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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4
Lição 9: Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndricoIntegrais triplas em coordenadas cilíndricas
Como calcular uma integral tripla quando os limites de sua função forem expressos em coordenadas cilíndricas.
O que estamos construindo
- A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, representando um pouquinho de volume, é expandida como(Não se esqueça de incluir o r)
- Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo z.
A regra
Ao resolver integrais duplas em coordenadas polares, uma coisa importante a se lembrar é de como expandir a pequena unidade de área start color #bc2612, d, A, end color #bc2612 em função de d, r e d, theta
Observe que a variável r faz parte dessa expansão. A expansão da pequena unidade de volume d, V em uma integral tripla sobre coordenadas cilíndricas se faz basicamente da mesma forma, exceto pelo fato de que, agora, temos um termo d, z :
Lembre-se de que a razão pela qual esse pequeno r aparece para coordenadas polares é que um pequeno "retângulo" cortado por linhas radiais e circulares tem lados de comprimentos r, d, theta e d, r.
O ponto-chave a se lembrar aqui é o de que theta não é uma unidade de comprimento, então d, theta não representa um comprimento pequeno da mesma forma que d, r e d, z representam. Ela mede radianos, que precisam ser multiplicados pela distância r a partir da origem para tornarem-se um comprimento.
Exemplo 1: volume de uma esfera
Problema: encontre o volume de uma esfera de raio 1 usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas.
Em primeiro lugar, para facilitar a nossa vida, vamos colocar o centro da esfera na origem.
Em seguida, vou dar o nome S à esfera e escrever a integral tripla abstrata para encontrar seu volume.
Como sempre, a parte mais difícil é colocar limites na integral. No entanto, fazê-lo com coordenadas cilíndricas é muito mais fácil do que seria com coordenadas cartesianas. Em particular, r e theta só vão estar dentro do disco unitário, o que é muito natural descrever em coordenadas polares:
Verificação de conceito : qual dos seguintes conjuntos de limites para r e theta devemos usar para integrar sobre o disco unitário?
Como os limites de z dependerão do valor de r, deixamos a integral mais interna lidar com o z, enquanto as duas integrais externas lidam com r e theta. Escrevendo o que temos até agora, obtemos
Lembre-se de que é importante verificar se a ordem dos termos diferenciais d, z, d, r e d, theta condiz com a integral adequada.
Esta próxima questão é um pouco mais complicada.
Verificação de conceito : para um dado valor de r, qual das opções a seguir mostra o correto intervalo de valores para z?
Aplicando esse limite a nossa integral mais interna, obtemos algo que pode ser trabalhado.
Verificação de conceito : resolva esta integral tripla.
E com isso, você acabou de encontrar o volume de uma esfera unitária!
Além disso, essa ferramenta é poderosa o suficiente para fazer mais do que apenas encontrar o volume da esfera. Por exemplo, você pode integrar uma função de três variáveis f, left parenthesis, r, comma, theta, comma, z, right parenthesis dentro da esfera.
A parte mais difícil de encontrar os limites não é diferente, mas vai mudar o cálculo das integrais (feito por você ou por um computador).
Exemplo 2: integração sobre uma fatia de torta
Para este exemplo, integraremos sobre uma região que se parece com uma fatia de torta inclinada:
Em um problema, esta região pode ser descrita usando a seguinte lista de propriedades:
Desta vez, não encontraremos somente o volume desta região. Em vez disso, nossa tarefa será integrar a função de três variáveis a seguir:
Isso pode parecer fora do lugar em um artigo sobre integração em coordenadas cilíndricas, já que tudo aqui é dado em coordenadas cartesianas. De fato, se quisesse, você poderia montar a integral tripla utilizando coordenadas cartesianas. No entanto, há um fato fundamental sugerindo que nossa vida pode tornar-se drasticamente mais fácil por meio, em primeiro lugar, da conversão para coordenadas cilíndricas:
- A expressão x, squared, plus, y, squared aparece na função f, bem como na descrição dos limites. Isto sugere uma certa simetria rotacional em torno do eixo z, onde as coordenadas cilíndricas são bem adequadas.
Por exemplo, veja a amplitude para nossos valores de x e de y:
Descrever isso com um par de integrais em d, x e d, y é dificílimo. No entanto, em coordenadas polares, isso se torna muito simples:
Isto significa que os limites nas integrais com d, r e d, theta serão constantes. Isso é o melhor que você pode fazer!
E quanto aos outros critérios, tais como
- z, is less than or equal to, start fraction, y, divided by, x, end fraction
Como a conversão para coordenadas polares envolve a propriedade
Os limites em z podem ser traduzidos como
- 0, is less than or equal to, z, is less than or equal to, t, g, left parenthesis, theta, right parenthesis
Juntando isto, nossa integral tripla fica assim:
Observe como os limites são simples. Se estiver disposto a sofrer um pouco, você pode tentar encontrar os limites apropriados de integrais triplas em coordenadas cartesianas para ver como eles são mais desagradáveis.
Agora escrevemos a função f usando coordenadas polares.
E, claro, incorporamos o objetivo principal deste artigo, que é escrever start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 em coordenadas polares:
Ao juntarmos tudo isso, obtemos nossa integral tripla em seu estado solucionável final.
Mais exercícios: resolva esta integral
Resumo
- A principal coisa a se lembrar sobre integrais triplas em coordenadas cilíndricas é que start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, representando um pouquinho de volume, é expandida como(Não se esqueça de incluir o r)
- Usar coordenadas cilíndricas pode simplificar muito uma integral tripla quando a região que você estiver integrando tiver algum tipo de simetria rotacional sobre o eixo z.
Quer participar da conversa?
- Na resolução da ultima integral, o resultado negativo tem algum significado? por se tratar de um volume não teria de ser positivo?(2 votos)