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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 4

Lição 9: Coordenadas polares e dos sistemas esférico e cilíndrico

Integrais triplas em coordenadas esféricas

Como calcular uma integral tripla quando os limites de sua função forem expressos em coordenadas esféricas.

Conhecimentos prévios

Integrais triplas
Coordenadas esféricas:

Diferentes autores têm diferentes convenções para nomes de variáveis de coordenadas esféricas. Neste artigo, vou usar a seguinte convenção (em cada descrição a "linha radial" é a linha entre o ponto para o qual estamos dando coordenadas e a origem):

$r$ ‍ indica o comprimento da linha radial.
$θ$ ‍ é o ângulo ao redor do eixo $z$ ‍. Especificamente, se você projetar a linha radial sobre o plano $x y$ ‍, $θ$ ‍ será o ângulo que esta linha forma com o eixo $x$ ‍.
$ϕ$ ‍ indica o ângulo entre a linha radial e o eixo $z$ ‍.

Os dois temas a seguir não são estritamente necessários, mas podem ser úteis como um aquecimento e treino para este tópico.

O que estamos construindo

Quando você executa uma integral tripla, se você decide descrever a função e as fronteiras de sua região utilizando coordenadas esféricas, $(r, ϕ, θ)$ ‍, o ínfimo volume $d V$ ‍ deve se expandir assim:

\begin{aligned} ∭_{R} f (r, ϕ, θ) d V \\ = ∭_{R} f (r, ϕ, θ) (d r) (r d ϕ) (r sen (ϕ) d θ) \\ = ∭_{R} f (r, ϕ, θ) r^{2} sen (ϕ) d θ d ϕ d r \end{aligned}

O termo-chave para lembrar (ou derivar novamente) é

r^{2} sen (ϕ)

Converter para coordenadas esféricas pode facilitar a resolução de integrais triplas quando a região sobre a qual você está integrando tem alguma simetria esférica.

Dissecando pequenos volumes em coordenadas esféricas

Como discutido na introdução às integrais triplas, quando estiver integrando sobre uma região tridimensional

R

, é de grande utilidade imaginar que a está dividindo verticalmente em pedaços infinitamente pequenos, cada um com volume

d V

Quando você trabalhava em coordenadas cartesianas, esses pequenos pedaços eram vistos como blocos retangulares. Em coordenadas esféricas, no entanto, é útil imaginar seus pedacinhos como sendo blocos ligeiramente curvos que "abraçam" uma esfera. Vou desenhar uma versão razoavelmente grande de um desses pedaços, em partes para exagerar sua curvatura e em partes para que possamos vê-lo melhor. Por exemplo, veja como ele fica em três dimensões:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Ele tem essa forma porque cada face representa um valor constante para uma das coordenadas esféricas:

Um par de faces representa valores constantes de $r$ ‍ (que serão ligeiramente curvos, como se abraçassem uma esfera).
Um par de faces representa valores constantes de $ϕ$ ‍.
Um par de faces representa valores constantes de $θ$ ‍.

Por que isso é significante? Porque a maneira como integrais múltiplas funcionam é que cada integral individual trata todas as coordenadas como constantes, com exceção de uma. Portanto, ao considerarmos como a integral múltipla, como um todo, junta estes pequenos pedaços, é mais natural pensar em pedaços cujos volumes podem ser expressos em função de variações para coordenadas individuais. Isto se tornará mais claro à medida que você avançar na leitura.

Conforme o tamanho desses blocos se aproxima de zero, a curva vai se tornando tão insignificante que podemos tratá-los como prismas retangulares. Uma borda,

d r

, representa uma pequena variação no comprimento da distância a partir da origem:

As duas outras bordas estão relacionadas às pequenas variações nas outras duas coordenadas,

d θ

d ϕ

. No entanto, já que $θ$ ‍ e $ϕ$ ‍ estão medidas em radianos, e não em uma unidade de comprimento, esses valores devem ser multiplicados por uma unidade de comprimento para refletir corretamente os comprimentos das arestas em nosso prisma retangular.

