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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 7: Integrais triplas

Integrais triplas

Integrais triplas são o análogo de integrais duplas em três dimensões. Elas são uma ferramenta para somar infinitamente grandezas infinitesimais associadas a pontos em uma região tridimensional.

Conhecimentos prévios

Integrais duplas além do volume

Certifique-se de que possui um conhecimento sólido a respeito de integrais duplas antes de ler este texto. A maior dificuldade em entender as integrais múltiplas é ir do conceito da integração única para a integração dupla. Depois disso, como no caso das integrais triplas, a maior parte do esforço mental é direcionado para utilizar os mesmos princípios em situações que são um pouco mais difíceis de se visualizar.

O que estamos construindo

Correndo o risco de parecer óbvio, as integrais triplas são como as integrais duplas, mas em três dimensões. Elas são escritas, de forma abstrata, como
$\begin{array}{r} ∭_{R} f d V \end{array}$ ‍
em que
- $R$ ‍ é alguma região no espaço tridimensional.
- $f (x, y, z)$ ‍ é alguma função escalar que pega pontos do espaço tridimensional como entrada.
- $d V$ ‍ é uma pequena unidade de volume. Em coordenadas cartesianas, isto é expandido como $d V = d x d y d z$ ‍.
Concretamente, estas são calculadas como três integrais unidas:
$\begin{array}{r} \int_{z_{1}}^{z_{2}} \underset{Esta é uma função puramente de z}{\underset{⏟}{\int_{y_{1} (z)}^{y_{2} (z)} \overset{Esta é uma função puramente de y e z}{\overset{⏞}{\int_{x_{1} (y, z)}^{x_{2} (y, z)} f (x, y, z) d x}} d y}} d z \end{array}$ ‍
Como as integrais duplas, os limites das integrais internas podem ser funções das variáveis externas. São essas funções de limite que codificam a forma de $R$ ‍.
Use uma integral tridimensional sempre que você tiver a sensação de que precisa cortar uma região tridimensional em um número infinito de pequenos pedaços, associar cada pedaço a um valor, e então somar tudo. Isso é surpreendentemente útil quando queremos encontrar o volume de regiões tridimensionais somando diversos pequenos volumes $d V$ ‍.
Como nas integrais duplas, a parte difícil é encontrar os limites certos para a sua região. Isso só requer um pouco de prática, e uma vontade de arregaçar as mangas e colocar a mão na massa.

Exemplo 1: Prisma retangular com densidade variável

Suponha que você tem um bloco de metal na forma de um prisma retangular com dimensões

3 \times 2 \times 5

. Entretanto, suponha que sua densidade não seja uniforme. Para ser capaz de descrever sua densidade com uma função de três variáveis, vamos começar imaginando esse bloco no espaço cartesiano tridimensional.

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Especificamente, o bloco está posicionado de tal maneira que

Um vértice está situado na origem.
Uma de suas arestas de comprimento $3$ ‍ situa-se no eixo $x$ ‍ positivo.
Uma de suas arestas de comprimento $2$ ‍ situa-se no eixo $y$ ‍ positivo.
Uma de suas arestas de comprimento $5$ ‍ situa-se no eixo $z$ ‍ positivo.

Digamos que a densidade em cada ponto é dada pela função

$ρ (x, y, z) = x^{2} y (\cos (π z) + 2)$ ‍

(O símbolo grego

ρ

, pronunciado "rô", é a variável típica usada para representar a densidade tridimensional.)

Pergunta chave: qual é a massa de todo o bloco?

Assim como outros problemas de integração, começamos imaginando o corte dessa região em muitos pedacinhos. Ao contrário de integrais simples, onde você corta uma linha e tem pequenos pedaços de comprimento

d x

, ou integrais duplas, que você corta uma área bidimensional e tem pequenos pedaços de área

d A

, desta vez, cada pedaço terá um volume

d V

. Em ultima análise, esse pequeno volume será fragmentado como o produto de três pequenos comprimentos, mas quando você monta o problema, é útil pensar nele apenas como um pequeno volume

De forma concreta, você pode imaginar o corte desse bloco pelo fatiamento em três direções:

Corte-o com planos que representam valores constantes de $x$ ‍.
Corte-o com planos que representam valores constantes de $y$ ‍.
Corte-o com planos que representam valores constantes de $z$ ‍.

