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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 9: Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndrico

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Como calcular uma integral tripla quando os limites de sua função forem expressos em coordenadas cilíndricas.

Conhecimentos prévios

Coordenadas cilíndricas são essencialmente o mesmo que coordenadas polares em duas dimensões, só que com uma coordenada

z

adicionada para torná-las tridimensionais.

Cada ponto no espaço é descrito com três coordenadas:

$r$ ‍
$θ$ ‍
$z$ ‍

Tal como em qualquer sistema de coordenadas, esses três números dão as instruções de como chegar a um determinado ponto partindo da origem.

Comece desenhando uma reta de comprimento $r$ ‍ a partir da origem, ao longo do eixo $x$ ‍.
Gire essa reta $θ$ ‍ radianos no plano $x y$ ‍, no sentido anti-horário a partir do eixo $x$ ‍, fixando uma extremidade na origem.
A partir da outra extremidade da reta, mova uma distância $z$ ‍ na terceira dimensão, perpendicular ao plano $x y$ ‍.

A conversão entre coordenadas cilíndricas e coordenadas cartesianas é igual à conversão para coordenadas polares em duas dimensões.

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ‍
$tg (θ) = \frac{y}{x}$ ‍

A única nova coordenada em três dimensões,

z

, permanece inalterada conforme é feita a conversão entre os sistemas.

Observe que muitos autores usarão as coordenadas

(ρ, ϕ, z)

, ao invés de

(r, θ, z)

, mas eu optei por utilizar

(r, θ, z)

para enfatizar a conexão com coordenadas polares.

O que estamos construindo

A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que $d V$ ‍, representando um pouquinho de volume, é expandida como
$d V = r d θ d r d z$ ‍
(Não se esqueça de incluir o $r$ ‍)
Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo $z$ ‍.

A regra

Ao resolver integrais duplas em coordenadas polares, uma coisa importante a se lembrar é de como expandir a pequena unidade de área

d A

em função de

d r

d θ

$\begin{array}{r} \iint_{R} f (r, θ) d A = \iint_{R} f (r, θ) r d θ d r \end{array}$ ‍

Observe que a variável

r

faz parte dessa expansão. A expansão da pequena unidade de volume

d V

em uma integral tripla sobre coordenadas cilíndricas se faz basicamente da mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, temos um termo

d z

$\begin{array}{r} ∭_{R} f (r, θ, z) d V = ∭_{R} f (r, θ, z) r d θ d r d z \end{array}$ ‍

Lembre-se de que a razão pela qual esse pequeno

r

aparece para coordenadas polares é que um pequeno "retângulo" cortado por linhas radiais e circulares tem lados de comprimentos

r d θ

d r

O ponto-chave a se lembrar aqui é o de que $θ$ ‍ não é uma unidade de comprimento, então

d θ

não representa um comprimento pequeno da mesma forma que

d r

d z

representam. Ela mede radianos, que precisam ser multiplicados pela distância

r

a partir da origem para tornarem-se um comprimento.

Pense em sua pequena unidade de volume

d V

como um bloco com as seguintes propriedades.

Um par de faces representa valores constantes de $θ$ ‍.
Um par de faces representa valores constantes de $r$ ‍ (que serão levemente curvas, como se abraçassem um cilindro).
Um par de faces representa valores constantes de $z$ ‍ (que são as partes planas superior e inferior).

Quando você integra sobre uma região tridimensional

R

, você pode pensá-la como sendo composta por infinitos blocos, extremamente pequenos, como esse. Quando eles forem pequenos o suficiente, a borda curvada será basicamente uma linha reta, então você poderá tratá-la como um prisma retangular.

Conforme o tamanho do bloco se aproxima de zero, cada borda representará uma variação infinitesimal em uma variável.

