Exemplo de cálculo do rotacional 3d

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos aqui, então, calcular a rotação. Temos aqui a nossa função de valor vetorial v, que é uma função de (x,y,z) e é tridimensional. Ela é definida por funções nas quais o primeiro concorrente é x vezes y, o segundo é o cosseno de z e por fim o último componente é z² mais y. Tendo essas informações, como calcularíamos essa função de valor vetorial? E eu respondo: faremos igual ao trabalhado no último vídeo. Você usa esse operador del pegando o produto vetorial entre ele e a sua função de valor vetorial e quando você expande o operador del, você o preenche com operadores de diferencial parcial, que no final das contas terão somente os símbolos “∂/∂x", “∂/∂y" e “∂/∂z" [parcial, parcial]. Iremos pegar o produto vetorial entre isso e a função que temos. Então vamos simplesmente copiá-la para esse lado. Para calcular esse produto vetorial utilizamos uma certa determinante, determinante essa aqui é uma matriz 3 por 3. Dizemos "matriz" aqui, mas cada um desses componentes são bem estranhos para uma, mas enfim. A fileira do topo, que teríamos independentemente do produto vetorial que estaria sendo utilizado, tem dentro de si as unidades vetoriais i, j e k que ficam no espaço tridimensional. Já a segunda fileira teria todos esses operadores de diferencial parcial, já que seria o nosso primeiro vetor no nosso produto vetorial. Então seria “∂/∂x", “∂/∂y" e “∂/∂z". Como dito anteriormente, eles serão utilizados em uma função e estão esperando somente que recebam uma na qual possam pegar a derivada. Seguindo, teremos então a terceira fileira, na qual seriam as funções que temos. O primeiro componente é xy, o segundo é o cosseno de z e o último é z² mais y. Vamos descer aqui um pouco para ficar melhor a visualização. Essa é a determinante que precisamos calcular e isso tudo será separado em três diferentes partes. Na primeira nós pegamos essa parte na esquerda superior e a multiplicamos pela determinante dessa submatriz. Ao utilizar essa subdeterminante, pegaremos a derivada parcial em relação a y de z² mais y. E no que se refere ao y, z² é uma constante e sendo assim, a derivada parcial disso tudo aqui é 1. Depois vamos subtrair a derivada parcial em relação a z do cosseno de z o qual parece com a derivada do cosseno z, e neste caso seria, então, seno negativo. Temos então seno negativo de z. Isso aqui é a primeira parte. Na próxima iremos pegar j, mas estaríamos subtraindo porque, como foi dito anteriormente, você pensa nesses elementos de cima sempre como mais, menos e mais quando se está fazendo esse tipo de determinante. Então iremos subtrair j, multiplicado pelo seu próprio subdeterminante, e dessa vez esse subdeterminante irá envolver duas das colunas que não fazem parte. Pois bem, você estaria pensando nessa primeira coluna e nessa segunda como parte da matriz. A primeira coisa que você faz aqui é pegar a derivada parcial em relação a x de z² mais y. Nenhum x aparece aqui, certo? É z² mais y. Cada um parece uma constante no que se refere a x, então teremos aqui zero. Depois pegamos a derivada parcial em relação a z de x vezes y e nenhum z aparece aqui também, certo? Então também seria zero e estaríamos subtraindo esse zero aqui. Agora, para o nosso último componente k, ele é multiplicado pela determinante dessa submatriz das colunas que não fazem parte dele. Sendo assim, seria a derivada parcial em relação a x do cosseno z, no qual nenhum x aparece. Então seria zero. Depois subtrairemos a parcial em relação a y de x vezes y. x para essa constante e y, a variável. Então a derivada parcial é somente x e iríamos subtrair x. E se simplificarmos isso tudo teríamos como noção que a rotação do nosso campo vetorial como função de (x,y,z) é igual a... No primeiro componente, o componente i, temos 1 menos -seno de z. Menos com menos, então, 1 mais seno de z. Depois o componente j, no qual estaríamos subtraindo, vai ser zero. Geralmente temos a regra aqui, mas como os dois são zero, nosso concorrente j, ou componente y de saída, é zero. Por fim, o componente k, o qual é zero menos x, ou seja, x negativo. Essa é a rotação da função e esse é o jeito de se calcular: você dá uma olhada no jeito que a sua função é definida em cada componente aqui e depois pega esse símbolo “del”, essa “∂/∂x", “∂/∂y" e “∂/∂z" e pega o produto vetorial entre isso e a sua função. Isso envolve pegar seis diferentes derivadas parciais, e é tudo mais uma questão de se recordar bem para ter certeza de que vai fazer isso certo. No fim você teria algo como isso. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!