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Já que

ρ (x, y, z)

é uma função contínua, quando esses pedaços são pequenos o suficiente, a densidade de cada um deles é praticamente constante. Por exemplo, à medida que um pedaço específico espirala em torno do ponto

(2, 1, 3)

, sua densidade total aproxima-se de

ρ (2, 1, 3) = (2^{2}) (1) (\cos (π 3) + 2) = (4) (1) (1) = 4

. Portanto, a massa de um desses pequenos pedaços pode ser escrita como

$\begin{array}{r} \underset{densidade}{\underset{⏟}{ρ (x, y, z)}} \underset{volume}{\underset{⏟}{d V}} \end{array}$ ‍

Onde

(x, y, z)

é um ponto dentro do pedaço, e

d V

é o volume do pedaço (cujas particularidades são manipuladas pela integral)

Cada pedaço será um pequeno prisma retangular de comprimentos de lados

d x

d y

d z

, as pequenas variações lineares nas direções de

x

y

z

. Portanto, o pequeno volume é

$d V = d x d y d z$ ‍

Eu acho importante sempre analisar por que

d v

pode ser expandido dessa forma, pensando de forma bem concreta no pequeno prisma retangular e seus comprimentos de aresta. Eu digo isso porque a forma de expandir isso em outros sistemas, como o sistema de coordenadas cilíndricas ou esféricas, não é tão simples.

Juntando tudo isso, a massa de um dos nossos pequenos pedaços é

$\begin{array}{r} ρ (x, y, z) d V = \underset{densidade}{\underset{⏟}{x^{2} y (\cos (π z) + 2)}} \underset{volume}{\underset{⏟}{d x d y d z}} \end{array}$ ‍

Para somar todas essas pequenas massas, montamos três integrais incorporadas, cada uma integrando na direção de um eixo de coordenadas diferente.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{5} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x^{2} y (\cos (π z) + 2) d x d y d z \end{array}$ ‍

Note que os limites da integral interna refletem os valores de

x

, já que

d x

é escrito antes de

d y

d z

. Da mesma forma, a integral do meio é limitada pelos valores de

y

, visto que

d y

é o segundo diferencial listado, e a integral exterior reflete o último termo,

d z

Verificação de conceito: resolva esta integral tripla. Uma dica, você pode manter as coisas relativamente organizadas fatorando os termos das integrais internas o máximo possível.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{5} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x^{2} y (\cos (π z) + 2) d x d y d z = \end{array}$ ‍

$\begin{aligned} \int_{0}^{5} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} x^{2} \underset{Fatore o que for diferente de x}{\underset{⏟}{y (\cos (π z) + 2)}} d x d y d z \\ = \int_{0}^{5} \int_{0}^{2} y \underset{Fatore o que for diferente de y}{\underset{⏟}{(\cos (π z) + 2)}} \int_{0}^{3} x^{2} d x d y d z \\ = \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) \int_{0}^{2} y \underset{Comece com a integral mais interna}{\underset{⏟}{(\int_{0}^{3} x^{2} d x)}} d y d z \\ = \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) \int_{0}^{2} y {[\frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{3} d y d z \\ = \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) \int_{0}^{2} y [\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}] d y d z \\ = \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) \int_{0}^{2} y (9) d y d z \\ = 9 \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) \underset{Em seguida, trabalhe a integral y}{\underset{⏟}{(\int_{0}^{2} y d y)}} d z \\ = 9 \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) {[\frac{y^{2}}{2}]}_{0}^{2} d z \\ = 9 \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) (\frac{{(2)}^{2}}{2} - \frac{{(0)}^{2}}{2}) d z \\ = 9 \int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) (2) d z \\ = 18 \underset{Estamos chegando lá!}{\underset{⏟}{\int_{0}^{5} (\cos (π z) + 2) d z}} \\ = 18 {[\frac{1}{π} sen (π z) + 2 z]}_{0}^{5} \\ = 18 [\frac{1}{π} sen (5 π) + 2 (5) - (- \frac{1}{π} sen (0) + 2 (0))] \\ = 18 (10) \\ = 180 \end{aligned}$ ‍

Quando você trabalha com esses cálculos, é muito fácil perder de vista aquilo que eles representam.

