Conteúdo principal

Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 9: Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndrico

Integrais triplas em coordenadas esféricas

Como calcular uma integral tripla quando os limites de sua função forem expressos em coordenadas esféricas.

Conhecimentos prévios

Integrais triplas
Coordenadas esféricas:

Diferentes autores têm diferentes convenções para nomes de variáveis de coordenadas esféricas. Neste artigo, vou usar a seguinte convenção (em cada descrição a "linha radial" é a linha entre o ponto para o qual estamos dando coordenadas e a origem):

r indica o comprimento da linha radial.
theta é o ângulo ao redor do eixo z. Especificamente, se você projetar a linha radial sobre o plano x, y, theta será o ângulo que esta linha forma com o eixo x.
\phi indica o ângulo entre a linha radial e o eixo z.

Os dois temas a seguir não são estritamente necessários, mas podem ser úteis como um aquecimento e treino para este tópico.

O que estamos construindo

Quando você executa uma integral tripla, se você decide descrever a função e as fronteiras de sua região utilizando coordenadas esféricas, left parenthesis, r, comma, \phi, comma, theta, right parenthesis, o ínfimo volume d, V deve se expandir assim:

\begin{aligned} &\quad \iiint_R f(r, \phi, \theta)\,dV \\\\ &= \iiint_R f(r, \phi, \theta) \,(\blueE{dr}) (\greenE{r\,d\phi})(\goldE{r\operatorname{sen}(\phi)\,d\theta})\\\\ &= \iiint_R f(r, \phi, \theta) \,\redE{r^2 \operatorname{sen}(\phi)}\,d\theta\,d\phi\,dr \end{aligned}

O termo-chave para lembrar (ou derivar novamente) é start color #bc2612, r, squared, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612

Converter para coordenadas esféricas pode facilitar a resolução de integrais triplas quando a região sobre a qual você está integrando tem alguma simetria esférica.

Dissecando pequenos volumes em coordenadas esféricas

Como discutido na introdução às integrais triplas, quando estiver integrando sobre uma região tridimensional R, é de grande utilidade imaginar que a está dividindo verticalmente em pedaços infinitamente pequenos, cada um com volume d, V.

Quando você trabalhava em coordenadas cartesianas, esses pequenos pedaços eram vistos como blocos retangulares. Em coordenadas esféricas, no entanto, é útil imaginar seus pedacinhos como sendo blocos ligeiramente curvos que "abraçam" uma esfera. Vou desenhar uma versão razoavelmente grande de um desses pedaços, em partes para exagerar sua curvatura e em partes para que possamos vê-lo melhor. Por exemplo, veja como ele fica em três dimensões:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Ele tem essa forma porque cada face representa um valor constante para uma das coordenadas esféricas:

Um par de faces representa valores constantes de start color #0c7f99, r, end color #0c7f99 (que serão ligeiramente curvos, como se abraçassem uma esfera).
Um par de faces representa valores constantes de start color #a75a05, \phi, end color #a75a05.
Um par de faces representa valores constantes de start color #0d923f, theta, end color #0d923f.

Por que isso é significante? Porque a maneira como integrais múltiplas funcionam é que cada integral individual trata todas as coordenadas como constantes, com exceção de uma. Portanto, ao considerarmos como a integral múltipla, como um todo, junta estes pequenos pedaços, é mais natural pensar em pedaços cujos volumes podem ser expressos em função de variações para coordenadas individuais. Isto se tornará mais claro à medida que você avançar na leitura.

Conforme o tamanho desses blocos se aproxima de zero, a curva vai se tornando tão insignificante que podemos tratá-los como prismas retangulares. Uma borda, start color #0c7f99, d, r, end color #0c7f99, representa uma pequena variação no comprimento da distância a partir da origem:

As duas outras bordas estão relacionadas às pequenas variações nas outras duas coordenadas, start color #0d923f, d, theta, end color #0d923f e start color #a75a05, d, \phi, end color #a75a05. No entanto, já que start color #0d923f, theta, end color #0d923f e start color #a75a05, \phi, end color #a75a05 estão medidas em radianos, e não em uma unidade de comprimento, esses valores devem ser multiplicados por uma unidade de comprimento para refletir corretamente os comprimentos das arestas em nosso prisma retangular.

