If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 9: Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndrico
Matemática
Cálculo multivariável
Integração de funções multivariáveis
Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndrico
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Integrais triplas em coordenadas cilíndricas

Google Sala de Aula
Como calcular uma integral tripla quando os limites de sua função forem expressos em coordenadas cilíndricas.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, representando um pouquinho de volume, é expandida como
    start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r, d, z
    (Não se esqueça de incluir o r)
  • Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo z.

A regra

Ao resolver integrais duplas em coordenadas polares, uma coisa importante a se lembrar é de como expandir a pequena unidade de área start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 em função de d, r e d, theta
∬Rf(r,θ) dA=∬Rf(r,θ) r dθ dr\begin{aligned} \iint_R f(r, \theta)\,\redE{dA} = \iint_R f(r, \theta)\,\redE{r\,d\theta\,dr} \end{aligned}
Observe que a variável r faz parte dessa expansão. A expansão da pequena unidade de volume d, V em uma integral tripla sobre coordenadas cilíndricas se faz basicamente da mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, temos um termo d, z :
∭Rf(r,θ,z) dV=∭Rf(r,θ,z) r dθ dr dz\begin{aligned} \iiint_R f(r, \theta, z)\,\redE{dV} = \iiint_R f(r, \theta, z)\,\redE{r\,d\theta\,dr\,dz} \end{aligned}
Lembre-se de que a razão pela qual esse pequeno r aparece para coordenadas polares é que um pequeno "retângulo" cortado por linhas radiais e circulares tem lados de comprimentos r, d, theta e d, r.
O ponto-chave a se lembrar aqui é o de que theta não é uma unidade de comprimento, então d, theta não representa um comprimento pequeno da mesma forma que d, r e d, z representam. Ela mede radianos, que precisam ser multiplicados pela distância r a partir da origem para tornarem-se um comprimento.

Exemplo 1: volume de uma esfera

Problema: encontre o volume de uma esfera de raio 1 usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Em primeiro lugar, para facilitar a nossa vida, vamos colocar o centro da esfera na origem.
Em seguida, vou dar o nome S à esfera e escrever a integral tripla abstrata para encontrar seu volume.
∭SdV=∭Sr dθ dr dz\begin{aligned} \iiint_S \redE{dV} = \iiint_S \redE{r\,d\theta\,dr\,dz} \end{aligned}
Como sempre, a parte mais difícil é colocar limites na integral. No entanto, fazê-lo com coordenadas cilíndricas é muito mais fácil do que seria com coordenadas cartesianas. Em particular, r e theta só vão estar dentro do disco unitário, o que é muito natural descrever em coordenadas polares:
Verificação de conceito : qual dos seguintes conjuntos de limites para r e theta devemos usar para integrar sobre o disco unitário?
Escolha 1 resposta:

Como os limites de z dependerão do valor de r, deixamos a integral mais interna lidar com o z, enquanto as duas integrais externas lidam com r e theta. Escrevendo o que temos até agora, obtemos
∫02π∫01∫??r dz dr dθ\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{?}^{?} r \,dz \,dr \,d\theta \end{aligned}
Lembre-se de que é importante verificar se a ordem dos termos diferenciais d, z, d, r e d, theta condiz com a integral adequada.
Esta próxima questão é um pouco mais complicada.
Verificação de conceito : para um dado valor de r, qual das opções a seguir mostra o correto intervalo de valores para z?
Escolha 1 resposta:

Aplicando esse limite a nossa integral mais interna, obtemos algo que pode ser trabalhado.
Verificação de conceito : resolva esta integral tripla.
∫02π∫01∫−1−r21−r2r dz dr dθ=\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} r \,dz \,dr \,d\theta = \end{aligned}

E com isso, você acabou de encontrar o volume de uma esfera unitária!
Além disso, essa ferramenta é poderosa o suficiente para fazer mais do que apenas encontrar o volume da esfera. Por exemplo, você pode integrar uma função de três variáveis f, left parenthesis, r, comma, theta, comma, z, right parenthesis dentro da esfera.
∫02π∫01∫−1−r21−r2f(r,θ,z)r dz dr dθ\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}} f(r, \theta, z) r \,dz \,dr \,d\theta \end{aligned}
A parte mais difícil de encontrar os limites não é diferente, mas vai mudar o cálculo das integrais (feito por você ou por um computador).

