Conteúdo principal
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 9: Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndricoIntegrais triplas em coordenadas cilíndricas
Como calcular uma integral tripla quando os limites de sua função forem expressos em coordenadas cilíndricas.
O que estamos construindo
- A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que
, representando um pouquinho de volume, é expandida como(Não se esqueça de incluir o ) - Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo
.
A regra
Ao resolver integrais duplas em coordenadas polares, uma coisa importante a se lembrar é de como expandir a pequena unidade de área em função de e
Observe que a variável faz parte dessa expansão. A expansão da pequena unidade de volume em uma integral tripla sobre coordenadas cilíndricas se faz basicamente da mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, temos um termo :
Lembre-se de que a razão pela qual esse pequeno aparece para coordenadas polares é que um pequeno "retângulo" cortado por linhas radiais e circulares tem lados de comprimentos e .
O ponto-chave a se lembrar aqui é o de que não é uma unidade de comprimento, então não representa um comprimento pequeno da mesma forma que e representam. Ela mede radianos, que precisam ser multiplicados pela distância a partir da origem para tornarem-se um comprimento.
Exemplo 1: volume de uma esfera
Problema: encontre o volume de uma esfera de raio usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Em primeiro lugar, para facilitar a nossa vida, vamos colocar o centro da esfera na origem.
Em seguida, vou dar o nome à esfera e escrever a integral tripla abstrata para encontrar seu volume.
Como sempre, a parte mais difícil é colocar limites na integral. No entanto, fazê-lo com coordenadas cilíndricas é muito mais fácil do que seria com coordenadas cartesianas. Em particular, e só vão estar dentro do disco unitário, o que é muito natural descrever em coordenadas polares:
Verificação de conceito : qual dos seguintes conjuntos de limites para e devemos usar para integrar sobre o disco unitário?
Como os limites de dependerão do valor de , deixamos a integral mais interna lidar com o , enquanto as duas integrais externas lidam com e . Escrevendo o que temos até agora, obtemos
Lembre-se de que é importante verificar se a ordem dos termos diferenciais , e condiz com a integral adequada.
Esta próxima questão é um pouco mais complicada.
Verificação de conceito : para um dado valor de , qual das opções a seguir mostra o correto intervalo de valores para ?
Aplicando esse limite a nossa integral mais interna, obtemos algo que pode ser trabalhado.
Verificação de conceito : resolva esta integral tripla.
E com isso, você acabou de encontrar o volume de uma esfera unitária!
Além disso, essa ferramenta é poderosa o suficiente para fazer mais do que apenas encontrar o volume da esfera. Por exemplo, você pode integrar uma função de três variáveis dentro da esfera.
A parte mais difícil de encontrar os limites não é diferente, mas vai mudar o cálculo das integrais (feito por você ou por um computador).
Exemplo 2: integração sobre uma fatia de torta
Para este exemplo, integraremos sobre uma região que se parece com uma fatia de torta inclinada:
Em um problema, esta região pode ser descrita usando a seguinte lista de propriedades:
Desta vez, não encontraremos somente o volume desta região. Em vez disso, nossa tarefa será integrar a função de três variáveis a seguir:
Isso pode parecer fora do lugar em um artigo sobre integração em coordenadas cilíndricas, já que tudo aqui é dado em coordenadas cartesianas. De fato, se quisesse, você poderia montar a integral tripla utilizando coordenadas cartesianas. No entanto, há um fato fundamental sugerindo que nossa vida pode tornar-se drasticamente mais fácil por meio, em primeiro lugar, da conversão para coordenadas cilíndricas:
- A expressão
aparece na função , bem como na descrição dos limites. Isto sugere uma certa simetria rotacional em torno do eixo , onde as coordenadas cilíndricas são bem adequadas.
Por exemplo, veja a amplitude para nossos valores de e de :
Descrever isso com um par de integrais em e é dificílimo. No entanto, em coordenadas polares, isso se torna muito simples:
Isto significa que os limites nas integrais com e serão constantes. Isso é o melhor que você pode fazer!
E quanto aos outros critérios, tais como
Como a conversão para coordenadas polares envolve a propriedade
Os limites em podem ser traduzidos como
Juntando isto, nossa integral tripla fica assim:
Observe como os limites são simples. Se estiver disposto a sofrer um pouco, você pode tentar encontrar os limites apropriados de integrais triplas em coordenadas cartesianas para ver como eles são mais desagradáveis.
Agora escrevemos a função usando coordenadas polares.
E, claro, incorporamos o objetivo principal deste artigo, que é escrever em coordenadas polares:
Ao juntarmos tudo isso, obtemos nossa integral tripla em seu estado solucionável final.
Mais exercícios: resolva esta integral
Resumo
- A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que
, representando um pouquinho de volume, é expandida como(Não se esqueça de incluir o ) - Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo
.
Quer participar da conversa?
- Na resolução da ultima integral, o resultado negativo tem algum significado? por se tratar de um volume não teria de ser positivo?(2 votos)