Intuição do rotacional 3d - Parte 1

RKA3JV - Olá, pessoal. Tudo bem? Então, vamos falar sobre a rotação tridimensional. E, para isso, eu vou começar pegando o primeiro exemplo de rotação bidimensional que havíamos utilizado anteriormente, quando estávamos desenvolvendo a lógica bidimensional. Falamos sobre fluxo fluido, e este aqui agora está animado. E neste campo vetorial, em específico, você consegue ver uma rotação anti-horária na direita e uma rotação horária no topo. Então, vamos pegar este campo vetorial no qual espero que já tenhamos conseguido desenvolver uma boa lógica. E vamos colocá-lo dentro de um espaço tridimensional no plano (x, y). E se só pegarmos todo o campo e colocá-lo no plano (x, y), é assim que ele vai se parecer. O espaçamento dos vetores podem ser um pouco diferente, assim como os pontos. Mas este é o mesmo campo e é válido descrever como ele é definido bidimensionalmente. Então, uma função de campo vetorial de "x" e "y". E seus componentes são, primeiro y³ - 9y e x³ - 9x. Agora, se olharmos para o campo e começarmos a pensar sobre a rotação do fluido associado a ele, por ele ser um campo tridimensional, é natural descrevermos esta rotação não somente com um número em cada ponto, como escala ou valor, como o campo bidimensional utilizava anteriormente, mas sim associar o vetor com cada ponto. E quando você faz isso, quando associa um vetor para cada diferente ponto no espaço, de acordo com a rotação fluida que estaria acontecendo, você conseguiria algo como isso. Agora, isso tudo parece um pouco complicado, porque temos dois diferentes tipos de campos vetoriais. Em um deles todos os vetores são perpendiculares ao plano (x, y). Por isso, iremos por partes. Vamos ver como iríamos conseguir entender. Temos 4 regiões circuladas aqui. E uma destas, é esta aqui da direita, onde tem uma rotação anti-horária acontecendo. E é só pensar na regra da mão direita, como exemplifica a imagem, que é onde você enrola seus dedos da mão direita ao redor da direção da rotação. Então, levante o polegar e a direção que o seu dedo polegar estará apontando será a direção dos vetores que descreve esta rotação. Então, se fizermos isto aqui. Enrolando os dedos da nossa mão direita ao redor e levantando o polegar, iremos conseguir vetores que apontam para a direção positiva "z". E é por isso que nesta região você possui vetores apontando para cima. Eles apontam para a direção "z". E eles estão dizendo para nós que quando vemos por cima tem uma rotação anti-horária acontecendo. Mas isso acaba gerando outra dúvida. E se vemos por outro lado, como aqui em cima? Por exemplo, onde você possui a rotação horária. Agora, se você imaginar novamente utilizando os dedos da sua mão direita, enrolando seus dedos em direção da rotação "z", o seu dedo vai estar apontando diretamente para baixo. E essa seria a direção negativa "z". E conseguimos ver isso com este outro campo aqui, onde, abaixo do círculo, abaixo deste ponto, você tem vetores apontando diretamente para baixo, indicando que esta é a direção da rotação desta região. E se você fizer isso em cada um dos pontos, você consegue um entendimento do que é a rotação em cada ponto. Também conseguiria associar o vetor. E este seria o campo que você irá conseguir. E vamos agora em frente, escrever isso como uma função. Já sabemos como calcular uma rotação bidimensional. Você vê tudo isso, e se dermos os nomes "P" e "Q" para as duas funções componentes, a rotação bidimensional do campo vetorial "V" possui a função de "x" e "y". O que é igual a parcial do segundo componente em relação a "x". Então, a parcial de "Q" em relação a "x", menos a derivada parcial do primeiro componente em relação a "y". Então, menos a parcial de "P" em relação a "y". E o que conseguimos quando fazemos isso é a parcial de "Q" em relação a "x". Então, o que fazemos é pegar a derivada parcial disso com relação a "x", que parece uma derivada já que temos somente "x" por aqui. Então, conseguimos 3x² - 9. Temos um outro vídeo onde utilizamos isso como exemplo. E quando você pega aqui esta segunda derivada de "P" em relação a "y", você está pegando a derivada desta parte de cima em relação a "y". E isso é 3y² - 9. E você diria que este -9 cancela com este outro. 9 negativo e 9 negativo. E, realmente, conseguiríamos no final 3x² + 3y². Agora, o que isso significa para um campo como este que temos aqui? Isto é uma escala de quantidade de valor, mas mesmo assim o campo vetorial que estamos vendo nos mostra todos estes vetores azuis indicando a rotação. E por essa rotação acontecer no plano (x, y) que é perpendicular ao eixo "z", todos estes vetores possuem um componente "z". Você pode pensar que isto seria a rotação. E, realmente, é. Mas não a rotação bidimensional como diríamos anteriormente. Assim, a rotação de "V" como função de "x" e "y". Não é uma escala ou algum valor, mas sim um vetor. E um vetor que descreve estes azuis que estão unicamente na direção "z". E já que eles estão na direção "z", os componentes "x" e "y" são zero. Mas o nosso último componente é aquela fórmula que encontramos, que descreve a grandeza da rotação 3x² - 3y². E isso você pode pensar como um tipo de protótipo para a rotação bidimensional. Porque realmente este campo vetorial "V" não é muito tridimensional assim, já que ele só fica no plano (x, y) e só recebe entradas "x" e "y". Alongando isto um pouco, não é? Como você faria isso parecer como um campo vetorial tridimensional e, ainda assim, entender a rotação como uma quantidade vetorial tridimensional? É isso que vamos continuar ensinando no próximo vídeo. Espero que tenham aprendido. E até a próxima!