Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Exemplo do rotacional 2d
Um exemplo resolvido do cálculo e interpretação do rotacional bidimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal!
Tudo bem? Vamos, então, calcular a rotação
bidimensional de um campo vetorial. Este em questão terá o componente
"x" de y³ - 9 vezes "y". E o componente "y" será x³
menos 9 vezes "x". Vamos lembrar aqui do último vídeo, onde foi mostrada a rotação bidimensional e explicada em um campo vetorial. Então, a rotação do campo vetorial "v", que é uma função de "x" e "y",
é igual à derivada parcial de "Q", o segundo componente,
em relação a "x", menos a derivada parcial de "P", o primeiro componente,
em relação a "y". E pensando um pouco
mais aprofundado nisso, do porquê isto realmente acontece, esta parcial "Q" e a parcial "x" é porque conforme você move
da esquerda para a direita, os vetores tendem a ter
um componente "y" pequeno ou até mesmo negativo,
que vai até o componente "y" positivo. E isto corresponde com
uma rotação anti-horária. E de forma semelhante, este "DP" e este "dy" é porque quando você move os
vetores para cima e para baixo, você aumenta o valor "y", que vai de positivo a zero e,
depois é negativo. E nesta situação, mesmo
caso esteja decrescendo, também iria corresponder com
uma rotação anti-horária. E pegar o negativo disso tudo nos dirá
se as mudanças na direção "y" entorno do seu ponto, correspondem ou não
à rotação em sentido anti-horário. Sendo assim, neste caso em particular, começamos olhando para a parcial "Q"
em relação a "x". E basicamente nisto, estamos olhando para o segundo componente e pegando a sua derivada parcial
em relação a "x", onde nesta situação nada
além de "x" aparece. Então, pegamos a sua derivada
e conseguimos 3x² - 9. E esta é a primeira parte, depois subtraímos a derivada parcial
de "P" em relação a "y". Então, fica 3y²,
derivada do y³ menos 9. Então, o que temos aqui agora
é a nossa rotação bidimensional. E vamos entender o que
isso realmente significa. Este campo vetorial
que temos agora é correspondente com esta animação aqui, onde tem estas partes que tem
uma rotação positiva e outras negativas. E ao observarmos o campo, conseguimos o porquê destes números
serem correspondentes com a animação. E agora, ao observarmos a região
onde deveria ter uma rotação positiva, aqui é onde fica "x = 3"
e "y = 0". Então, se dissermos que "x = 3"
e "y = 0", toda esta fórmula se torna, então, 3 vezes 3² - 9. Agora, menos a quantidade
que estamos utilizando como valor. Estamos utilizando "y". Então, "3y² = 0", pois "y = 0",
menos 9. Então, esta parte aqui. Então, 3 vezes 3² = 27, menos 9, isto nos dá 18. Então, estamos subtraindo
um 9 negativo que, na verdade, vamos somar. E isto tudo dá 27,
um valor positivo. E por ser positivo, explica o porquê de ao olharmos
a representação, termos uma rotação
anti-horária na região. Mas e se mudássemos
e disséssemos que "y = 3" e "x = 0"? Fizemos tudo isso, mas agora
o nosso "x" é zero e nosso "y" é 3. E vamos dar uma olhada
no campo onde eles estão. "x = 0" está aqui. E seguindo estas marcas que são 0,5, o nosso "y" vai estar aqui
correspondendo ao nosso 3. Ele está na região de rotação horária, e se dermos início à animação, conseguimos ver claramente
a rotação em sentido horário. E, por isso, aqui nesta situação
vamos esperar o valor negativo. E indo para nossa conta,
nós mudamos toda a função. Então, agora substituímos
o valor de "x" para zero. Então, fica 3 vezes zero,
menos 9. Então, estamos subtraindo 3 vezes y²
que fica 3 vezes 3². Depois, menos 9. E esta parte aqui é zero menos 9. Então, torna-se 9 negativo. E aqui estamos subtraindo 27 - 9,
que fica 18. Então, estamos subtraindo 18. E o valor total que temos agora é -27. E lembremos que por
este valor 27 ser negativo, ele corresponde à rotação horária
que estamos tendo naquela região. Caso você fosse simplesmente ficar
substituindo os números algumas vezes, provavelmente acabasse notando
que se você colocar zero para "x" e zero para "y", estes 9 se cancelariam. E, por isso, não teria uma
rotação ao redor da origem, como observado aqui no nosso campo. E você pode entender
sobre cada um dos pontos e sua rotação geral simplesmente
utilizando esta fórmula que mostramos para rotação bidimensional. E, claro, substituindo os "x" e "y"
pelos valores correspondentes. E esta é uma ferramenta bem poderosa, porque você acredita que é algo
bem complicado para se entender. No qual se eu te der este
fluxo de fluido e disser: eu quero que você descubra
o número que irá me dizer a direção geral e a força de rotação
ao redor de cada ponto. Isto iria parecer bem complicado, além de ser muita informação. E esta fórmula ajuda a resolver isto. E, claro, é prático por temos uma
fórmula como esta que é bem compacta. Ajuda bastante! E é isso, pessoal! Espero que tenham aprendido. E até a próxima!