Por exemplo, a borda que representa uma variação em start color #a75a05, \phi, end color #a75a05 tem comprimento start color #a75a05, r, d, \phi, end color #a75a05:

A borda que representa uma variação em start color #0d923f, theta, end color #0d923f é um pouco mais complicada. Esta borda é parte de um círculo que se envolve ao redor do eixo z, e o raio deste círculo não é start color #0c7f99, r, end color #0c7f99, mas start color #0c7f99, r, end color #0c7f99, s, e, n, left parenthesis, start color #a75a05, \phi, end color #a75a05, right parenthesis. Isso significa que o comprimento do arco, em razão de uma pequena variação em start color #0d923f, theta, end color #0d923f, é start color #0c7f99, r, end color #0c7f99, s, e, n, left parenthesis, start color #a75a05, \phi, end color #a75a05, right parenthesis, start color #0d923f, d, theta, end color #0d923f.

Isso pode ser confuso no início, então pode valer a pena um momento de contemplação para garantir que você compreendeu como isso funciona.

Em resumo, podemos expressar o volume do nosso bloco "retangular" em função de start color #0c7f99, d, r, end color #0c7f99, start color #a75a05, d, \phi, end color #a75a05 e start color #0d923f, d, theta, end color #0d923f pegando o produto de todos os seus comprimentos de lado.

d, V, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, d, r, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, start color #a75a05, r, d, \phi, end color #a75a05, right parenthesis, left parenthesis, start color #0d923f, r, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, d, theta, end color #0d923f, right parenthesis, equals, start color #bc2612, r, squared, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612, d, r, d, \phi, d, theta

Em outras palavras, quando você tem uma integral tripla,

$\begin{aligned} \iiint_R f \,dV \end{aligned}$

e você decide expressar os limites e a função usando coordenadas esféricas, você não pode simplesmente substituir d, V por d, r, d, \phi, d, theta. Você também deve lembrar-se do termo start color #bc2612, r, squared, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612:

$\begin{aligned} \iiint_R f(r, \theta, \phi) \: \redE{r^2 \operatorname{sen}(\phi)}\,dr\,d\phi\,d\theta \end{aligned}$

Pessoalmente, nunca me lembro exatamente como expandir o termo d, V de cabeça

"Era s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis ou s, e, n, left parenthesis, theta, right parenthesis... e é r ou r, squared...?"

Em vez disso, eu penso no processo que acabei de ilustrar acima, perguntando-me quais são os comprimentos de arco resultantes das variações em \phi e theta.

Exemplo 1: volume de uma esfera revisitada

Este pode ser o exemplo inicial mais simples possível para integração tripla em coordenadas esféricas, mas ele nos permite calcular um fato interessante e importante: o volume de uma esfera.

Pergunta: qual é o volume de uma esfera de raio R?

Posicione a esfera tal que o seu centro fique na origem.

Se estivéssemos fazendo esta integral em coordenadas cartesianas, teríamos aquela feia, mas comum, situação na qual os limites das integrais internas são funções das variáveis externas. No entanto, como coordenadas esféricas são tão bem adequadas para descrever esferas reais, nossos limites são todos constantes.

Verificação de conceito: quais dos seguintes conjuntos de limites nas coordenadas r, \phi e theta descrevem precisamente todos os pontos dentro de uma esfera de raio R (sem recapitular a esfera inteira várias vezes)?

(Escolha A)
0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, R
0, is less than or equal to, \phi, is less than or equal to, 2, pi
0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, 2, pi
(Escolha B)
0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, R
0, is less than or equal to, \phi, is less than or equal to, pi
0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, 2, pi
(Escolha C)
0, is less than or equal to, r, is less than or equal to, R
0, is less than or equal to, \phi, is less than or equal to, pi
0, is less than or equal to, theta, is less than or equal to, pi

[Resposta]

Usando estes limites, juntamente com o fato de que

d, V, equals, start color #bc2612, r, squared, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, d, r, d, \phi, d, theta, end color #bc2612

podemos começar a definir nossa integral assim:

\begin{aligned} \iiint_{\text{Bola}} dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \operatorname{sen}(\phi) \,dr \,d\phi \,d\theta \end{aligned}

Verificação de conceito: resolva esta integral e aprecie o quanto ela é tranquila em comparação com outras integrais triplas desagradáveis que você pode ter encontrado.

\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \operatorname{sen}(\phi) \,dr \,d\phi \,d\theta = \end{aligned}

[Resposta]

Se tiver coragem, imagine-se tentando fazer esta integral em coordenadas cartesianas. Que pesadelo! Isso nos deixa uma importante lição:

Conclusão importante: se você estiver integrando sobre uma região com alguma simetria esférica, passar para coordenadas esféricas pode tornar os limites muito mais fáceis de trabalhar.

Exemplo 2: integrando uma função

Integre a função

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y, plus, 3, z

na região do primeiro octante em que

x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, is less than or equal to, 3

[Qual é o "primeiro octante"?]