Você pode pensar na integral mais interna como se ela estivesse somando pequenos pedaços de massa ao longo de linhas paralelas ao eixo $x$ ‍. Ela devolve uma expressão de $y$ ‍ e $z$ ‍, ou seja,
"Dependendo da sua escolha das coordenadas $y$ ‍ e $z$ ‍ da sua reta, que é paralela ao eixo $x$ ‍, esta será a soma das massas infinitesimais ao longo de tal reta."
A próxima integral, em relação a $y$ ‍, soma as massas infinitesimais dessas linhas na direção $y$ ‍, dando a massa infinitesimal de uma camada paralela ao plano $x y$ ‍. Ela retornará uma expressão puramente em termos de $z$ ‍, que diz
"Dependendo da altura da sua camada acima do plano $x y$ ‍, esta será a sua massa infinitesimal".
Finalmente, a integral mais externa soma as massas dessas camadas quando $z$ ‍ varia de $0$ ‍ a $5$ ‍. Ela retorna uma constante, que é a massa (não mais infinitesimal) do bloco de metal inteiro.

Exemplo 2: Usando uma integral tripla para calcular volume.

Você viu como integrais duplas podem calcular o volume abaixo do gráfico de uma função de duas variáveis. De fato, para a maioria das regiões que você imaginar, se você for bastante esperto, poderá achar uma maneira de calcular o volume utilizando algum tipo de integral dupla.

Lembre-se, a razão pela qual integrais duplas podem calcular volume é porque elas pegam pequenos pedaços no plano

x y

, com área

d A

, e multiplicam cada um pela altura da função acima desse ponto,

f (x, y)

, o que resulta no volume infinitesimal de uma coluna acima desse pedaço com área

d A

e abaixo do gráfico.

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Com integrais triplas, temos uma ferramenta mais poderosa que pode avaliar uma região inteira e somar pequenas unidades de volume. É importante fazer isso, nem que seja como uma ótima prática para limitar uma integral tripla sem se perder dentro da função.

Por exemplo, considere a região

R

limitada pelas seguintes superfícies:

A paraboloide $z = x^{2} + y^{2}$ ‍
O plano $z = 2 (x + y + 1)$ ‍

Essas duas superfícies são assim:

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E a região tridimensional

R

limitada por elas fica assim:

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Para encontrar seu volume, começamos criando uma integral aparentemente simples que somará o volume de todos os pequenos pedaços nos quais você poderia cortar a região.

$\begin{array}{r} ∭_{R} d V \end{array}$ ‍

Toda a dificuldade está em definir os limites corretos dessas três integrais para codificar a região

R

corretamente.

Pela definição de

R

, recebemos os limites de

z

gratuitamente:

$x^{2} + y^{2} \leq z \leq 2 (x + y + 1)$ ‍

Já que os limites de

z

são dados pelas funções de

x

y

, isso sugere que a integral mais interna da nossa integral tripla deveria ser relacionada a

z

. Podemos começar a escrever a integral da seguinte maneira:

$\begin{array}{r} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \underset{Integral interna em função de z}{\underset{⏟}{\int_{x^{2} + y^{2}}^{2 (x + y + 1)} d z}} d x d y \end{array}$ ‍

Mas o que colocamos nos limites das outras duas integrais? Até onde vão

x

y

? Para tanto, precisamos analisar onde as duas superfícies que definem

R

se cruzam. Essa interseção é uma linha de contorno no espaço tridimensional, ilustrado pela linha vermelha abaixo:

Agora, imagine a região

R

sendo projetada no plano

x y

, que é uma forma de focar somente nos valores de

x

y

que importam.

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A linha de contorno em vermelho que marca a interseção entre

z = x^{2} + y^{2}

z = 2 (x + y + 1)

se torna o limite da região no plano

x y

que nos interessa.

Isso tudo é visual, mas para encontrar a descrição analítica dessa curva, iguale as equações que definem cada uma de nossas duas superfícies:

$\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 2 (x + y + 1) \end{array}$ ‍

Ao completar o quadrado para

x

y

, podemos ter uma expressão que é mais fácil de interpretar geometricamente.

