Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Exemplo de cálculo do rotacional 3d
Um exemplo resolvido do cálculo de um rotacional tridimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos aqui, então, calcular a rotação. Temos aqui a nossa
função de valor vetorial v, que é uma função de (x,y,z)
e é tridimensional. Ela é definida por funções nas quais
o primeiro concorrente é x vezes y, o segundo é o cosseno de z e por fim o último componente é z² mais y. Tendo essas informações,
como calcularíamos essa função de valor vetorial? E eu respondo: faremos igual ao trabalhado no último vídeo. Você usa esse operador del pegando o produto vetorial entre ele
e a sua função de valor vetorial e quando você expande o operador del,
você o preenche com operadores de diferencial parcial, que no final das contas
terão somente os símbolos “∂/∂x", “∂/∂y" e “∂/∂z" [parcial, parcial]. Iremos pegar o produto vetorial entre isso
e a função que temos. Então vamos simplesmente copiá-la para esse lado. Para calcular esse produto vetorial
utilizamos uma certa determinante, determinante essa aqui é uma matriz 3 por 3. Dizemos "matriz" aqui, mas cada um desses componentes
são bem estranhos para uma, mas enfim. A fileira do topo, que teríamos independentemente
do produto vetorial que estaria sendo utilizado, tem dentro de si as unidades vetoriais i, j e k que ficam no espaço tridimensional. Já a segunda fileira teria todos esses operadores
de diferencial parcial, já que seria o nosso primeiro vetor
no nosso produto vetorial. Então seria “∂/∂x",
“∂/∂y" e “∂/∂z". Como dito anteriormente,
eles serão utilizados em uma função e estão esperando somente que recebam
uma na qual possam pegar a derivada. Seguindo, teremos então a terceira fileira,
na qual seriam as funções que temos. O primeiro componente é xy, o segundo é o cosseno de z e o último é z² mais y. Vamos descer aqui um pouco
para ficar melhor a visualização. Essa é a determinante
que precisamos calcular e isso tudo será separado
em três diferentes partes. Na primeira nós pegamos essa parte na esquerda superior
e a multiplicamos pela determinante dessa submatriz. Ao utilizar essa subdeterminante, pegaremos a derivada parcial em relação a y
de z² mais y. E no que se refere ao y,
z² é uma constante e sendo assim, a derivada
parcial disso tudo aqui é 1. Depois vamos subtrair a derivada parcial em relação a z
do cosseno de z o qual parece com a derivada do cosseno z, e neste caso seria, então, seno negativo.
Temos então seno negativo de z. Isso aqui é a primeira parte. Na próxima iremos pegar j, mas estaríamos subtraindo
porque, como foi dito anteriormente, você pensa nesses elementos de cima
sempre como mais, menos e mais quando se está fazendo
esse tipo de determinante. Então iremos subtrair j,
multiplicado pelo seu próprio subdeterminante, e dessa vez esse subdeterminante
irá envolver duas das colunas que não fazem parte. Pois bem, você estaria pensando nessa primeira coluna
e nessa segunda como parte da matriz. A primeira coisa que você faz aqui é pegar a derivada parcial em relação a x
de z² mais y. Nenhum x aparece aqui, certo?
É z² mais y. Cada um parece uma
constante no que se refere a x, então teremos aqui zero. Depois pegamos a derivada parcial
em relação a z de x vezes y e nenhum z aparece aqui também, certo? Então também seria zero
e estaríamos subtraindo esse zero aqui. Agora, para o nosso último componente k, ele é multiplicado pela determinante dessa submatriz
das colunas que não fazem parte dele. Sendo assim, seria a derivada parcial em relação
a x do cosseno z, no qual nenhum x aparece. Então seria zero. Depois subtrairemos a parcial em relação a y
de x vezes y. x para essa constante
e y, a variável. Então a derivada parcial é somente x e iríamos subtrair x. E se simplificarmos isso tudo teríamos como noção que a rotação do nosso campo vetorial
como função de (x,y,z) é igual a... No primeiro componente, o componente i,
temos 1 menos -seno de z. Menos com menos, então, 1 mais seno de z. Depois o componente j, no qual
estaríamos subtraindo, vai ser zero. Geralmente temos a regra aqui, mas como os dois são zero, nosso concorrente j,
ou componente y de saída, é zero. Por fim, o componente k, o qual é zero menos x,
ou seja, x negativo. Essa é a rotação da função
e esse é o jeito de se calcular: você dá uma olhada no jeito que a sua função é definida
em cada componente aqui e depois pega esse símbolo “del”,
essa “∂/∂x", “∂/∂y" e “∂/∂z" e pega o produto vetorial entre isso
e a sua função. Isso envolve pegar seis
diferentes derivadas parciais, e é tudo mais uma questão de se recordar bem
para ter certeza de que vai fazer isso certo. No fim você teria algo como isso. É isso, pessoal. Espero que
tenham aprendido e até a próxima!