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Fórmula do rotacional 2d

Aqui nós elaboramos para chegar à fórmula para calcular o rotacional bidimensional de um campo vetorial, raciocinando sobre qual derivada parcial corresponde à rotação do fluído. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Olá, pessoal. Tudo bem? Após a introdução da noção de rotação fluida em um campo vetorial, vamos começar a transformar isso em algo que podemos aplicar em fórmulas. Então, um campo vetorial como este que eu tenho aqui, que é bidimensional, é dado pela função que tem uma entrada bidimensional e uma saída bidimensional. E é comum escrever os componentes desta saída como as funções "P" e "Q". Então, cada um destes "P" e "Q" levam duas diferentes variáveis como entrada. E o que vamos falar aqui é sobre esta rotação. Então, você pode escrever com Rot de "v". "v" é o campo vetorial que recebe as entradas e Rot aqui representando a rotação. E por este ser um exemplo bidimensional, para distinguirmos da rotação tridimensional, e vamos nos aprofundar futuramente, iremos chamá-la de rotação 2D de "v". Pense nisso como uma diferencial. Do mesmo jeito que você tem uma derivada, "dx" vai assumir uma função. E você atribuindo a ele uma função, ele lhe dá uma outra nova função, a derivada. E usando isso como base, aqui você pode pensar nesta rotação bidimensional como um operador. Você dá para ele uma equação, uma função de campo vetorial, e ele lhe dá uma outra nova função que neste caso será um valor escalar. E o motivo de ser escalar é porque a cada ponto que nos é dado, você quer que isso retorne um número. Então, ao observarmos o campo vetorial que temos, nós queremos olhar no ponto como este, onde tem muita rotação anti-horária acontecendo e seria onde a nossa função de rotação iria nos retornar um valor positivo. Entretanto, no ponto como este onde tem muita rotação horária acontecendo ao redor, você quer que a nossa função nos retorne um valor negativo. Sendo assim, vamos começar a pensar no que isso realmente deve significar. Um bom jeito de entender toda esta função de rotação bidimensional e pegar o jeito com a coisa, é imaginar a rotação bidimensional em seu mais puro sentido. Sendo assim, vamos dizer que você tenha um ponto (x, y), parado em algum lugar no espaço. E vamos dizer que nenhum vetor está anexado nele. A sua situação em valores seria "P", "Q", "x" e "y" iguais a zero. Depois, vamos dizer que à direita dele você tem um vetor apontando diretamente para cima. Em cima dele, no campo vetorial, você tem um vetor apontando diretamente para a esquerda. E à esquerda dele você tem um apontando diretamente para baixo. Abaixo dele, você tem um para a direita. Em termos de função, significa que quando à direita deste vetor, independentemente do ponto que seja colocado, o "Q" vai ser maior que zero. Assim, esta função de "Q" corresponde com o componente "y". Componente de cima e de baixo de cada vetor calculado nesta situação. Para a direita do nosso ponto (x, y) o "Q" vai ser maior que zero, enquanto que se você calcular aqui da esquerda, "Q" iria ser menor que zero. E menor que zero, a nossa rotação seria positiva. E depois, então, esta parte de baixo. Pensando nisso, iríamos ter um vetor para a direita abaixo, um vetor para a esquerda acima independentemente do ponto que você avalia isto, o "P" que nos dá o componente esquerdo e direito destes vetores, por ele ser o primeiro componente de saída, seria positivo. Então, indo em cima que quando você calcula o "Q" neste ponto ele seria negativo. E vendo "P", nos lados direito e esquerdo, ficaria igual a zero. Já que ele não possui componente "x". E de forma semelhante, isso também acontece com "Q". Onde se você fizesse nos pontos de cima e de baixo, como não teríamos os componentes destes vetores, também seria zero. E vale o destaque que este é um cenário bem específico e bem artificial no qual estamos olhando. Dada a situação, ao olharmos as informações em específico agora a derivada parcial sobre "P" e "Q", em um cenário como este conseguiríamos um jeito de quantificar a ideia de rotação. Primeiro, vamos olhar para o "P". "P" inicia positivo, e quando o nosso "y" cresce, o nosso valor de entrada "y" vai de positivo ao zero, até o negativo. Portanto, podemos esperar que a derivada parcial de "P" em relação ao "y" seria negativa, já que na medida em que mudamos o componente "y", movendo-o acima, e olhamos o componente "x" e os vetores, este é o nosso cenário. E realmente devia ser em circunstância se queremos uma rotação positiva. E é o que de fato corresponde aqui. Agora, vamos dar uma olhada no quê? Ele inicia negativo, quando está na esquerda. Depois, se torna zero. Depois, positivo. A partir daí, quando "x" cresce, "Q" cresce. Então, esperamos que a derivada parcial de "Q" com relação a "x" seja positiva. Ou ao menos, situações onde a derivada parcial de "Q" em relação a "x", que são positivas, correspondam com a rotação positiva bidimensional. E estas informações, vão nos dizer tudo o que precisamos saber. Nós podemos dizer, como fórmula agora, que a rotação bidimensional de nosso campo vetorial "v" como função de "x" e "y" é igual à derivada parcial de "Q" com relação a "x" e, depois, iria subtrair o parcial de "P" em relação "y". Isto porque eu quero que, quando negativo, ele corresponda a uma rotação bidimensional positiva. Então, irei subtrair a parcial de "P" em relação a "y". E isto aqui é a fórmula para a rotação bidimensional. Você pode usar isto como uma medida para qualquer momento em que se pergunte o quanto as informações que você possui se parecem com esta rotação anti-horária perfeita que criamos. Lembremos, o quanto mais parecido com esta situação, maior será o valor positivo obtido. E caso fosse o oposto, tendo uma rotação horária, cada um dos valores iriam se tornar negativos. Então, a rotação bidimensional seria negativa. E, no próximo vídeo, iremos ver exemplos de como utilizar esta fórmula. E é isto aí, pessoal! Eu espero que tenham aprendido. Até a próxima!