volume, vamos fazer a massa de algo de densidade variável. então vamos dizer que nos importamos com a densidade neste volume, a função densidade é a função de x, y e z. Pode ser qualquer coisa. Não é o objetivo do que eu estou tentando ensinar aqui. Mas eu vou somente definir algo. Vamos dizer que x ao quadrado yz Nosso foco é realmente só preparar as integrais. Então a primeira coisa que gosto de fazer é visualizar -- o que nós vamos fazer é preparar um pequeno cubo no volume sobre consideração. Então se eu tenho -- deixe-me fazer com uma cor mais escura para que você possa ver -- então nós temos um cubo -- talvez eu faça em marrom, não é tão escuro mas é diferente o suficiente das outras cores. Então se eu tenho um pequeno cubo aqui no volume sobre consideração, este é um pequeno cube -- considere isto como dV (differential volume = volume diferencial) O volume desde cubo é como um volume diferencial. E isto é igual a dx -- não, desculpe, isto é dy. Deixe-me fazer isto em amarelo, ou verde ou algo melhor. Então dy, que é este. dy vezes dx, dx vezes dz. Este é o volume daquele pequenino cubo. E se nós quiséssemos saber a massa daquele cubo nós iriíamos multiplicar a função densidade naquele ponto, vezes este dv. Então a massa, você poderia chamar isso de -- não sei, dm. A massa diferencial será igual a isso vezes isso. Então x ao quadrado yz vezes isto. dy, dx, e dz. E nós normalmente trocamos esta ordem dependendo do que nós estamos integrando em respeito ao primeiro então nós não ficamos confusos. Então vamos tentar fazer isso. Vamos tentar preparar esta integral. Vamos fazer isso tradicionalmente. Algumas das últimas de tripla integrais que nós fizemos nós integramos em respeito ao z primeiro. Então vamos fazer aquilo. Então nós vamos integrar com respeito ao z primeiro. Então nós vamos pegar este cubi e iremos somar todos os cubos no eixo z. Então, indo cima e baixo primeiro, certo? Então se nós fazemos isso, qual é o limite do fundo? Então quando nós somamos cima cima e baixo, estes cubos vão se tornar em colunas, certo? Então qual é o fundo da coluna, o limite do fundo? Qual é a superfície? É esta superfície definida bem aqui. Então, se nós queremos o limite do fundo definidos em temros de z, nós somente temos que solucionar isto em termos de z. Então vamos subtrair. Então o que conseguimos. E queremos isso definido em termos de z, nós temos 3z é igual a 6 menos 2x menos y. Ou z é igual a 2 menos 2 terços x menos y sobre 3. Isto é a mesma coisa que aquilo. Quando estamos falando sobre z, explicitamente definindo um z, é dessa maneira que conseguimos isso, manipulado algebricamente. Então o limite do fundo - e você pode visualizar isso, certo? O fundo dessas colunas vão para cima e para baixo. Nós vamos adicionar todas as colunas nas direções de cima e baixo, certo? Você pode imaginar somando-as. O limite do fundo será esta superfície. z é igual a 2 menos 2 terços x menos y sobre 3. E então qual é o limite da parte de cima? Bem, o topo dessa coluna será este plano verde, e o que nós dissemos que o plano verde era? Era z igual a 2. Este é o plano, esta superfície bem aqui. z é igual a 2. E, é claro, qual o volume daquela coluna? Bem, será a função densidade, x ao quadrado yz vezes o volume diferencial, mas nós estamos integrando em respeito ao z primeiro. Deixe-me escrever dz ali. Não sei, vamos dizer que nós queremos integrar em respeito a -- Não sei, nós queremos integrar em respeito a x em seguida. Em alguns dos vídeos atrás, eu integrei em respeito a y próximo. então vamos fazer com x apenas para mostrar que isto realmente não importa. Então nós vamos integrar em respeito a x. Então, agora nós temos estas colunas, certo? Quando integramos em respeito a z, nós temos o volume de cada uma dessas colunas onde a fronteira de cima é aquele plano. Vamos ver se eu posso desenhar decentemente. O limite de cima é aquele plano. O limite do fundo é aquela superfície. Agora nós queremos integrar em respeito a x. Então nós vamos adicionar todos desses dx's. Então qual é o limite do fundo para os x's? Bem, esta superfície é definida por todo o caminho para --o volume sobre questão é definido por todo caminho até que x é igual a 0. e se nós ficamos confusos, e não é muito difícil em ficarmos confusos quando quando você está imaginando estas coisas tri-dimensionais, diga "Quer saber de uma coisa?", nós já integramos em respeito a z. Estas duas variáveis que eu tenho sobrando são x e y. Deixe-me desenhar uma projeção de nosso volume sobre o plano xy, e como aquilo se parece? Então eu farei isso. Porque aquilo na verdade ajuda a simplificar as coisas. Então se nós giramos isto, se nós pegamos este y e giramos bem assim, e x bem assim, nós vamos estar num tipo de jeito tradicional que nós aprendemos quando aprendemos álgebra pela primeira vez. O eixo xy. Então isto é x, isto é y. E este ponto é o que? Ou este ponto? O que é aquilo? Aquilo é x = 3. Então é , 1, 2, 3. Isto é x igual a 3. E este ponto bem aqui é y = 6. Então 1, 2, 3, 4, 5, 6. Então no eixo xy, como um setor -- você pode ver que isto dessa maneira -- se parece bem como isto. Então uma maneira de pensar sobre isso é que nós descobrimos se estas colunas -- nós integramos cima/baixo e sobre o eixo z. Mas quando você observa olhando diretamente para baixo disto olhando no plano xy, cada uma de nossas colunas vão se parecer se parecer com isto, onde as colunas vão pular da sua tela na direção de z. Mas a base de cada coluna irá para dx assim, e então dy cima e baixo, certo? Então nós decidimos integrar em respeito a x próximo. Então nós vamos adicionar cada uma daquelas colunas na direção x, em uma direção horizontal. Então a questão foi "qual é o limite do fundo?" Qual é o limite mais baixo na direção de x? Bem, é x igual a 0. Se tivesse uma linha aqui, então seria aquela linha provavelmente como uma função de y, ou definitivamente como uma função de y. Então nosso limite do fundo aqui é x igual a 0. Qual o limite do topo? Eu percebi que já estou pressionando... Bem, nosso limite do topo é esta relação, mas isto tem que estar em termos de x, certo? Então qual é essa relação? Então, você poderia ver isso como "Bem, se z é igual a 0 então qual é esta linha? Qual é esta linha bem aqui? Então z é igual a 0. Nós temos 2x + y = 6 Nós queremos uma relação em termos de x. Então nós temos 2x = 6 -y onde x é igual a 3 menos y sobre 2. E então finalmente nós vamos integrar em respeito a y. E esta é a parte fácil. Então nós integramos cima e baixo para ter uma coluna. Estas são as bases da coluna, então integramos na direção de x. Então nós só temos que ir cima e baixo em respeito a y, ou em plano xy em respeito a y. Então qual é o limite do fundo de y? Bem, é zero. y é igual a zero. e o topo limite é y = 6 E aqui nós temos. Nós preparamos a integral e agora é só uma questão de manipular isso mecanicamente. Mas meu tempo acabou e eu não quero este vídeo ser recusado. Então eu vou deixá-lo aqui. Vejo você no próximo vídeo.