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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 10: Rotacional- Intuição do rotacional 2d
- Rotacional visual
- Fórmula do rotacional 2d
- Exemplo do rotacional 2d
- Como encontrar o rotacional em 2D
- Nuances do rotacional 2d
- Descrição da rotação em 3d com um vetor
- Intuição do rotacional 3d - Parte 1
- Intuição do rotacional 3d - Parte 2
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 1
- Fórmula do rotacional 3d - Parte 2
- Exemplo de cálculo do rotacional 3d
- Como encontrar o rotacional em 3D
- Prática sobre símbolos: o gradiente
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Descrição da rotação em 3d com um vetor
Aprenda como um campo vetorial tridimensional pode ser usado para descrever rotação tridimensional. Isso é importante para entender o rotacional tridimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, pessoal!
Tudo bem? Como você descreveria uma
rotação em três dimensões? Temos aqui o globo e ele está
rotacionando de algum jeito, indo para alguma direção. E ele também tem uma velocidade. E a questão é como você poderia
me dar uma informação numérica que iria descrever perfeitamente
esta rotação? E eu respondo. Com somente alguns números
é possível dar a velocidade, a direção e tudo associado
com esta rotação. Mas antes de falar sobre isso, vamos lembrar sobre
a rotação bidimensional. Aqui, então, temos uma
pequena criatura π. Ela está girando,
e precisamos calculá-la E você, provavelmente,
daria este cálculo como o número de rotações por segundo, usando alguma unidade de tempo. Então, rotações por segundo. Neste caso, pelo que temos ciência, a criatura π vai dar uma
rotação a cada 5 segundos. Então, o seu ritmo
rotacional seria 0,2. Mas este resultado é
um pouco ambíguo demais. Porque você simplesmente dizer: ei, esta pequena criatura está
a 0,2 rotações por segundo. Alguém, simplesmente, iria responder: bom, isto é horário ou anti-horário? E aí, que você pega
o quão ambíguo isto é. O que foi aceito por todos, se eu te der um número positivo, ele vai te dizer que a natureza
da rotação é anti-horária. Mas se eu te der um número negativo, um número negativo
de rotações por segundo, isso seria para o outro lado,
sentido horário. E isso é, simplesmente,
o que as pessoas decidiram. E é ótimo, porque com um único número
podendo ser positivo ou negativo, você pode descrever
a rotação bidimensional. E temos uma pequena nuance aqui, pois usualmente em física e matemática não se utiliza rotações
por unidade de segundo, mas sim utilizaria radianos
por unidade de segundo. E como um lembrete rápido
do que isto significa, se você imaginar algum tipo de círculo, qualquer um, o tamanho
realmente não importa. Se você escrever o raio para ele e, em seguida, perguntar o quão longe deveria ir
seguindo o comprimento do arco, este tipo de subporção
da circunferência, para ficar tão longo quanto do raio, faremos assim, então. Este "R" e você quer saber
o quão longe você precisar ir até que o comprimento do arco
também seja "R". Então, neste ângulo, esta quantidade de voltas que
você pode fazer determina o radiano. E porque tem exatamente
2π radianos para cada rotação, para converter em rotações
por unidade de segundo, você simplesmente multiplica
isto daqui por 2π. Então, seria qualquer número
que você tenha vezes 2π. E números específicos, aqui neste caso, não são tão importantes. O legal mesmo aqui é que apenas
com um número positivo ou negativo você consegue descrever perfeitamente
a rotação bidimensional. Mas se olharmos aqui em
nosso exemplo tridimensional, precisamos saber
além de um número. Primeiro de tudo, você quer saber
o eixo em torno de qual ela está girando. Então, você desenha uma linha
de forma que toda a rotação aconteça em torno dela. Depois, se você quer saber
a frequência em que está indo. Se a rotação é devagar ou rápida,
por exemplo. Agora, você precisa saber
a direção e a magnitude. E você pode dizer para si mesmo: Direção? Magnitude? É isso mesmo, parece que
podemos usar o vetor aqui. E, de fato, é o que vamos fazer. Utilizamos um tipo de vetor
no qual o comprimento vai corresponder com a frequência
em que está rotacionando. Normalmente, radianos por segundo. E é chamado de velocidade angular. Então, a direção descreve
o eixo da rotação por si. Mas similar com a de duas dimensões, temos aqui também uma ambiguidade
entre horário e anti-horário. E caso isso aqui fosse
o nosso único meio, seria ambíguo tanto se usasse
este vetor à direita superior, quanto se usasse o que está
aqui na direção oposta. E, por sinal, não importa
a linha em que os vetores estão. É só se lembrar que o vetor tem
somente magnitude e direção. E você pode colocá-lo em
qualquer lugar no espaço. Então, voltando. A questão é:
qual o vetor que se utiliza? Você usa apontando
para esta direção, ou este verde aqui apontando
para a direção oposta? Para isso, temos como aceito o que é
conhecido como a regra da mão direita. Para a regra da mão direita,
com seus dedos, você enrola-os na direção da rotação e a ponta de seus dedos estarão
apontando a direção na qual esta esfera está movendo. Então, você levanta o seu polegar e ele irá apontar qual o vetor
que irá descrever esta rotação. E neste exemplo em específico, quando você levantar
o seu dedo direito, irá corresponder com
o vetor branco e não verde. Mas se fizéssemos isso de outro jeito, com esta rotação invertida agora, o seu polegar estaria apontando
para o vetor verde. Porém, no nosso modelo original
seguimos com o vetor branco, já que a regra nos indica isso. E isso é bem eficiente, porque veja, estamos conseguindo diversas
informações com este vetor. Ele nos diz qual eixo é, a velocidade de rotação
através da magnitude e aponta para qual direção está indo. E com estes três números, as três coordenadas deste vetor, você consegue descrever
qualquer rotação tridimensional. E o motivo de falar disso
nos vídeos de rotação é porque iremos trabalhar
com a rotação tridimensional. No qual será um fluxo de
fluido em três dimensões e como isso induz a rotação de
cada um dos pontos no espaço. E o que irá acontecer é que
você irá associar um vetor para cada um destes pontos
que estão no espaço. Justamente, para poder responder
à questão de qual rotação em tal ponto é induzido por certo fluxo de fluido. O que falamos agora é sobre algo
que está bem mais em frente. No momento, você deve focar
somente um ponto de rotação com um único vetor
que corresponde a ele. E é legal pensar bastante nisso, em como representamos
esta rotação em um vetor, antes de movermos para a parte
mais intensa da rotação tridimensional. E é isso, pessoal! Espero que tenham aprendido. E até a próxima!