Etapa 1: expressar a região em coordenadas esféricas.

Como você poderia saber que deveríamos passar para coordenadas esféricas? Poderíamos fazer esta integral toda em coordenadas cartesianas, não poderíamos? Coordenadas cilíndricas também funcionariam.

O fato de nosso limite incluir a condição x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared, is less than or equal to, 3 é uma descrição da distância entre pontos da nossa região e a origem. Como a coordenada esférica r expressa precisamente esta ideia, podemos nos sentir seguros de que descrever a fronteira de nossa região usando r tornará os limites de nossas três integrais mais simples do que se fizéssemos isso em função de x, y e z.

Especificamente, esta condição se torna

\begin{aligned} x^2 + y^2 + z^2 &\le 3 \\\\ r^2 &\le 3 \\\\ r &\le \sqrt{3\,} \end{aligned}

Verificação de conceito: e quanto a theta e \phi? Que limites devemos usar nestas duas coordenadas para manter nossa integral dentro do primeiro octante?

is less than or equal to, theta, is less than or equal to

is less than or equal to, \phi, is less than or equal to

[Resposta]

Etapa 2: expressar a função em coordenadas esféricas

A seguir, convertemos a função

f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y, plus, 3, z

em coordenadas esféricas. Para fazer isso, usamos as conversões para cada coordenada cartesiana individual.

x, equals, r, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis
y, equals, r, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, s, e, n, left parenthesis, theta, right parenthesis
z, equals, r, cosine, left parenthesis, \phi, right parenthesis

Ao inserirmos cada uma destas, obtemos

$\begin{aligned} f(x, y, z) &= x + 2y + 3z \\\\ &= r\operatorname{sen}(\phi)\cos(\theta) + 2r\operatorname{sen}(\phi)\operatorname{sen}(\theta) + 3r\cos(\phi) \\\\ &= r\Big(\operatorname{sen}(\phi)\cos(\theta)+2\operatorname{sen}(\phi)\operatorname{sen}(\theta)+3\cos(\phi)\big) \\\\ \end{aligned}$

Você pode dizer que isto torna as coisas mais complicadas do que eram em coordenadas cartesianas. E você está certo! Mas em se tratando de integrais triplas, uma função mais complicada é um preço relativamente pequeno a ser pago para ter limites constantes.

Etapa 3: calcular a integral tripla

Verificação de conceito: juntando as duas últimas etapas, qual é a integral que precisamos resolver?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \int_0^3 r\Big( \operatorname{sen}(\phi)\cos(\theta)+ 2\operatorname{sen}(\phi)\operatorname{sen}(\theta)+ 3\cos(\phi) \Big) r^2\operatorname{sen}(\phi) \,dr \,d\theta \,d\phi \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{3}} r\Big( \operatorname{sen}(\phi)\cos(\theta)+ 2\operatorname{sen}(\phi)\operatorname{sen}(\theta)+ 3\cos(\phi) \Big) r^2\operatorname{sen}(\phi) \,dr \,d\theta \,d\phi \end{aligned}$
(Escolha C)
$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{3}} r\Big( \operatorname{sen}(\phi)\cos(\theta)+ 2\operatorname{sen}(\phi)\operatorname{sen}(\theta)+ 3\cos(\phi) \Big) \,dr \,d\theta \,d\phi \end{aligned}$

Finalizando: resolva essa integral!

Integral da pergunta anterior:

[Resposta]

Resumo

Quando você executa uma integral tripla, se você decide descrever a função e as fronteiras de sua região utilizando coordenadas esféricas, left parenthesis, r, comma, \phi, comma, theta, right parenthesis, o ínfimo volume d, V deve se expandir assim:
$\begin{aligned} &\quad \iiint_R f(r, \phi, \theta)\,dV \\\\ &= \iiint_R f(r, \phi, \theta) \,(\blueE{dr}) (\greenE{r\,d\phi})(\goldE{r\operatorname{sen}(\phi)\,d\theta})\\\\ &= \iiint_R f(r, \phi, \theta) \,\redE{r^2 \operatorname{sen}(\phi)}\,d\theta\,d\phi\,dr \end{aligned}$
O termo-chave para lembrar (ou derivar novamente) é start color #bc2612, r, squared, s, e, n, left parenthesis, \phi, right parenthesis, end color #bc2612
Converter para coordenadas esféricas pode facilitar a resolução de integrais triplas quando a região sobre a qual você está integrando tem alguma simetria esférica.

Quer participar da conversa?

Entrar

Classificar por:

Nenhuma postagem por enquanto.

Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.