Por exemplo, a borda que representa uma variação em

ϕ

tem comprimento

r d ϕ

A borda que representa uma variação em

θ

é um pouco mais complicada. Esta borda é parte de um círculo que se envolve ao redor do eixo

z

, e o raio deste círculo não é

r

, mas

r sen (ϕ)

. Isso significa que o comprimento do arco, em razão de uma pequena variação em

θ

, é

r sen (ϕ) d θ

Isso pode ser confuso no início, então pode valer a pena um momento de contemplação para garantir que você compreendeu como isso funciona.

Em resumo, podemos expressar o volume do nosso bloco "retangular" em função de

d r

d ϕ

d θ

pegando o produto de todos os seus comprimentos de lado.

$d V = (d r) (r d ϕ) (r sen (ϕ) d θ) = r^{2} sen (ϕ) d r d ϕ d θ$ ‍

Em outras palavras, quando você tem uma integral tripla,

$\begin{array}{r} ∭_{R} f d V \end{array}$ ‍

e você decide expressar os limites e a função usando coordenadas esféricas, você não pode simplesmente substituir $d V$ ‍ por $d r d ϕ d θ$ ‍. Você também deve lembrar-se do termo

r^{2} sen (ϕ)

$\begin{array}{r} ∭_{R} f (r, θ, ϕ) r^{2} sen (ϕ) d r d ϕ d θ \end{array}$ ‍

Pessoalmente, nunca me lembro exatamente como expandir o termo

d V

de cabeça

"Era $sen (ϕ)$ ‍ ou $sen (θ)$ ‍... e é $r$ ‍ ou $r^{2}$ ‍...?"

Em vez disso, eu penso no processo que acabei de ilustrar acima, perguntando-me quais são os comprimentos de arco resultantes das variações em

ϕ

θ

Exemplo 1: volume de uma esfera revisitada

Este pode ser o exemplo inicial mais simples possível para integração tripla em coordenadas esféricas, mas ele nos permite calcular um fato interessante e importante: o volume de uma esfera.

Pergunta: qual é o volume de uma esfera de raio

R

Posicione a esfera tal que o seu centro fique na origem.

Se estivéssemos fazendo esta integral em coordenadas cartesianas, teríamos aquela feia, mas comum, situação na qual os limites das integrais internas são funções das variáveis externas. No entanto, como coordenadas esféricas são tão bem adequadas para descrever esferas reais, nossos limites são todos constantes.

Verificação de conceito: quais dos seguintes conjuntos de limites nas coordenadas

r

ϕ

θ

descrevem precisamente todos os pontos dentro de uma esfera de raio

R

(sem recapitular a esfera inteira várias vezes)?

[Resposta]

Usando estes limites, juntamente com o fato de que

d V = r^{2} sen (ϕ) d r d ϕ d θ

podemos começar a definir nossa integral assim:

\begin{array}{r} ∭_{Bola} d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{2} sen (ϕ) d r d ϕ d θ \end{array}

Verificação de conceito: resolva esta integral e aprecie o quanto ela é tranquila em comparação com outras integrais triplas desagradáveis que você pode ter encontrado.

\begin{array}{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{2} sen (ϕ) d r d ϕ d θ = \end{array}

[Resposta]

Se tiver coragem, imagine-se tentando fazer esta integral em coordenadas cartesianas. Que pesadelo! Isso nos deixa uma importante lição:

Conclusão importante: se você estiver integrando sobre uma região com alguma simetria esférica, passar para coordenadas esféricas pode tornar os limites muito mais fáceis de trabalhar.

Exemplo 2: integrando uma função

Integre a função

f (x, y, z) = x + 2 y + 3 z

na região do primeiro octante em que

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3

[Qual é o "primeiro octante"?]

Etapa 1: expressar a região em coordenadas esféricas.

Como você poderia saber que deveríamos passar para coordenadas esféricas? Poderíamos fazer esta integral toda em coordenadas cartesianas, não poderíamos? Coordenadas cilíndricas também funcionariam.

