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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
Como calcular um rotacional tridimensional imaginado como um tipo de produto escalar. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal.
Tudo bem? Viemos, há alguns vídeos, trazendo o fundamento do que
a rotação tridimensional vem tentando representar. E aqui vamos falar
sobre como calculá-la. A rotação tridimensional
é algo que você calcula tendo um campo vetorial tridimensional. Sendo assim, você pega como
entrada um ponto tridimensional e a saída vai ser
um vetor tridimensional. E é comum escrever os componentes
desta função como o "P", "Q" e "R". E cada um destes é uma função de escala, o valor que pega o ponto tridimensional e traz como saída um número. Então, será o mesmo ponto com
as coordenadas "x", "y" e "z". Assim, quando você tem um
campo tridimensional como este, a imagem que você deve ter
em mente é de algo como isso, onde de cada ponto do espaço
tridimensional tem um vetor anexado. E quando olhamos este campo, vemos que tem muita
coisa acontecendo, realmente. Mas, em princípio, o que realmente acontece
é que cada ponto no espaço está associado com um vetor. O ponto no espaço é a entrada,
e o vetor a saída. Você, simplesmente,
está grudando-os. E, naturalmente, entre
três dimensões de entrada e três dimensões de saída, temos seis dimensões. A imagem que você tem acaba
ficando bem bagunçada sobre isso tudo. Mas, de qualquer forma, a questão aqui é como calcular este vetor de rotação que
vínhamos falando. Escrevemos aqui como rotação
da sua função de valor. E como um lembrete rápido
do que isso deve ser, você tem algum tipo de fluxo fluído
induzido por este campo vetorial, onde você está imaginando
ar fluindo com cada vetor. E o que você quer é uma função que diga, dado qualquer ponto, a rotação induzida
pelo fluxo de fluido ao redor do ponto. E pela rotação ser descrita
como um vetor tridimensional, você está esperando que isso
tenha um valor vetorial. E isso será igual a um vetor de saída. E caso isto não faça
sentido para você, ou pareça meio confuso, talvez seja legal você
dar uma olhada no vídeo que ensina como representar a rotação tridimensional
com um vetor. Mas, pois bem, o que você vai ter aqui é algo que pega
as entradas "x", "y" e "z". Ele pega um ponto tridimensional e traz como saída um vetor
descrevendo a rotação. E temos uma notação que ajuda bastante
quando calculamos isso. Você pega nabla (∇), aquele triângulo
de cabeça para baixo que foi utilizado em
divergência e gradiente, e você imagina pegando
o produto vetorial entre isto e o seu vetor. E como um lembrete, você imagina esse nabla
como um vetor contendo operadores
de diferencial parcial. E é o tipo de coisa que
quando você pensa alto parece um pouco extravagante. O vetor cheio de operadores
de diferencial parcial. Porém, no final das contas, só vamos escrever
um monte de símbolos. Esta parcial, parcial "x", é algo que você quer levar
para uma função multivariável. E isso vai te dizer a sua derivada
parcial de forma mais rígida. E isso, realmente,
não faz sentido algum. Por que como o vetor vai conter
estes operadores de diferencial parcial? O ponto é, esta série de
movimentos simbólicos aqui são úteis para nos ajudar com tudo. Porque quando você está
multiplicando-os por algo não é realmente multiplicação, você vai dar para eles
uma função multivariável, como "P", "Q" ou "R", os componentes de função
do nosso campo vetorial e calcular isso. E como um aquecimento, vamos ver o que iria aparecer
caso fossem duas dimensões, onde já sabemos a fórmula
para rotação bidimensional. O que iria aparecer seria, você tem uma menor
e mais bidimensional. Assim sendo, somente parcial parcial "x"
e parcial parcial "y". Este é o operador "del". Você vai pegar o produto
vetorial entre eles e o vetor bidimensional que é somente
as funções "P" e "Q". Neste caso, "P" e "Q" seriam somente funções de "x" e "y". Por este lado, temos um campo
