Fórmula do rotacional 3d - Parte 1

RKA3JV - Olá, pessoal. Tudo bem? Viemos, há alguns vídeos, trazendo o fundamento do que a rotação tridimensional vem tentando representar. E aqui vamos falar sobre como calculá-la. A rotação tridimensional é algo que você calcula tendo um campo vetorial tridimensional. Sendo assim, você pega como entrada um ponto tridimensional e a saída vai ser um vetor tridimensional. E é comum escrever os componentes desta função como o "P", "Q" e "R". E cada um destes é uma função de escala, o valor que pega o ponto tridimensional e traz como saída um número. Então, será o mesmo ponto com as coordenadas "x", "y" e "z". Assim, quando você tem um campo tridimensional como este, a imagem que você deve ter em mente é de algo como isso, onde de cada ponto do espaço tridimensional tem um vetor anexado. E quando olhamos este campo, vemos que tem muita coisa acontecendo, realmente. Mas, em princípio, o que realmente acontece é que cada ponto no espaço está associado com um vetor. O ponto no espaço é a entrada, e o vetor a saída. Você, simplesmente, está grudando-os. E, naturalmente, entre três dimensões de entrada e três dimensões de saída, temos seis dimensões. A imagem que você tem acaba ficando bem bagunçada sobre isso tudo. Mas, de qualquer forma, a questão aqui é como calcular este vetor de rotação que vínhamos falando. Escrevemos aqui como rotação da sua função de valor. E como um lembrete rápido do que isso deve ser, você tem algum tipo de fluxo fluído induzido por este campo vetorial, onde você está imaginando ar fluindo com cada vetor. E o que você quer é uma função que diga, dado qualquer ponto, a rotação induzida pelo fluxo de fluido ao redor do ponto. E pela rotação ser descrita como um vetor tridimensional, você está esperando que isso tenha um valor vetorial. E isso será igual a um vetor de saída. E caso isto não faça sentido para você, ou pareça meio confuso, talvez seja legal você dar uma olhada no vídeo que ensina como representar a rotação tridimensional com um vetor. Mas, pois bem, o que você vai ter aqui é algo que pega as entradas "x", "y" e "z". Ele pega um ponto tridimensional e traz como saída um vetor descrevendo a rotação. E temos uma notação que ajuda bastante quando calculamos isso. Você pega nabla (∇), aquele triângulo de cabeça para baixo que foi utilizado em divergência e gradiente, e você imagina pegando o produto vetorial entre isto e o seu vetor. E como um lembrete, você imagina esse nabla como um vetor contendo operadores de diferencial parcial. E é o tipo de coisa que quando você pensa alto parece um pouco extravagante. O vetor cheio de operadores de diferencial parcial. Porém, no final das contas, só vamos escrever um monte de símbolos. Esta parcial, parcial "x", é algo que você quer levar para uma função multivariável. E isso vai te dizer a sua derivada parcial de forma mais rígida. E isso, realmente, não faz sentido algum. Por que como o vetor vai conter estes operadores de diferencial parcial? O ponto é, esta série de movimentos simbólicos aqui são úteis para nos ajudar com tudo. Porque quando você está multiplicando-os por algo não é realmente multiplicação, você vai dar para eles uma função multivariável, como "P", "Q" ou "R", os componentes de função do nosso campo vetorial e calcular isso. E como um aquecimento, vamos ver o que iria aparecer caso fossem duas dimensões, onde já sabemos a fórmula para rotação bidimensional. O que iria aparecer seria, você tem uma menor e mais bidimensional. Assim sendo, somente parcial parcial "x" e parcial parcial "y". Este é o operador "del". Você vai pegar o produto vetorial entre eles e o vetor bidimensional que é somente as funções "P" e "Q". Neste caso, "P" e "Q" seriam somente funções de "x" e "y". Por este lado, temos um campo vetorial bidimensional que estamos dizendo que "P" e "y" são funções de escala, ou de valor, com uma entrada