Fórmula do rotacional 3d - Parte 2

RKA3JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Explicaremos aqui a fórmula para a rotação tridimensional. E seguindo por onde paramos, temos aqui esta determinante de matriz 3 por 3. Que parece absurda, porque nenhum dos componentes são números. Mas, de qualquer forma, mostraremos aqui como você vai, a partir da determinante, conseguir uma função de vetor de valor que corresponde com a rotação. Então, eu vou explicar o que significa. Se você está calculando, a determinante daquilo que mostramos aqui na direita superior, você inicia pegando o seu componente da esquerda superior e depois multiplica pela determinante da submatriz. Submatriz na qual as fileiras não são as mesmas do "I". Então, vai parecer algo como isto. Então, vamos pegar a unidade vetorial "I" e, depois, multiplicar isso por uma certa determinante. Esta subdeterminante que envolve multiplicar esta parcial/parcial "y" por "R". O que significa pegar a derivada parcial em relação a "y" da função multivariável "R", depois subtrair a derivada parcial em relação a z(Q). Então, estamos subtraindo a derivada parcial em relação a "z" da função multivariável "Q". Então, esta é a primeira coisa que fazemos. Na segunda parte, pegamos este "J" e vamos subtrair. Então, pense, mais, menos e mais para os elementos aqui nesta fileira de cima. Enfim, vamos subtrair "J" multiplicado por outra subdeterminante. E esta aqui vai envolver esta coluna que não faz parte, e esta outra que também não faz parte. E você imagina estas colunas como uma matriz 2 por 2. E sua determinante envolve pegar a derivada parcial em relação a x(R). Então, é meio que diagonal. A parcial x(R) e, depois, subtrair a derivada parcial de "z" em relação a "P". Assim, a parcial/parcial de z(P). Depois, já temos dois passos andados dos três que precisamos para conseguirmos a nossa determinante geral. Porque o último passo que vamos adicionar vai ser adicionar o componente na direita superior "K", multiplicada pela submatriz na qual as colunas envolvem as colunas que não fazem parte. Então, "K" multiplicado pelo determinante deste aqui, parcial/parcial x(Q). Então, a parcial x(Q) menos a parcial/parcial y(P). Então, a derivada parcial em relação a "y" da função multivariável "P". E toda esta expressão é a função da rotação tridimensional, onde os componentes são "P", "Q" e "R". Então, temos aqui a nossa função vetorial. Função de valor vetorial "V", onde os componentes são "P", "Q" e "R". E quando você vai por todo este processo de ver o produto vetorial entre operador "del" ∇, este símbolo nabla ∇ e o vetor de saída "P", "Q" e "R", o que você consegue é esta expressão inteira. E, bem, aqui estamos escrevendo com as notações "I", "J" e "K". E se você estiver escrevendo como uma coluna vetorial parecendo algo como isso, dizendo que a rotação de sua função de valor vetorial "V" como função de "x", "y" e "z" é igual a, bem, o que colocaríamos como primeiro componente aqui seria o que está em cima. Então, seria a sua parcial em relação y(R), menos a parcial de "Q" em relação a "z". E eu não vou copiar isso, para todos os outros. Mas, em princípio, qualquer componente que "J" esteja supondo que estejamos o subtraindo, você iria fazer isso aqui. Você iria copiá-lo como próximo componente e depois aqui. Frequentemente, quando você está calculando a rotação, você muda e acaba utilizando essa notação "I", "J", "K". E, realmente, não importa, desde que você saiba como ir e voltar entre os dois. E uma coisa rápida que eu queria destacar aqui antes de exemplificar tudo isso, é que o componente "K", o componente "z" de saída é exatamente a fórmula para rotação bidimensional. E se você voltar e ver os vídeos da rotação bidimensional, ver fórmula que consta lá, é a mesma que temos aqui. E todos os outros componentes parecem um espelho disso. Mas utilizando operadores e funções ligeiramente diferentes. Mas, se você pensar em uma rotação que acontece puramente no plano (x, y), somente a rotação bidimensional e como a rotação tridimensional é descrita com o vetor na direção "K". E, novamente, se não parecer muito claro, talvez seja legal você ver o vídeo que descrevemos a rotação utilizando um vetor tridimensional e a regra da mão direita. Mas, enfim, o vetor está apontando puramente na direção "z". Descrita a rotação no plano (x, y). E o que acontece com estes outros aqui é similar. A rotação que acontece puramente no plano (x, y), vai corresponder com o vetor rotacional na direção "y". A direção perpendicular a "x". Vamos ver, então, o plano (x, z) aqui. E, de forma semelhante, este primeiro componente meio que te diz toda a rotação acontecendo no plano (y, z). E os vetores na direção "I", direção "x" da saída, correspondem com a rotação no plano. Então, agora quando você calcular isso, você não vai mais estar pensando somente. Beleza, esta rotação corresponde com este plano e esta outra com este. Você vai calcular isso para conseguir uma fórmula. Mas é bacana reconhecer toda a lógica que foi trabalhada inicialmente sob a rotação bidimensional aparecendo tudo aqui. E uma coisa também que eu gostaria de enfatizar. Se eu fosse você, eu não tentaria memorizar esta expressão toda. A única coisa que você realmente precisa se lembrar é que esta rotação é representada desta forma. O produto vetorial deste símbolo nabla (∇), como uma função de valor "V". Porque, a partir daqui, independentemente de quais seus componentes sejam, você pode ir pelo processo que fizemos. E quanto mais fizer, mais rápido vai se tornar. E ele é bem longo, eu assumo. Mas ele não demora de se fazer. E é bem mais tolerante a falhas do que tentar se lembrar de algo que tem tantos passos como esta fórmula que você viu aqui. E no próximo vídeo, iremos para um exemplo disso. Teremos as funções para "P", "Q" e "R". Iremos por todo este processo em um contexto bem mais concreto. E eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!