vetorial bidimensional que estamos dizendo que "P"
e "y" são funções de escala, ou de valor, com uma entrada bidimensional. Porém, por aqui também
estamos utilizando "P" e "Q" para representar com
uma entrada tridimensional. Então, você deve pensar neles
aqui separadamente, mas é comum usar os mesmos nomes. E vamos mover aqui um pouco para representar melhor
o ponto mais complicado. Quando você calcula algo como isso, o produto vetorial, você geralmente pensa
como se ele estivesse pegando estes componentes
diagonais e os multiplicando. Então, aqui será a nossa
parcial, parcial "x" multiplicada por "Q". Então, você subtrai este
componente diagonal aqui, parcial parcial "y". Você precisa da parcial, parcial y(P). E é isso que você está subtraindo. Então, a parcial, parcial de y(P) somente é a derivada parcial
da função "P" em relação a "y". E eu, realmente, espero que isso
seja algo que você reconheça, pois esta é a rotação bidimensional, algo que já trabalhamos a lógica sobre. E eu quero que isso seja além
de uma fórmula para você, algo que te tranquilize
neste momento. Pois quando você pega
o operador del, o símbolo nabla, e faz o produto vetorial
com o valor da função, isso vai te dar um sentido de rotação. Agora, quando fazemos isso
com um caso tridimensional, iremos pegar o produto
vetorial tridimensional entre esta coisa vetorial
e a função tridimensional. E se você não consegue
seguir com facilidade ou tem muita dificuldade em calcular
ou interpretar o produto vetorial, pode ser um momento legal para
ver nossos vídeos que tratam disso, onde é elaborada a lógica sobre,
explicando o que é e como calcular. E isto, porque a partir deste ponto, eu vou assumir que você sabe
como calcular o produto vetorial, pois fazemos isso no
contexto meio absurdo de operadores diferencial
parcial e funções. Então, é importante ter esta base. E o jeito de calcular algo como isso é você construir uma determinante. Vamos um pouco mais embaixo aqui. Uma determinante de uma certa
matriz 3 por 3. A fileira de cima são todas
as unidades vetoriais e em várias direções
no espaço tridimensional. Então, este "I", "J" e "K". "I" representa a unidade vetorial
na direção "x". Então, "I" seria igual a: o componente "x" é 1, mas os outros
componentes são zero. De forma semelhante, "J" e "K"
representam unidades vetoriais, a direção "y" e "z". E, novamente, se não faz muito sentido
do porquê estamos colocando-os aqui ou tem dúvidas do que vou fazer, é realmente ideal ver o vídeo
sobre o produto vetorial. Enfim, colocamos estes na fileira
de cima como vetores. E colocar os vetores
dentro de uma matriz é o truque notacional para
calcular o produto vetorial. Então, vamos pegar
o primeiro vetor no qual estamos calculando
o produto vetorial e colocar os seus componentes
na próxima fileira. E vai parecer deste jeito, com a próxima fileira tendo
uma parcial parcial "x", depois o segundo componente
e o terceiro componente "z", a parcial "z". Na última fileira, você coloca o segundo vetor que,
neste caso, é um vetor com função
de valor "P", "Q" e "R". "P" que é uma multivariável "Q" e "R". Primeiro, é legal voltar um pouco
atrás e olhar para isso. Isso tudo é uma coisa bem absurda, porque quando se fala sobre matrizes
e pegar a determinante, todos os componentes são números. Porque você está multiplicando
números juntos, mas aqui temos um truque notacional
em cima de um truque notacional. Uma das fileiras são vetores, uma das fileiras são operadores
de diferencial parcial. E o último, cada um destes,
são uma função multivariável. Isto aqui parece algo absurdo, complicado, algo bem longe de
uma matriz cheia de números. Mas é uma matriz bem útil
para calcular aqui. E se você for pelo processo
de calcular esta determinante e pensar no significado, o que virá, será a fórmula
para a rotação tridimensional. Para evitar o risco de alongar muito,
vamos terminar por aqui. Porém, isto vai ser continuado
no próximo vídeo. E é isso, pessoal. Eu espero que tenham entendido. E até a próxima!