Uma borda terá comprimento $d r$ ‍, representando uma pequena variação em $r$ ‍, enquanto $θ$ ‍ e $z$ ‍ permanecem constantes.
Uma borda terá comprimento $d z$ ‍, representando uma pequena variação em $z$ ‍, enquanto $r$ ‍ e $θ$ ‍ permanecem constantes.
Outra borda vai representar uma pequena variação em $θ$ ‍, enquanto $r$ ‍ e $z$ ‍ permanecem constantes. O comprimento dessa borda não é $d θ$ ‍, já que $θ$ ‍ não é uma unidade de comprimento. Seu comprimento é $r d θ$ ‍, em que $r$ ‍ é a distância do bloco até a origem.

No total, o volume desse bloco é

d V = (r d θ) (d r) (d z)

Exemplo 1: volume de uma esfera

Problema: encontre o volume de uma esfera de raio

1

usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.

Em primeiro lugar, para facilitar a nossa vida, vamos colocar o centro da esfera na origem.

Em seguida, vou dar o nome

S

à esfera e escrever a integral tripla abstrata para encontrar seu volume.

$\begin{array}{r} ∭_{S} d V = ∭_{S} r d θ d r d z \end{array}$ ‍

Como sempre, a parte mais difícil é colocar limites na integral. No entanto, fazê-lo com coordenadas cilíndricas é muito mais fácil do que seria com coordenadas cartesianas. Em particular,

r

θ

só vão estar dentro do disco unitário, o que é muito natural descrever em coordenadas polares:

Verificação de conceito : qual dos seguintes conjuntos de limites para

r

θ

devemos usar para integrar sobre o disco unitário?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$0 \leq r \leq 1$ ‍
$0 \leq θ \leq 2 π$ ‍
(Escolha B)
$- 1 \leq r \leq 1$ ‍
$0 \leq θ \leq 2 π$ ‍
(Escolha C)
$0 \leq r \leq 1$ ‍
$0 \leq θ r \leq 2 π$ ‍

Como os limites de

z

dependerão do valor de

r

, deixamos a integral mais interna lidar com o

z

, enquanto as duas integrais externas lidam com

r

θ

. Escrevendo o que temos até agora, obtemos

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{?}^{?} r d z d r d θ \end{array}$ ‍

Lembre-se de que é importante verificar se a ordem dos termos diferenciais

d z

d r

d θ

condiz com a integral adequada.

Esta próxima questão é um pouco mais complicada.

Verificação de conceito : para um dado valor de

r

, qual das opções a seguir mostra o correto intervalo de valores para

z

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$- \sqrt{1 - r^{2}} \leq z \leq \sqrt{1 - r^{2}}$ ‍
(Escolha B)
$- \sqrt{1 + r^{2}} \leq z \leq \sqrt{1 + r^{2}}$ ‍
(Escolha C)
$- r^{2} \leq z \leq r^{2}$ ‍
(Escolha D)
$- r \leq z \leq r$ ‍

A primeira escolha está correta.
$- \sqrt{1 - r^{2}} \leq z \leq \sqrt{1 - r^{2}}$ ‍
Em coordenadas cilíndricas, a distância entre um ponto $(r, θ, z)$ ‍ e a origem é
$\sqrt{r^{2} + z^{2}}$ ‍
Para ver o porquê, relacione isso com coordenadas cartesianas usando o fato de que $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ‍
$\sqrt{r^{2} + z^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ‍
Portanto, a esfera unitária poderia ser definida como todos os pontos tais que
$r^{2} + z^{2} = 1^{2}$ ‍.
Ao calcularmos $z$ ‍, obtemos seus limites superior e inferior se ele permanecer dentro da esfera.
$\begin{array}{r} r^{2} + z^{2} = 1 \\ z^{2} = 1 - r^{2} \\ z = \pm \sqrt{1 - r^{2}} \end{array}$ ‍

Aplicando esse limite a nossa integral mais interna, obtemos algo que pode ser trabalhado.