bidimensional. Porém, por aqui também estamos utilizando "P" e "Q" para representar com uma entrada tridimensional. Então, você deve pensar neles aqui separadamente, mas é comum usar os mesmos nomes. E vamos mover aqui um pouco para representar melhor o ponto mais complicado. Quando você calcula algo como isso, o produto vetorial, você geralmente pensa como se ele estivesse pegando estes componentes diagonais e os multiplicando. Então, aqui será a nossa parcial, parcial "x" multiplicada por "Q". Então, você subtrai este componente diagonal aqui, parcial parcial "y". Você precisa da parcial, parcial y(P). E é isso que você está subtraindo. Então, a parcial, parcial de y(P) somente é a derivada parcial da função "P" em relação a "y". E eu, realmente, espero que isso seja algo que você reconheça, pois esta é a rotação bidimensional, algo que já trabalhamos a lógica sobre. E eu quero que isso seja além de uma fórmula para você, algo que te tranquilize neste momento. Pois quando você pega o operador del, o símbolo nabla, e faz o produto vetorial com o valor da função, isso vai te dar um sentido de rotação. Agora, quando fazemos isso com um caso tridimensional, iremos pegar o produto vetorial tridimensional entre esta coisa vetorial e a função tridimensional. E se você não consegue seguir com facilidade ou tem muita dificuldade em calcular ou interpretar o produto vetorial, pode ser um momento legal para ver nossos vídeos que tratam disso, onde é elaborada a lógica sobre, explicando o que é e como calcular. E isto, porque a partir deste ponto, eu vou assumir que você sabe como calcular o produto vetorial, pois fazemos isso no contexto meio absurdo de operadores diferencial parcial e funções. Então, é importante ter esta base. E o jeito de calcular algo como isso é você construir uma determinante. Vamos um pouco mais embaixo aqui. Uma determinante de uma certa matriz 3 por 3. A fileira de cima são todas as unidades vetoriais e em várias direções no espaço tridimensional. Então, este "I", "J" e "K". "I" representa a unidade vetorial na direção "x". Então, "I" seria igual a: o componente "x" é 1, mas os outros componentes são zero. De forma semelhante, "J" e "K" representam unidades vetoriais, a direção "y" e "z". E, novamente, se não faz muito sentido do porquê estamos colocando-os aqui ou tem dúvidas do que vou fazer, é realmente ideal ver o vídeo sobre o produto vetorial. Enfim, colocamos estes na fileira de cima como vetores. E colocar os vetores dentro de uma matriz é o truque notacional para calcular o produto vetorial. Então, vamos pegar o primeiro vetor no qual estamos calculando o produto vetorial e colocar os seus componentes na próxima fileira. E vai parecer deste jeito, com a próxima fileira tendo uma parcial parcial "x", depois o segundo componente e o terceiro componente "z", a parcial "z". Na última fileira, você coloca o segundo vetor que, neste caso, é um vetor com função de valor "P", "Q" e "R". "P" que é uma multivariável "Q" e "R". Primeiro, é legal voltar um pouco atrás e olhar para isso. Isso tudo é uma coisa bem absurda, porque quando se fala sobre matrizes e pegar a determinante, todos os componentes são números. Porque você está multiplicando números juntos, mas aqui temos um truque notacional em cima de um truque notacional. Uma das fileiras são vetores, uma das fileiras são operadores de diferencial parcial. E o último, cada um destes, são uma função multivariável. Isto aqui parece algo absurdo, complicado, algo bem longe de uma matriz cheia de números. Mas é uma matriz bem útil para calcular aqui. E se você for pelo processo de calcular esta determinante e pensar no significado, o que virá, será a fórmula para a rotação tridimensional. Para evitar o risco de alongar muito, vamos terminar por aqui. Porém, isto vai ser continuado no próximo vídeo. E é isso, pessoal. Eu espero que tenham entendido. E até a próxima!