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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Intuição do rotacional 3d - Parte 2
Continuando a intuição de como o rotacional tridimensional representa a rotação em um fluxo de fluído tridimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
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- Olá! Aosdeste vídeo o professor diz que a componente z deveria ser zero para que seja possível reproduzir várias camadas do plano xy, mas, acredito que não deveria ser zero pois assim teríamos somente uma camada em xy na altura zero. Para várias camadas em z creio que deva haver a entrada z e nenhuma variável z na saída. 1:52(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal.
Tudo bem? Vamos continuar. Temos este campo vetorial "V" e ele está ilustrado aqui como
este campo vetorial amarelo. Ele foi colocado em três dimensões
de um jeito um pouco estranho, ou, simplesmente, foi jogado. E dizemos que tudo bem. Ele está em 3 dimensões. Mas, enfim, quando você descreve
a rotação ao redor de cada ponto, que é o que já estamos familiarizados
por causa da rotação bidimensional, você consegue este campo vetorial. E ele não é bem um campo
vetorial tridimensional assim, porque você só está associando pontos
nos vetores tridimensionais, ao invés de ser em cada
um dos pontos do espaço. Mas estamos chegando lá! E vamos primeiro expandir isso
para o campo vetorial completo. Porém, primeiro, vamos tirar
todas estas informações daqui. Enquanto isso, eu quero que você pense em como você expandiria
este campo vetorial que temos aqui para três dimensões. E uma ideia que você pode ter é pegar o campo vetorial
e copiá-lo em diversas fatias. Desta forma, você teria algo como isso. As fatias representadas aqui estão um
pouco mais espaçadas que a original. Então, se você olhar o campo original, no plano (x, y) teria alguns
vetores a mais, mas é o mesmo campo
copiado diversas vezes. E se você olhar em cada uma das fatias, como no campo (x, y), você teria este campo vetorial nas fatias e cada outra parte do espaço
também teria isso. E mesmo que só tenha aqui
6 ou 7 fatias, pense que teria outras infinitas
cópias dela no espaço. E o que isto significa em fórmula é que não estamos pegando mais
somente "x" e "y" como entradas, mas que vamos pegar "z" também. Então, vamos dizer aqui que
há uma entrada também. E precisamos considerar
os vetores em três dimensões. Assim, ao invés de dizer que
teria somente os componentes "x" e "y". Vamos dizer que também terá o "z" que,
neste caso, é zero. E o fato de você ter uma entrada "z",
mas não depender de "z" na saída, corresponde com o fato de que
todas as fatias são as mesmas. Pois mesmo que você mova a direção "z",
os vetores não mudam. Eles são como se fosse
uma cópia de cada um. E também o fato que esta saída
tem o componente zero, corresponde com outro fato
que tudo isto é bem plano. Veja que não é apontado para cima
ou para baixo na direção "z", é puramente "x" e "y". E mesmo falando de campos
vetoriais tridimensionais, tendo uma breve noção
de como são, você sabe que este aqui por pouco é 1. Na verdade, é ir até um
pouco longe chamá-lo assim, pelo menos no que se diz
sobre campos tridimensionais. Porém, ele será um ótimo
exemplo para nós aqui, pois estaremos pensando nele
como nossa representação de rotação fluída tridimensional. E diferente do fluxo de fluido
que é representado aqui, onde tem moléculas de água
movendo em duas dimensões. E é bem fácil entender a rotação
horária e anti-horária, o fluxo de fluido tridimensional
é meio caótico. Porém, por ser tão plana
a nossa representação, ao ver por cima ainda é um pouco
parecido com o anterior. Pois, por exemplo, temos aqui
a rotação anti-horária na direita e a horária aqui em cima. E caso desenhássemos uma coluna aqui, poderíamos pensar nela como
se fosse um tornado de fluxo fluido. Onde tudo está rotacionando
junto na mesma direção. Sendo assim, se você associasse um vetor
para cada ponto no espaço para descrever o tipo de rotação que está acontecendo ao redor
de cada um dos pontos, também no espaço, dentro desta coluna neste tipo
de tornando de rotação de anti-horária. E eu digo onde anti-horária,
mas se vemos aqui por baixo, iria ser horária. E inclusive esta é uma das pegadinhas
envolvendo as três dimensões. Mas, enfim, você esperaria que
usando a regra da mão direita, onde você enrola os dedos
da sua mão direita ao redor da direção, você esperaria que ele apontasse
na direção "z" positiva. E se fizermos isso e representarmos como os vetores
rotacionais seriam, teríamos isto. E parece meio bagunçado