Verificação de conceito : resolva esta integral tripla.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{- \sqrt{1 - r^{2}}}^{\sqrt{1 - r^{2}}} r d z d r d θ = \end{array}$ ‍

$\begin{aligned} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \underset{Integre em relação a z}{\underset{⏟}{\int_{- \sqrt{1 - r^{2}}}^{\sqrt{1 - r^{2}}} r d z}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} [r z]_{z = - \sqrt{1 - r^{2}}}^{z = \sqrt{1 - r^{2}}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r (\sqrt{1 - r^{2}} - (- \sqrt{1 - r^{2}})) d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} 2 r \sqrt{1 - r^{2}} d r d θ \end{aligned}$ ‍
Ao usarmos a regra da cadeia no sentido contrário, podemos rapidamente fazer algumas observações para ver qual é esta primitiva:
$\begin{aligned} \int 2 r \sqrt{1 - r^{2}} d r & = 2 r \underset{Primitiva de \sqrt{algo}}{\underset{⏟}{(\frac{2}{3} {(1 - r^{2})}^{3 / 2})}} \overset{Divida por \frac{d}{d r} (1 - r^{2})}{\overset{⏞}{\frac{1}{- 2 r}}} \\ = - \frac{2}{3} {(1 - r^{2})}^{3 / 2} \end{aligned}$ ‍
Então, continuando com nossa integral,
$\begin{aligned} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} 2 r \sqrt{1 - r^{2}} d r d θ \\ = \int_{0}^{2 π} {[\frac{- 2}{3} (1 - r^{2})^{3 / 2}]}_{r = 0}^{r = 1} d θ \\ = \int_{0}^{2 π} (\frac{- 2}{3} (1 - (1)^{2})^{3 / 2} - (\frac{- 2}{3} (1 - (0)^{2})^{3 / 2})) d θ \\ = \int_{0}^{2 π} (\frac{- 2}{3} (0) - \frac{- 2}{3} (1)) d θ \\ = \int_{0}^{2 π} \frac{2}{3} d θ \\ = \frac{4}{3} π \end{aligned}$ ‍

E com isso, você acabou de encontrar o volume de uma esfera unitária!

Além disso, essa ferramenta é poderosa o suficiente para fazer mais do que apenas encontrar o volume da esfera. Por exemplo, você pode integrar uma função de três variáveis

f (r, θ, z)

dentro da esfera.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \int_{- \sqrt{1 - r^{2}}}^{\sqrt{1 - r^{2}}} f (r, θ, z) r d z d r d θ \end{array}$ ‍

A parte mais difícil de encontrar os limites não é diferente, mas vai mudar o cálculo das integrais (feito por você ou por um computador).

Exemplo 2: integração sobre uma fatia de torta

Para este exemplo, integraremos sobre uma região que se parece com uma fatia de torta inclinada:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Em um problema, esta região pode ser descrita usando a seguinte lista de propriedades:

$x \geq 0$ ‍
$y \geq 0$ ‍
$z \geq 0$ ‍
$y \leq x$ ‍
$x^{2} + y^{2} \leq 4$ ‍
$z \leq \frac{y}{x}$ ‍

Desta vez, não encontraremos somente o volume desta região. Em vez disso, nossa tarefa será integrar a função de três variáveis a seguir:

$f (x, y, z) = z - x^{2} - y^{2}$ ‍

Isso pode parecer fora do lugar em um artigo sobre integração em coordenadas cilíndricas, já que tudo aqui é dado em coordenadas cartesianas. De fato, se quisesse, você poderia montar a integral tripla utilizando coordenadas cartesianas. No entanto, há um fato fundamental sugerindo que nossa vida pode tornar-se drasticamente mais fácil por meio, em primeiro lugar, da conversão para coordenadas cilíndricas:

A expressão $x^{2} + y^{2}$ ‍ aparece na função $f$ ‍, bem como na descrição dos limites. Isto sugere uma certa simetria rotacional em torno do eixo $z$ ‍, onde as coordenadas cilíndricas são bem adequadas.

Por exemplo, veja a amplitude para nossos valores de

x

e de

y

$x \geq 0$ ‍
$y \geq 0$ ‍
$y \leq x$ ‍
$x^{2} + y^{2} \leq 4$ ‍

Descrever isso com um par de integrais em

d x

d y

é dificílimo. No entanto, em coordenadas polares, isso se torna muito simples:

$0 \leq θ \leq \frac{π}{4}$ ‍
$0 \leq r \leq 2$ ‍

Isto significa que os limites nas integrais com

d r

d θ

serão constantes. Isso é o melhor que você pode fazer!