O fato de nosso limite incluir a condição

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 3

é uma descrição da distância entre pontos da nossa região e a origem. Como a coordenada esférica

r

expressa precisamente esta ideia, podemos nos sentir seguros de que descrever a fronteira de nossa região usando

r

tornará os limites de nossas três integrais mais simples do que se fizéssemos isso em função de

x

y

z

Especificamente, esta condição se torna

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + z^{2} & \leq 3 \\ r^{2} & \leq 3 \\ r & \leq \sqrt{3} \end{aligned}

Verificação de conceito: e quanto a

θ

ϕ

? Que limites devemos usar nestas duas coordenadas para manter nossa integral dentro do primeiro octante?

\leq θ \leq

\leq ϕ \leq

[Resposta]

Etapa 2: expressar a função em coordenadas esféricas

A seguir, convertemos a função

f (x, y, z) = x + 2 y + 3 z

em coordenadas esféricas. Para fazer isso, usamos as conversões para cada coordenada cartesiana individual.

$x = r sen (ϕ) \cos (θ)$ ‍
$y = r sen (ϕ) sen (θ)$ ‍
$z = r \cos (ϕ)$ ‍

Ao inserirmos cada uma destas, obtemos

$\begin{aligned} f (x, y, z) & = x + 2 y + 3 z \\ = r sen (ϕ) \cos (θ) + 2 r sen (ϕ) sen (θ) + 3 r \cos (ϕ) \\ = r (sen (ϕ) \cos (θ) + 2 sen (ϕ) sen (θ) + 3 \cos (ϕ)) \end{aligned}$ ‍

Você pode dizer que isto torna as coisas mais complicadas do que eram em coordenadas cartesianas. E você está certo! Mas em se tratando de integrais triplas, uma função mais complicada é um preço relativamente pequeno a ser pago para ter limites constantes.

Etapa 3: calcular a integral tripla

Verificação de conceito: juntando as duas últimas etapas, qual é a integral que precisamos resolver?

(Escolha A)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3} r (sen (ϕ) \cos (θ) + 2 sen (ϕ) sen (θ) + 3 \cos (ϕ)) r^{2} sen (ϕ) d r d θ d ϕ \end{array}$ ‍
(Escolha B)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{\sqrt{3}} r (sen (ϕ) \cos (θ) + 2 sen (ϕ) sen (θ) + 3 \cos (ϕ)) r^{2} sen (ϕ) d r d θ d ϕ \end{array}$ ‍
(Escolha C)
$\begin{array}{r} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{\sqrt{3}} r (sen (ϕ) \cos (θ) + 2 sen (ϕ) sen (θ) + 3 \cos (ϕ)) d r d θ d ϕ \end{array}$ ‍

Finalizando: resolva essa integral!

Integral da pergunta anterior:

[Resposta]

Resumo

Quando você executa uma integral tripla, se você decide descrever a função e as fronteiras de sua região utilizando coordenadas esféricas, $(r, ϕ, θ)$ ‍, o ínfimo volume $d V$ ‍ deve se expandir assim:
$\begin{aligned} ∭_{R} f (r, ϕ, θ) d V \\ = ∭_{R} f (r, ϕ, θ) (d r) (r d ϕ) (r sen (ϕ) d θ) \\ = ∭_{R} f (r, ϕ, θ) r^{2} sen (ϕ) d θ d ϕ d r \end{aligned}$ ‍
O termo-chave para lembrar (ou derivar novamente) é $r^{2} sen (ϕ)$ ‍
Converter para coordenadas esféricas pode facilitar a resolução de integrais triplas quando a região sobre a qual você está integrando tem alguma simetria esférica.

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karapow.22
Publicado há há 4 meses. Link direto para a postagem “Okay mas não tem mais nad...” de karapow.22
Okay mas não tem mais nada sobre o que fazer caso o domínio não seja uma esfera centrada na origem. Os exercícios que são propostos consideram esses casos não particulares
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