Exemplo do rotacional 2d

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos, então, calcular a rotação bidimensional de um campo vetorial. Este em questão terá o componente "x" de y³ - 9 vezes "y". E o componente "y" será x³ menos 9 vezes "x". Vamos lembrar aqui do último vídeo, onde foi mostrada a rotação bidimensional e explicada em um campo vetorial. Então, a rotação do campo vetorial "v", que é uma função de "x" e "y", é igual à derivada parcial de "Q", o segundo componente, em relação a "x", menos a derivada parcial de "P", o primeiro componente, em relação a "y". E pensando um pouco mais aprofundado nisso, do porquê isto realmente acontece, esta parcial "Q" e a parcial "x" é porque conforme você move da esquerda para a direita, os vetores tendem a ter um componente "y" pequeno ou até mesmo negativo, que vai até o componente "y" positivo. E isto corresponde com uma rotação anti-horária. E de forma semelhante, este "DP" e este "dy" é porque quando você move os vetores para cima e para baixo, você aumenta o valor "y", que vai de positivo a zero e, depois é negativo. E nesta situação, mesmo caso esteja decrescendo, também iria corresponder com uma rotação anti-horária. E pegar o negativo disso tudo nos dirá se as mudanças na direção "y" entorno do seu ponto, correspondem ou não à rotação em sentido anti-horário. Sendo assim, neste caso em particular, começamos olhando para a parcial "Q" em relação a "x". E basicamente nisto, estamos olhando para o segundo componente e pegando a sua derivada parcial em relação a "x", onde nesta situação nada além de "x" aparece. Então, pegamos a sua derivada e conseguimos 3x² - 9. E esta é a primeira parte, depois subtraímos a derivada parcial de "P" em relação a "y". Então, fica 3y², derivada do y³ menos 9. Então, o que temos aqui agora é a nossa rotação bidimensional. E vamos entender o que isso realmente significa. Este campo vetorial que temos agora é correspondente com esta animação aqui, onde tem estas partes que tem uma rotação positiva e outras negativas. E ao observarmos o campo, conseguimos o porquê destes números serem correspondentes com a animação. E agora, ao observarmos a região onde deveria ter uma rotação positiva, aqui é onde fica "x = 3" e "y = 0". Então, se dissermos que "x = 3" e "y = 0", toda esta fórmula se torna, então, 3 vezes 3² - 9. Agora, menos a quantidade que estamos utilizando como valor. Estamos utilizando "y". Então, "3y² = 0", pois "y = 0", menos 9. Então, esta parte aqui. Então, 3 vezes 3² = 27, menos 9, isto nos dá 18. Então, estamos subtraindo um 9 negativo que, na verdade, vamos somar. E isto tudo dá 27, um valor positivo. E por ser positivo, explica o porquê de ao olharmos a representação, termos uma rotação anti-horária na região. Mas e se mudássemos e disséssemos que "y = 3" e "x = 0"? Fizemos tudo isso, mas agora o nosso "x" é zero e nosso "y" é 3. E vamos dar uma olhada no campo onde eles estão. "x = 0" está aqui. E seguindo estas marcas que são 0,5, o nosso "y" vai estar aqui correspondendo ao nosso 3. Ele está na região de rotação horária, e se dermos início à animação, conseguimos ver claramente a rotação em sentido horário. E, por isso, aqui nesta situação vamos esperar o valor negativo. E indo para nossa conta, nós mudamos toda a função. Então, agora substituímos o valor de "x" para zero. Então, fica 3 vezes zero, menos 9. Então, estamos subtraindo 3 vezes y² que fica 3 vezes 3². Depois, menos 9. E esta parte aqui é zero menos 9. Então, torna-se 9 negativo. E aqui estamos subtraindo 27 - 9, que fica 18. Então, estamos subtraindo 18. E o valor total que temos agora é -27. E lembremos que por este valor 27 ser negativo, ele corresponde à rotação horária que estamos tendo naquela região. Caso você fosse simplesmente ficar substituindo os números algumas vezes, provavelmente acabasse notando que se você colocar zero para "x" e zero para "y", estes 9 se cancelariam. E, por isso, não teria uma rotação ao redor da origem, como observado aqui no nosso campo. E você pode entender sobre cada um dos pontos e sua rotação geral simplesmente utilizando esta fórmula que mostramos para rotação bidimensional. E, claro, substituindo os "x" e "y" pelos valores correspondentes. E esta é uma ferramenta bem poderosa, porque você acredita que é algo bem complicado para se entender. No qual se eu te der este fluxo de fluido e disser: eu quero que você descubra o número que irá me dizer a direção geral e a força de rotação ao redor de cada ponto. Isto iria parecer bem complicado, além de ser muita informação. E esta fórmula ajuda a resolver isto. E, claro, é prático por temos uma fórmula como esta que é bem compacta. Ajuda bastante! E é isso, pessoal! Espero que tenham aprendido. E até a próxima!