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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
Isso conclui a demonstração de como calcular um rotacional tridimensional usando um certo determinante. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal!
Tudo bem? Explicaremos aqui a fórmula
para a rotação tridimensional. E seguindo por onde paramos,
temos aqui esta determinante de matriz 3 por 3. Que parece absurda, porque nenhum dos
componentes são números. Mas, de qualquer forma, mostraremos aqui como você
vai, a partir da determinante, conseguir uma função de vetor de valor
que corresponde com a rotação. Então, eu vou explicar o que significa. Se você está calculando, a determinante daquilo que mostramos
aqui na direita superior, você inicia pegando o seu componente
da esquerda superior e depois multiplica pela
determinante da submatriz. Submatriz na qual as fileiras
não são as mesmas do "I". Então, vai parecer algo como isto. Então, vamos pegar
a unidade vetorial "I" e, depois, multiplicar isso
por uma certa determinante. Esta subdeterminante que envolve multiplicar esta
parcial/parcial "y" por "R". O que significa pegar a derivada parcial
em relação a "y" da função multivariável "R", depois subtrair a derivada parcial
em relação a z(Q). Então, estamos subtraindo
a derivada parcial em relação a "z" da função multivariável "Q". Então, esta é a primeira
coisa que fazemos. Na segunda parte,
pegamos este "J" e vamos subtrair. Então, pense, mais, menos e mais para os
elementos aqui nesta fileira de cima. Enfim, vamos subtrair "J" multiplicado
por outra subdeterminante. E esta aqui vai envolver
esta coluna que não faz parte, e esta outra que também não faz parte. E você imagina estas colunas
como uma matriz 2 por 2. E sua determinante envolve pegar
a derivada parcial em relação a x(R). Então, é meio que diagonal. A parcial x(R) e, depois, subtrair a derivada parcial
de "z" em relação a "P". Assim, a parcial/parcial de z(P). Depois, já temos dois passos andados dos três que precisamos para
conseguirmos a nossa determinante geral. Porque o último passo que
vamos adicionar vai ser adicionar o componente
na direita superior "K", multiplicada pela submatriz
na qual as colunas envolvem as colunas que não fazem parte. Então, "K" multiplicado pelo
determinante deste aqui, parcial/parcial x(Q). Então, a parcial x(Q)
menos a parcial/parcial y(P). Então, a derivada parcial
em relação a "y" da função multivariável "P". E toda esta expressão é a função
da rotação tridimensional, onde os componentes
são "P", "Q" e "R". Então, temos aqui
a nossa função vetorial. Função de valor vetorial "V", onde os componentes
são "P", "Q" e "R". E quando você vai
por todo este processo de ver o produto vetorial
entre operador "del" ∇, este símbolo nabla ∇ e o vetor de saída "P", "Q" e "R", o que você consegue
é esta expressão inteira. E, bem, aqui estamos escrevendo
com as notações "I", "J" e "K". E se você estiver escrevendo como
uma coluna vetorial parecendo algo como isso, dizendo que a rotação de sua
função de valor vetorial "V" como função de "x", "y" e "z"
é igual a, bem, o que colocaríamos como
primeiro componente aqui seria o que está em cima. Então, seria a sua parcial
em relação y(R), menos a parcial de "Q"
em relação a "z". E eu não vou copiar isso,
para todos os outros. Mas, em princípio, qualquer componente que "J" esteja
supondo que estejamos o subtraindo, você iria fazer isso aqui. Você iria copiá-lo como próximo
componente e depois aqui. Frequentemente, quando você
está calculando a rotação, você muda e acaba utilizando
essa notação "I", "J", "K". E, realmente, não importa, desde que
você saiba como ir e voltar entre os dois. E uma coisa rápida que
eu queria destacar aqui antes de exemplificar tudo isso, é que o componente "K", o componente "z" de saída é exatamente a fórmula
para rotação bidimensional. E se você voltar e ver os vídeos
da rotação bidimensional, ver fórmula que consta lá,
é a mesma que temos aqui. E todos os outros componentes
parecem um espelho disso. Mas utilizando operadores
e funções ligeiramente diferentes. Mas, se você pensar em uma rotação
que acontece puramente no plano (x, y), somente a rotação bidimensional e como a rotação tridimensional
é descrita com o vetor na direção "K". E, novamente, se não parecer muito claro, talvez seja legal você ver o vídeo
que descrevemos a rotação utilizando um vetor tridimensional
e a regra da mão direita. Mas, enfim, o vetor está apontando
puramente na direção "z". Descrita a rotação no plano (x, y). E o que acontece com
estes outros aqui é similar. A rotação que acontece
puramente no plano (x, y), vai corresponder com o vetor
rotacional na direção "y". A direção perpendicular a "x". Vamos ver, então, o plano (x, z) aqui. E, de forma semelhante,
este primeiro componente meio que te diz toda a rotação
acontecendo no plano (y, z). E os vetores na direção "I",
direção "x" da saída, correspondem com a rotação no plano. Então, agora quando
você calcular isso, você não vai mais estar
pensando somente. Beleza, esta rotação corresponde
com este plano e esta outra com este. Você vai calcular isso para
conseguir uma fórmula. Mas é bacana reconhecer toda
a lógica que foi trabalhada inicialmente sob a rotação bidimensional
aparecendo tudo aqui. E uma coisa também
que eu gostaria de enfatizar. Se eu fosse você, eu não tentaria
memorizar esta expressão toda. A única coisa que você
realmente precisa se lembrar é que esta rotação é
representada desta forma. O produto vetorial deste
símbolo nabla (∇), como uma função de valor "V". Porque, a partir daqui, independentemente de quais
seus componentes sejam, você pode ir pelo processo
que fizemos. E quanto mais fizer,
mais rápido vai se tornar. E ele é bem longo, eu assumo. Mas ele não demora de se fazer. E é bem mais tolerante a falhas do que tentar se lembrar de
algo que tem tantos passos como esta fórmula que você viu aqui. E no próximo vídeo, iremos
para um exemplo disso. Teremos as funções
para "P", "Q" e "R". Iremos por todo este processo
em um contexto bem mais concreto. E eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!