$\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = 2 (x + y + 1) \\ x^{2} - 2 x + y^{2} - 2 y = 2 \\ \underset{quadrado perfeito}{\underset{⏟}{x^{2} - 2 x + 1}} + \underset{quadrado perfeito}{\underset{⏟}{y^{2} - 2 y + 1}} = 2 + 2 \\ \underset{equação para um círculo}{\underset{⏟}{(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4}} \end{array}$ ‍

Verificação de conceito: que forma esta equação descreve?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Um círculo centrado em $(1, 1)$ ‍ de raio $2$ ‍
(Escolha B)
Um círculo centrado em $(- 1, - 1)$ ‍ de raio $4$ ‍

Para descrever como

x

y

se estendem sobre esta região, você pode quebrá-la em tiras verticais ou horizontais. Sem nenhum motivo especial, escolhi tiras horizontais.

Vamos codificar o fato de que a posição vertical das tiras se estende de

- 1

3

ao fazer destes os limites de

y

$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{3} \int_{?}^{?} \int_{x^{2} + y^{2}}^{2 (x + y + 1)} d z d x d y \end{array}$ ‍

Os limites para

x

, que descrevem os limites à direita e à esquerda de cada tira horizontal no nosso círculo, são as duas soluções para

x

na equação que define o círculo:

$\begin{array}{r} (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \\ (x - 1)^{2} = 4 - (y - 1)^{2} \\ (x - 1) = \pm \sqrt{4 - (y - 1)^{2}} \\ x = 1 \pm \sqrt{4 - (y - 1)^{2}} \end{array}$ ‍

Isso significa que nossa integral final ficará assim:

$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{3} \int_{1 - \sqrt{4 - (y - 1)^{2}}}^{1 + \sqrt{4 - (y - 1)^{2}}} \int_{x^{2} + y^{2}}^{2 (x + y + 1)} d z d x d y \end{array}$ ‍

Isso não é um absurdo? Bem-vindo ao mundo das integrais triplas.

Como um lembrete, é super importante escrever os termos diferenciais na ordem correta; neste caso, a ordem é

d z d x d y

. Os limites da integral interna descrevem valores

z

, então,

d z

vem primeiro; a integral seguinte passa por valores

x

, então,

d x

vem em segundo, etc.

A principal habilidade para se praticar é saber ajustar a integral, como acabamos de fazer. A partir daí, dá para fazer com um computador. Mas se você quiser praticar o cálculo de uma dessas integrais triplas, por favor, vá em frente. Esta integral em particular fica fora de controle rapidamente.

Resumo

Integrais triplas são escritas, de maneira abstrata, como
$\begin{array}{r} ∭_{R} f d V \end{array}$ ‍
em que
- $R$ ‍ é uma região no espaço tridimensional.
- $f (x, y, z)$ ‍ é alguma função escalar que pega pontos do espaço tridimensional como entrada.
- $d V$ ‍ é uma pequena unidade de volume. Em coordenadas cartesianas, isto é expandido como $d V = d x d y d z$ ‍.
Concretamente, estas são calculadas como três integrais unidas:
$\begin{array}{r} \int_{z_{1}}^{z_{2}} \underset{Esta é uma função puramente de z}{\underset{⏟}{\int_{y_{1} (z)}^{y_{2} (z)} \overset{Esta é uma função puramente de y e z}{\overset{⏞}{\int_{x_{1} (y, z)}^{x_{2} (y, z)} f (x, y, z) d x}} d y}} d z \end{array}$ ‍

Como nas integrais duplas, os limites das integrais internas podem ser funções das variáveis externas.

Use uma integral tridimensional sempre que você tiver a sensação de que precisa cortar uma região tridimensional em um número infinito de pequenos pedaços, associar cada pedaço a um valor, e então somar tudo. Isso é surpreendentemente útil quando queremos encontrar o volume de regiões tridimensionais somando diversos pequenos volumes $d V$ ‍.
Como nas integrais duplas, a parte difícil é encontrar os limites certos para a sua região. Isso só requer um pouco de prática, e uma vontade de arregaçar as mangas e colocar a mão na massa.

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Exemplo 1: Prisma retangular com densidade variável

Exemplo 2: Usando uma integral tripla para calcular volume.

Exemplo 3: Volume de uma região cônica

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