e realmente está aqui, já que temos tanta coisa na tela. Então, retiraremos o plano (x, y) e vamos focar somente neste novo campo
vetorial que temos representado aqui. Dentro daquela coluna,
onde temos a rotação do tornando, todos os vetores apontam
na direção positiva "z". Mas se vemos em outro lugar como,
por exemplo, nesta região, estes estão apontando
para a direção negativa "z". E se você levantar o seu dedo polegar
na direção de todos estes vetores, na direção negativa "z"
ele irá dizer para você a direção do fluido em três dimensões. A imagem que você deve ter disso
agora é do ar circulando no espaço, gerando a rotação. Mas qualquer forma para a rotação aqui
teremos a fórmula da última vez. Na qual eu realmente espero que
não tenha aparecido estranha enquanto estávamos fazendo isso. Pois bem, ela descreve a rotação
em um campo vetorial bidimensional. Agora, por não ser mais
somente bidimensional, estaremos colocando "x", "y" e "z". Agora, como campo
vetorial tridimensional, a saída vai nos dizer
sobre cada ponto no espaço e qual seria a rotação correspondente
com cada um destes pontos. E, no próximo vídeo, vamos falar
sobre como calcular esta fórmula dado uma função arbitrária. Mas, por agora, vamos pegar
a lógica visual da coisa. Eu estou tentando entender aqui
o que esta rotação vai representar. E neste campo vetorial, onde tem as cópias
de duas dimensões acima, é tudo muito específico,
muito artificial. Por quê? Toda a rotação acontece nestes
perfeitos exemplos de tornados, onde também não mudam
conforme você move para baixo ou para cima na direção "x", "y". E, geralmente, são campos vetoriais
tridimensionais que parecem bem mais complicados. Tiramos todas estas coisas
do caminho agora. Pois bem, se você pensar sobre campos
vetoriais tridimensionais arbitrários, como este que temos aqui,
pode parecer bem complicado. Talvez, na verdade,
nem pareça para você, mas pelo menos para mim é realmente difícil eu conseguir
pensar em qual fluxo de fluido estaria associado aqui. Eu tenho a vaga noção que,
tudo bem, este fluído está fluindo por este campo
e meio que indo por aqui, mas é bem difícil pensar
nisso de uma vez só. E, certamente, se começarem
a falar sobre rotação, é difícil olhar dado ponto e dizer: ok, aqui vai ter uma rotação geral
de fluido de tal jeito, e eu posso dar um vetor para isso. E por mais que pareça solto e vago, podemos dizer que tudo bem, tem um fluxo de fluído com uma
corrente de ar acontecendo aqui ao redor. E podemos, provavelmente, entender que em certos
pontos específicos teremos certo tipo de rotação. No qual aqui será representado
como a bola ou globo, simplesmente, parado no espaço. Agora, vamos imaginar
o nosso novo campo vetorial e pensando qual seria o tipo de rotação que induz esta bola a flutuar no espaço. Podemos pensar como uma bola de tênis e você meio que está segurando no espaço
utilizando imãs ou magia ou algo do tipo. E bem você está deixando o vento
rotacioná-la livremente. E podemos pensar também qual
a direção que tende a rotacionar. E quando isso acontece
e você tem esta rotação, você pode descrever a rotação
tridimensional com algum tipo de vetor que, neste caso, seria um que aponta nesta direção, porque estamos enrolando
nossos dedos e apontando o polegar para essa direção. E se você não conseguir entender como descrevemos
a rotação tridimensional, pode ser legal voltar e dar uma
olhada no vídeo que explicamos isso. Mas, continuando, a ideia aqui é que quando você
tem um tipo meio estranho de fluxo de fluido que é induzido
por algum tipo de campo vetorial e você faz isso em cada ponto
e para e pensa, qual a rotação em cada um dos pontos, a ideia é que todo este
processo te dê a rotação. E, realmente, ele dará a rotação que o campo vetorial tridimensional
está tentando representar. E caso isso pareça meio confuso, talvez algo que é realmente
difícil de pegar. Não tem problema algum,
a rotação tridimensional é uma das coisas mais complicadas
de se descrever no cálculo multivariável. Mas eu realmente acredito que
a chave para entender tudo isso é ir pacientemente, devagar, levando o seu tempo para pensar
sobre o que a rotação bidimensional é, ao invés de tentar estender isso
já direto para 3 dimensões. E lentamente, conforme for
pegando, falar para si mesmo: tudo bem, eu meio que
consegui pegar isso. E se você entender como representar a rotação tridimensional ao redor
de cada um dos pontos com um vetor, a compreensão da
rotação tridimensional, virá ao fazer isso em
cada um dos pontos. Independentemente da rotação
que o fluxo de vento induza. E como foi dito, é complicado. E tudo bem se não vier de primeira. E é isso, pessoal! Eu espero que tenham entendido. E até a próxima!