Exemplo 2: integração sobre uma fatia de torta

Para este exemplo, integraremos sobre uma região que se parece com uma fatia de torta inclinada:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo
Em um problema, esta região pode ser descrita usando a seguinte lista de propriedades:
  • x, is greater than or equal to, 0
  • y, is greater than or equal to, 0
  • z, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, x
  • x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 4
  • z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Desta vez, não encontraremos somente o volume desta região. Em vez disso, nossa tarefa será integrar a função de três variáveis a seguir:
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, z, minus, x, squared, minus, y, squared
Isso pode parecer fora do lugar em um artigo sobre integração em coordenadas cilíndricas, já que tudo aqui é dado em coordenadas cartesianas. De fato, se quisesse, você poderia montar a integral tripla utilizando coordenadas cartesianas. No entanto, há um fato fundamental sugerindo que nossa vida pode tornar-se drasticamente mais fácil por meio, em primeiro lugar, da conversão para coordenadas cilíndricas:
  • A expressão x, squared, plus, y, squared aparece na função f, bem como na descrição dos limites. Isto sugere uma certa simetria rotacional em torno do eixo z, onde as coordenadas cilíndricas são bem adequadas.
Por exemplo, veja a amplitude para nossos valores de x e de y:
  • x, is greater than or equal to, 0
  • y, is greater than or equal to, 0
  • y, is less than or equal to, x
  • x, squared, plus, y, squared, is less than or equal to, 4
Descrever isso com um par de integrais em d, x e d, y é dificílimo. No entanto, em coordenadas polares, isso se torna muito simples:
  • 0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction
  • 0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, 2
Isto significa que os limites nas integrais com d, r e d, theta serão constantes. Isso é o melhor que você pode fazer!
E quanto aos outros critérios, tais como
  • z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Como a conversão para coordenadas polares envolve a propriedade
t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Os limites em z podem ser traduzidos como
  • 0, is less than or equal to, z, is less than or equal to, t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis
Juntando isto, nossa integral tripla fica assim:
∫0π/4∫02∫0tg⁡(θ)f dV\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \int_0^{\operatorname{tg}(\theta)} f\,\redE{dV} \end{aligned}
Observe como os limites são simples. Se estiver disposto a sofrer um pouco, você pode tentar encontrar os limites apropriados de integrais triplas em coordenadas cartesianas para ver como eles são mais desagradáveis.
Agora escrevemos a função f usando coordenadas polares.
f(x,y,z)=z−x2−y2⇓f(r,θ,z)=z−r2\begin{aligned} f(x, y, z) &= z - x^2 - y^2 \\ &\Downarrow \\ f(r, \theta, z) &= z - r^2 \end{aligned}
E, claro, incorporamos o objetivo principal deste artigo, que é escrever start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 em coordenadas polares:
start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, r, d, theta, d, r, d, z
Ao juntarmos tudo isso, obtemos nossa integral tripla em seu estado solucionável final.
Mais exercícios: resolva esta integral
∫0π/4∫02∫0tg⁡(θ)(z−r2)r dz dr dθ=\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \int_0^2 \int_0^{\operatorname{tg}(\theta)} (z - r^2)r \,dz \,dr \,d\theta = \end{aligned}

Resumo

  • A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, representando um pouquinho de volume, é expandida como
    start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, start color #bc2612, r, d, theta, d, r, d, z, end color #bc2612
    (Não se esqueça de incluir o r)
  • Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo z.

Quer participar da conversa?

Entrar
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.