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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Nuances do rotacional 2d
O significado do rotacional positivo em um fluxo de fluído às vezes pode parecer um pouco diferente do exemplo simples da rotação ao redor de um ponto discutida nos vídeos anteriores. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal.
Tudo bem? Na última série de vídeos,
temos falado sobre a rotação. Onde temos o campo vetorial
bidimensional "V", definido com as funções
componentes "P" e "Q". Também foi dito que a rotação
bidimensional desta função "V", te dá uma nova função que também
pega as entradas "x" e "y". E sua fórmula é a derivada
parcial de "Q" em relação a "x", menos a derivada parcial de "P"
em relação a "y". E eu realmente espero que isto seja além de simplesmente
uma fórmula para você. E você realmente tenha conseguido
entender como isso representa a rotação de um fluido
em duas dimensões. Mas o que iremos
mostrar desta vez é como a visão para essa fórmula
talvez seja simplificada até demais. Pois, por exemplo,
se olharmos neste ponto, a parcial "Q" com
o componente parcial "x", pelo que foi dito anteriormente, "Q", a partir de certo ponto,
inicia de maneira negativa e, então, o componente de saída
"y" seria negativo. E quando você move na direção "x", vai a zero e depois fica positivo. E neste cenário em particular, fica ao menos um pouco claro do porquê disso corresponder como
a rotação anti-horária no fluído. Mas, isso no final das contas é somente uma situação bem específica, onde a parcial "Q" e a parcial "x" sendo positiva,
poderia ficar deste jeito. Entretanto, em outro cenário,
também poderia parecer com "Q" iniciando
de forma positiva, e conforme move na direção "x", vai se tornando mais
e mais positiva. E de acordo com a fórmula,
isto deveria contribuir com a rotação positiva, tanto quanto como neste exemplo
de redemoinho de rotação anti-horária. E para ilustrar o que isto iria parecer, ao darmos uma olhada
no campo vetorial, focando ao centro concordamos
que este é um exemplo nítido de um redemoinho com rotação anti-horária. E caso sigamos o fluxo do fluido, ele realmente rotaciona
em sentido anti-horário na região, mas contrasta com
este aqui na direita que não parece realmente
uma rotação. Na verdade, parece que
as partículas do fluido simplesmente estão
passando por ele. Só que, na realidade, a rotação nesta região vai ser
tão forte quanto nesta. E eu iria mostrar logo para
vocês isto como uma fórmula. Mas, primeiro, a imagem
que você precisa ter agora é de uma roda com remos. Que tem, mais ou menos,
esta aparência. Também precisa visualizar a situação, onde caso esta roda fosse
simplesmente jogada neste fluxo, sairia voando por não ter o que segurar. Então, usando o seu polegar, você estaria segurando
esta roda no fluxo. E tendo esta imagem agora, vamos dizer que você está
segurando isto para baixo, pressionando com o seu polegar, mas está livre para
girar normalmente. Você está liberando a rotação. E os vetores, à sua esquerda,
estão apontando para cima, mas são mais fracos do que
os vetores em sua direita que também são maiores. Tendo toda esta situação
com sua roda, quando você for usar
a rotação fluída, segurando o seu polegar para baixo, mas deixando a roda girar livremente, irá rotacionar como aqui. O que ajuda muito para
a visualização do exemplo. Em termos de fórmula, isto tudo é porque em uma
situação como esta aqui, onde "Q" vai do negativo
para zero e depois positivo, deve ser tratada como a mesma situação,
como esta. Pelo menos no que se diz sobre
a rotação bidimensional. Porque este termo na fórmula da rotação
bidimensional vai vir do mesmo jeito para qualquer um destes. E é curioso que a rotação não é algo que matemáticos
e físicos chegaram tentando entender o fluxo de um fluido. Na verdade, eles
encontraram este termo como significativo há várias
outras fórmulas e circunstâncias. E, provavelmente, foi
o eletromagnetismo que originou. E eles, ao tentarem
entender esta fórmula, perceberam que isso poderia ter
uma interpretação bem profunda no fluxo de um fluído, dando uma compreensão sobre
o que está além dos símbolos. Então, agora, vamos a este exemplo
em termos de fórmula que representa o campo vetorial. E sendo bem franco,
é uma fórmula bem direta. Então, "P" e "Q", o componente "x" vai ser "y" negativo e o componente "y" no "Q" é igual a "x". Então, aplicamos a nossa fórmula
de rotação bidimensional, aplicamos também a nossa parcial "Q"
em relação a "x". Assim, temos a parcial deste
segundo componente em relação a "x", que é 1. Deste modo, subtraímos a parcial "P"
em relação a "y", onde aqui -1, pois p = -y. E, assim, a rotação
bidimensional é igual a 2. E, em específico, um 2 constante que não
depende de "x" ou "y". O que é bem atípico, já que na maioria
das vezes que você aplica a rotação bidimensional
a um campo vetorial, você vai conseguir algum tipo
de função de "x" e "y". Mas o fato que isso é constante, nos diz que quando olharmos
no fluxo de fluido no sentido de rotação, a fórmula de rotação
vai nos dizer que a rotação que acontece
ao redor do centro é tão forte quanto à suposta
de acontecer aqui na direita, ou em qualquer lugar
do plano para esta situação. Então, se estamos
utilizando disto e você imagina sua roda
com remos no centro, evidentemente, ela estaria rotacionando
tão rápido quanto a roda na direita. Você pode pensar: mas, poxa, pode ter mais força
em um lado da rotação no nosso exemplo de roda. E, realmente, em um cenário
real isso pode acontecer. No entanto, para auxílio de visualização, utilizamos isso como exemplo. Justamente, para ver o que
a fórmula está representando. E, neste caso, uma rotação
anti-horária bem nítida. E é importante entender o que mais a rotação
bidimensional pode parecer, e o que mais esta fórmula
pode estar representando. E é isso, pessoal! Espero que tenham aprendido. E até a próxima!