E quanto aos outros critérios, tais como

$z \leq \frac{y}{x}$ ‍

Como a conversão para coordenadas polares envolve a propriedade

$tg (θ) = \frac{y}{x}$ ‍

Os limites em

z

podem ser traduzidos como

$0 \leq z \leq tg (θ)$ ‍

Juntando isto, nossa integral tripla fica assim:

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2} \int_{0}^{tg (θ)} f d V \end{array}$ ‍

Observe como os limites são simples. Se estiver disposto a sofrer um pouco, você pode tentar encontrar os limites apropriados de integrais triplas em coordenadas cartesianas para ver como eles são mais desagradáveis.

Agora escrevemos a função

f

usando coordenadas polares.

$\begin{aligned} f (x, y, z) & = z - x^{2} - y^{2} \\ ⇓ \\ f (r, θ, z) & = z - r^{2} \end{aligned}$ ‍

E, claro, incorporamos o objetivo principal deste artigo, que é escrever

d V

em coordenadas polares:

$d V = r d θ d r d z$ ‍

Ao juntarmos tudo isso, obtemos nossa integral tripla em seu estado solucionável final.

Mais exercícios: resolva esta integral

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2} \int_{0}^{tg (θ)} (z - r^{2}) r d z d r d θ = \end{array}$ ‍

Novamente, na prática, o cálculo de integrais como essa são realizados por programas que realizam a integração numérica, ou até por sistemas de álgebra computacionais. À mão, a resolução seria:
$\begin{aligned} \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2} \int_{0}^{tg (θ)} (z - r^{2}) r d z d r d θ \\ = \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2} \int_{0}^{tg (θ)} (z r - r^{3}) d z d r d θ \\ = \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2} {[\frac{z^{2}}{2} r - r^{3} z]}_{0}^{tg (θ)} d r d θ \\ = \int_{0}^{π / 4} \int_{0}^{2} (\frac{{tg}^{2} (θ)}{2} r - r^{3} tg (θ)) d r d θ \\ = \int_{0}^{π / 4} {[\frac{r^{2} {tg}^{2} (θ)}{4} - \frac{r^{4}}{4} tg (θ)]}_{r = 0}^{r = 2} d θ \\ = \int_{0}^{π / 4} (\frac{(2)^{2} {tg}^{2} (θ)}{4} - \frac{(2)^{4}}{4} tg (θ)) d θ \\ = \int_{0}^{π / 4} ({tg}^{2} (θ) - 4 tg (θ)) d θ \end{aligned}$ ‍
Aqui eu tive que pesquisar.
A primitiva de ${tg}^{2} θ$ ‍ é $tg (θ) - θ$ ‍
A primitiva de $tg (θ)$ ‍ é $- \ln (| \cos (θ) |)$ ‍
Continuando nosso caminho, temos:
$\begin{aligned} = \int_{0}^{π / 4} (\tan^{2} (θ) - 4 \tan (θ)) d θ \\ = [\tan (θ) - θ - 4 (- \ln (\cos (θ)))]_{0}^{π / 4} \\ = [\tan (θ) - θ + 4 \ln (\cos (θ))]_{0}^{π / 4} \\ = (\tan (π / 4) - π / 4 + 4 \ln (\cos (π / 4))) - (\tan (0) - 0 + 4 \ln (\cos (0))) \\ = (1 - \frac{π}{4} + 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{2})) - (0 - 0 + 4 \ln (1)) \\ = 1 - \frac{π}{4} + 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{2}) \end{aligned}$ ‍

Resumo

A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que $d V$ ‍, representando um pouquinho de volume, é expandida como
$d V = r d θ d r d z$ ‍
(Não se esqueça de incluir o $r$ ‍)
Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo $z$ ‍.

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Silvio Leal
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Na resolução da ultima in...” de Silvio Leal
Na resolução da ultima integral, o resultado negativo tem algum significado? por se tratar de um volume não teria de ser positivo?
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