Intuição do rotacional 3d - Parte 2

RKA3JV - Olá, pessoal. Tudo bem? Vamos continuar. Temos este campo vetorial "V" e ele está ilustrado aqui como este campo vetorial amarelo. Ele foi colocado em três dimensões de um jeito um pouco estranho, ou, simplesmente, foi jogado. E dizemos que tudo bem. Ele está em 3 dimensões. Mas, enfim, quando você descreve a rotação ao redor de cada ponto, que é o que já estamos familiarizados por causa da rotação bidimensional, você consegue este campo vetorial. E ele não é bem um campo vetorial tridimensional assim, porque você só está associando pontos nos vetores tridimensionais, ao invés de ser em cada um dos pontos do espaço. Mas estamos chegando lá! E vamos primeiro expandir isso para o campo vetorial completo. Porém, primeiro, vamos tirar todas estas informações daqui. Enquanto isso, eu quero que você pense em como você expandiria este campo vetorial que temos aqui para três dimensões. E uma ideia que você pode ter é pegar o campo vetorial e copiá-lo em diversas fatias. Desta forma, você teria algo como isso. As fatias representadas aqui estão um pouco mais espaçadas que a original. Então, se você olhar o campo original, no plano (x, y) teria alguns vetores a mais, mas é o mesmo campo copiado diversas vezes. E se você olhar em cada uma das fatias, como no campo (x, y), você teria este campo vetorial nas fatias e cada outra parte do espaço também teria isso. E mesmo que só tenha aqui 6 ou 7 fatias, pense que teria outras infinitas cópias dela no espaço. E o que isto significa em fórmula é que não estamos pegando mais somente "x" e "y" como entradas, mas que vamos pegar "z" também. Então, vamos dizer aqui que há uma entrada também. E precisamos considerar os vetores em três dimensões. Assim, ao invés de dizer que teria somente os componentes "x" e "y". Vamos dizer que também terá o "z" que, neste caso, é zero. E o fato de você ter uma entrada "z", mas não depender de "z" na saída, corresponde com o fato de que todas as fatias são as mesmas. Pois mesmo que você mova a direção "z", os vetores não mudam. Eles são como se fosse uma cópia de cada um. E também o fato que esta saída tem o componente zero, corresponde com outro fato que tudo isto é bem plano. Veja que não é apontado para cima ou para baixo na direção "z", é puramente "x" e "y". E mesmo falando de campos vetoriais tridimensionais, tendo uma breve noção de como são, você sabe que este aqui por pouco é 1. Na verdade, é ir até um pouco longe chamá-lo assim, pelo menos no que se diz sobre campos tridimensionais. Porém, ele será um ótimo exemplo para nós aqui, pois estaremos pensando nele como nossa representação de rotação fluída tridimensional. E diferente do fluxo de fluido que é representado aqui, onde tem moléculas de água movendo em duas dimensões. E é bem fácil entender a rotação horária e anti-horária, o fluxo de fluido tridimensional é meio caótico. Porém, por ser tão plana a nossa representação, ao ver por cima ainda é um pouco parecido com o anterior. Pois, por exemplo, temos aqui a rotação anti-horária na direita e a horária aqui em cima. E caso desenhássemos uma coluna aqui, poderíamos pensar nela como se fosse um tornado de fluxo fluido. Onde tudo está rotacionando junto na mesma direção. Sendo assim, se você associasse um vetor para cada ponto no espaço para descrever o tipo de rotação que está acontecendo ao redor de cada um dos pontos, também no espaço, dentro desta coluna neste tipo de tornando de rotação de anti-horária. E eu digo onde anti-horária, mas se vemos aqui por baixo, iria ser horária. E inclusive esta é uma das pegadinhas envolvendo as três dimensões. Mas, enfim, você esperaria que usando a regra da mão direita, onde você enrola os dedos da sua mão direita ao redor da direção, você esperaria que ele apontasse na direção "z" positiva. E se fizermos isso e representarmos como os vetores rotacionais seriam, teríamos isto. E parece meio bagunçado e realmente está aqui, já que temos tanta coisa na tela. Então, retiraremos o plano (x, y) e vamos focar somente neste novo campo vetorial que temos representado aqui. Dentro daquela coluna, onde temos a rotação do tornando, todos os vetores apontam na direção positiva "z". Mas se vemos em outro lugar como, por exemplo, nesta região, estes estão apontando para a direção negativa "z". E se você