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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Fórmula do rotacional 2d
Aqui nós elaboramos para chegar à fórmula para calcular o rotacional bidimensional de um campo vetorial, raciocinando sobre qual derivada parcial corresponde à rotação do fluído. Versão original criada por Grant Sanderson.
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- o videos e bom mais no meu computador nao sai som(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal.
Tudo bem? Após a introdução da noção
de rotação fluida em um campo vetorial, vamos começar a transformar isso
em algo que podemos aplicar em fórmulas. Então, um campo vetorial como este
que eu tenho aqui, que é bidimensional, é dado pela função que tem uma
entrada bidimensional e uma saída bidimensional. E é comum escrever os componentes
desta saída como as funções "P" e "Q". Então, cada um destes "P" e "Q" levam
duas diferentes variáveis como entrada. E o que vamos falar aqui
é sobre esta rotação. Então, você pode escrever
com Rot de "v". "v" é o campo vetorial
que recebe as entradas e Rot aqui representando a rotação. E por este ser um
exemplo bidimensional, para distinguirmos
da rotação tridimensional, e vamos nos aprofundar futuramente, iremos chamá-la de rotação 2D de "v". Pense nisso como uma diferencial. Do mesmo jeito que
você tem uma derivada, "dx" vai assumir uma função. E você atribuindo
a ele uma função, ele lhe dá uma outra
nova função, a derivada. E usando isso como base, aqui você pode pensar nesta rotação
bidimensional como um operador. Você dá para ele uma equação, uma função de campo vetorial, e ele lhe dá uma outra nova função
que neste caso será um valor escalar. E o motivo de ser escalar é porque
a cada ponto que nos é dado, você quer que isso
retorne um número. Então, ao observarmos
o campo vetorial que temos, nós queremos olhar
no ponto como este, onde tem muita rotação
anti-horária acontecendo e seria onde a nossa função de rotação
iria nos retornar um valor positivo. Entretanto, no ponto como este onde tem muita rotação horária
acontecendo ao redor, você quer que a nossa função
nos retorne um valor negativo. Sendo assim, vamos começar a pensar no que isso realmente deve significar. Um bom jeito de entender toda
esta função de rotação bidimensional e pegar o jeito com a coisa, é imaginar a rotação bidimensional
em seu mais puro sentido. Sendo assim, vamos dizer que você
tenha um ponto (x, y), parado em algum lugar no espaço. E vamos dizer que nenhum
vetor está anexado nele. A sua situação em valores seria
"P", "Q", "x" e "y" iguais a zero. Depois, vamos dizer que à direita dele você tem um vetor apontando
diretamente para cima. Em cima dele, no campo vetorial, você tem um vetor apontando
diretamente para a esquerda. E à esquerda dele você tem
um apontando diretamente para baixo. Abaixo dele, você
tem um para a direita. Em termos de função, significa que quando
à direita deste vetor, independentemente do ponto
que seja colocado, o "Q" vai ser maior que zero. Assim, esta função de "Q"
corresponde com o componente "y". Componente de cima e de baixo
de cada vetor calculado nesta situação. Para a direita do nosso ponto (x, y) o "Q" vai ser maior que zero, enquanto que se você calcular
aqui da esquerda, "Q" iria ser menor que zero. E menor que zero, a nossa rotação seria positiva. E depois, então, esta parte de baixo. Pensando nisso, iríamos ter
um vetor para a direita abaixo, um vetor para a esquerda acima independentemente do ponto
que você avalia isto, o "P" que nos dá o componente
esquerdo e direito destes vetores, por ele ser o primeiro componente
de saída, seria positivo. Então, indo em cima que quando
você calcula o "Q" neste ponto ele seria negativo. E vendo "P", nos lados direito
e esquerdo, ficaria igual a zero. Já que ele não possui componente "x". E de forma semelhante, isso também acontece com "Q". Onde se você fizesse nos
pontos de cima e de baixo, como não teríamos os
componentes destes vetores, também seria zero. E vale o destaque que
este é um cenário bem específico e bem artificial no qual estamos olhando. Dada a situação, ao olharmos as informações
em específico agora a derivada parcial sobre "P" e "Q", em um cenário como este
conseguiríamos um jeito de quantificar a ideia de rotação. Primeiro, vamos olhar para o "P". "P" inicia positivo, e quando o nosso "y" cresce, o nosso valor de entrada "y" vai de positivo ao zero, até o negativo. Portanto, podemos esperar que a derivada parcial de "P"
em relação ao "y" seria negativa, já que na medida em que mudamos
o componente "y", movendo-o acima, e olhamos o componente
"x" e os vetores, este é o nosso cenário. E realmente devia ser em circunstância
se queremos uma rotação positiva. E é o que de fato
corresponde aqui. Agora, vamos dar
uma olhada no quê? Ele inicia negativo,
quando está na esquerda. Depois, se torna zero. Depois, positivo. A partir daí, quando "x" cresce,
"Q" cresce. Então, esperamos que
a derivada parcial de "Q" com relação a "x" seja positiva. Ou ao menos, situações
onde a derivada parcial de "Q" em relação a "x",
que são positivas, correspondam com a rotação
positiva bidimensional. E estas informações, vão nos dizer
tudo o que precisamos saber. Nós podemos dizer,
como fórmula agora, que a rotação bidimensional
de nosso campo vetorial "v" como função de "x" e "y" é igual à derivada parcial de "Q" com relação a "x" e, depois, iria subtrair o parcial
de "P" em relação "y". Isto porque eu quero que,
quando negativo, ele corresponda a uma
rotação bidimensional positiva. Então, irei subtrair a parcial de "P"
em relação a "y". E isto aqui é a fórmula para
a rotação bidimensional. Você pode usar isto
como uma medida para qualquer momento
em que se pergunte o quanto as informações
que você possui se parecem com esta rotação
anti-horária perfeita que criamos. Lembremos, o quanto mais
parecido com esta situação, maior será o valor positivo obtido. E caso fosse o oposto, tendo uma rotação horária, cada um dos valores
iriam se tornar negativos. Então, a rotação bidimensional
seria negativa. E, no próximo vídeo, iremos ver exemplos
de como utilizar esta fórmula. E é isto aí, pessoal! Eu espero que tenham aprendido. Até a próxima!