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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Intuição do rotacional 3d - Parte 1
Aqui nós começamos a transição de entender o rotacional bidimensional para entender o rotacional tridimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal.
Tudo bem? Então, vamos falar sobre
a rotação tridimensional. E, para isso, eu vou começar
pegando o primeiro exemplo de rotação bidimensional que havíamos
utilizado anteriormente, quando estávamos desenvolvendo
a lógica bidimensional. Falamos sobre fluxo fluido, e este aqui agora está animado. E neste campo vetorial,
em específico, você consegue ver uma rotação
anti-horária na direita e uma rotação horária no topo. Então, vamos pegar
este campo vetorial no qual espero que já tenhamos
conseguido desenvolver uma boa lógica. E vamos colocá-lo dentro de um
espaço tridimensional no plano (x, y). E se só pegarmos todo o campo
e colocá-lo no plano (x, y), é assim que ele vai se parecer. O espaçamento dos vetores
podem ser um pouco diferente, assim como os pontos. Mas este é o mesmo campo e é válido descrever como ele
é definido bidimensionalmente. Então, uma função de campo
vetorial de "x" e "y". E seus componentes são,
primeiro y³ - 9y e x³ - 9x. Agora, se olharmos para o campo e começarmos a pensar sobre a
rotação do fluido associado a ele, por ele ser um campo tridimensional,
é natural descrevermos esta rotação não somente com um
número em cada ponto, como escala ou valor, como o campo bidimensional
utilizava anteriormente, mas sim associar o vetor com cada ponto. E quando você faz isso, quando associa um vetor para
cada diferente ponto no espaço, de acordo com a rotação fluida
que estaria acontecendo, você conseguiria algo como isso. Agora, isso tudo parece
um pouco complicado, porque temos dois diferentes
tipos de campos vetoriais. Em um deles todos os vetores são
perpendiculares ao plano (x, y). Por isso, iremos por partes. Vamos ver como iríamos
conseguir entender. Temos 4 regiões circuladas aqui. E uma destas, é esta aqui da direita, onde tem uma rotação
anti-horária acontecendo. E é só pensar na
regra da mão direita, como exemplifica a imagem, que é onde você enrola
seus dedos da mão direita ao redor da direção da rotação. Então, levante o polegar e a direção que o seu dedo polegar
estará apontando será a direção dos vetores
que descreve esta rotação. Então, se fizermos isto aqui. Enrolando os dedos da nossa mão
direita ao redor e levantando o polegar, iremos conseguir vetores que apontam
para a direção positiva "z". E é por isso que nesta região você possui
vetores apontando para cima. Eles apontam para a direção "z". E eles estão dizendo para nós que quando vemos por cima tem
uma rotação anti-horária acontecendo. Mas isso acaba gerando outra dúvida. E se vemos por outro lado,
como aqui em cima? Por exemplo, onde você
possui a rotação horária. Agora, se você imaginar novamente
utilizando os dedos da sua mão direita, enrolando seus dedos
em direção da rotação "z", o seu dedo vai estar apontando
diretamente para baixo. E essa seria a direção negativa "z". E conseguimos ver isso com
este outro campo aqui, onde, abaixo do círculo, abaixo deste ponto, você tem vetores
apontando diretamente para baixo, indicando que esta é a direção
da rotação desta região. E se você fizer isso em
cada um dos pontos, você consegue um entendimento
do que é a rotação em cada ponto. Também conseguiria associar o vetor. E este seria o campo
que você irá conseguir. E vamos agora em frente,
escrever isso como uma função. Já sabemos como calcular
uma rotação bidimensional. Você vê tudo isso, e se dermos os nomes "P" e "Q" para as duas funções componentes, a rotação bidimensional
do campo vetorial "V" possui a função de "x" e "y". O que é igual a parcial do segundo
componente em relação a "x". Então, a parcial de "Q" em relação a "x", menos a derivada parcial do primeiro
componente em relação a "y". Então, menos a parcial de "P"
em relação a "y". E o que conseguimos
quando fazemos isso é a parcial de "Q"
em relação a "x". Então, o que fazemos é pegar
a derivada parcial disso com relação a "x", que parece uma derivada já que
temos somente "x" por aqui. Então, conseguimos 3x² - 9. Temos um outro vídeo onde
utilizamos isso como exemplo. E quando você pega aqui esta
segunda derivada de "P" em relação a "y", você está pegando a derivada desta
parte de cima em relação a "y". E isso é 3y² - 9. E você diria que este -9
cancela com este outro. 9 negativo e 9 negativo. E, realmente, conseguiríamos
no final 3x² + 3y². Agora, o que isso significa para um
campo como este que temos aqui? Isto é uma escala
de quantidade de valor, mas mesmo assim o campo vetorial
que estamos vendo nos mostra todos estes vetores
azuis indicando a rotação. E por essa rotação acontecer
no plano (x, y) que é perpendicular ao eixo "z", todos estes vetores
possuem um componente "z". Você pode pensar que isto seria a rotação. E, realmente, é. Mas não a rotação bidimensional
como diríamos anteriormente. Assim, a rotação de "V"
como função de "x" e "y". Não é uma escala ou algum valor,
mas sim um vetor. E um vetor que descreve estes azuis
que estão unicamente na direção "z". E já que eles estão na direção "z", os componentes "x" e "y" são zero. Mas o nosso último componente é aquela fórmula que encontramos, que descreve a grandeza
da rotação 3x² - 3y². E isso você pode pensar
como um tipo de protótipo para a rotação bidimensional. Porque realmente este campo vetorial "V" não é muito tridimensional assim, já que ele só fica no plano (x, y) e só recebe entradas "x" e "y". Alongando isto um pouco, não é? Como você faria isso parecer como
um campo vetorial tridimensional e, ainda assim, entender a rotação como uma
quantidade vetorial tridimensional? É isso que vamos continuar
ensinando no próximo vídeo. Espero que tenham aprendido. E até a próxima!