levantar o seu dedo polegar na direção de todos estes vetores, na direção negativa "z" ele irá dizer para você a direção do fluido em três dimensões. A imagem que você deve ter disso agora é do ar circulando no espaço, gerando a rotação. Mas qualquer forma para a rotação aqui teremos a fórmula da última vez. Na qual eu realmente espero que não tenha aparecido estranha enquanto estávamos fazendo isso. Pois bem, ela descreve a rotação em um campo vetorial bidimensional. Agora, por não ser mais somente bidimensional, estaremos colocando "x", "y" e "z". Agora, como campo vetorial tridimensional, a saída vai nos dizer sobre cada ponto no espaço e qual seria a rotação correspondente com cada um destes pontos. E, no próximo vídeo, vamos falar sobre como calcular esta fórmula dado uma função arbitrária. Mas, por agora, vamos pegar a lógica visual da coisa. Eu estou tentando entender aqui o que esta rotação vai representar. E neste campo vetorial, onde tem as cópias de duas dimensões acima, é tudo muito específico, muito artificial. Por quê? Toda a rotação acontece nestes perfeitos exemplos de tornados, onde também não mudam conforme você move para baixo ou para cima na direção "x", "y". E, geralmente, são campos vetoriais tridimensionais que parecem bem mais complicados. Tiramos todas estas coisas do caminho agora. Pois bem, se você pensar sobre campos vetoriais tridimensionais arbitrários, como este que temos aqui, pode parecer bem complicado. Talvez, na verdade, nem pareça para você, mas pelo menos para mim é realmente difícil eu conseguir pensar em qual fluxo de fluido estaria associado aqui. Eu tenho a vaga noção que, tudo bem, este fluído está fluindo por este campo e meio que indo por aqui, mas é bem difícil pensar nisso de uma vez só. E, certamente, se começarem a falar sobre rotação, é difícil olhar dado ponto e dizer: ok, aqui vai ter uma rotação geral de fluido de tal jeito, e eu posso dar um vetor para isso. E por mais que pareça solto e vago, podemos dizer que tudo bem, tem um fluxo de fluído com uma corrente de ar acontecendo aqui ao redor. E podemos, provavelmente, entender que em certos pontos específicos teremos certo tipo de rotação. No qual aqui será representado como a bola ou globo, simplesmente, parado no espaço. Agora, vamos imaginar o nosso novo campo vetorial e pensando qual seria o tipo de rotação que induz esta bola a flutuar no espaço. Podemos pensar como uma bola de tênis e você meio que está segurando no espaço utilizando imãs ou magia ou algo do tipo. E bem você está deixando o vento rotacioná-la livremente. E podemos pensar também qual a direção que tende a rotacionar. E quando isso acontece e você tem esta rotação, você pode descrever a rotação tridimensional com algum tipo de vetor que, neste caso, seria um que aponta nesta direção, porque estamos enrolando nossos dedos e apontando o polegar para essa direção. E se você não conseguir entender como descrevemos a rotação tridimensional, pode ser legal voltar e dar uma olhada no vídeo que explicamos isso. Mas, continuando, a ideia aqui é que quando você tem um tipo meio estranho de fluxo de fluido que é induzido por algum tipo de campo vetorial e você faz isso em cada ponto e para e pensa, qual a rotação em cada um dos pontos, a ideia é que todo este processo te dê a rotação. E, realmente, ele dará a rotação que o campo vetorial tridimensional está tentando representar. E caso isso pareça meio confuso, talvez algo que é realmente difícil de pegar. Não tem problema algum, a rotação tridimensional é uma das coisas mais complicadas de se descrever no cálculo multivariável. Mas eu realmente acredito que a chave para entender tudo isso é ir pacientemente, devagar, levando o seu tempo para pensar sobre o que a rotação bidimensional é, ao invés de tentar estender isso já direto para 3 dimensões. E lentamente, conforme for pegando, falar para si mesmo: tudo bem, eu meio que consegui pegar isso. E se você entender como representar a rotação tridimensional ao redor de cada um dos pontos com um vetor, a compreensão da rotação tridimensional, virá ao fazer isso em cada um dos pontos. Independentemente da rotação que o fluxo de vento induza. E como foi dito, é complicado. E tudo bem se não vier de primeira. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham entendido. E até a próxima!