Fórmula de curvatura - Parte 1

RKA2MP - Fala, galera da Khan Academy! Continuando os nossos vídeos sobre cálculo multivariável, mais especificamente sobre curvatura. No vídeo passado a gente apresentou para vocês alguns conceitos relacionados com esse conceito de curvatura. No caso, seria o raio de curvatura. Demos o exemplo da estrada, onde um carro percorre uma estrada que tem um perfil igual ao perfil em azul aqui tem o seu volante travado em determinado ponto. Neste caso aqui, neste ponto em vermelho. E, após o travamento, o carro descreve esta circunferência em verde. Esta circunferência, por sua vez, tem justamente o raio de curvatura. Apresentamos também o conceito de curvatura propriamente dito, aquele representado pela letra grega capa (κ), e que é, na verdade, o inverso do raio de curvatura, ou seja, 1 dividido pelo raio de curvatura. E aqui, só lembrando, quando a gente tem um raio de curvatura pequeno, ou seja, uma curva bem acentuada, uma curva bem fechada, a gente vai ter uma grande curvatura, já que é o inverso. E o contrário também é verdadeiro. A ideia deste segundo vídeo é a gente apresentar um conceito mais algébrico sobre essa curvatura e não tanto geométrico. Então, para a gente definir esse conceito de forma algébrica e matemática, temos que começar por definir esta curvinha azul. Esta curva é uma curva vetorial, que a gente vai chamar de S, sempre lembrando de pôr o símbolo de vetor aqui em cima do S. E onde a gente tem um parâmetro "t", que retorna para a gente as coordenadas "x" e "y" dos vetores desta função. E, no caso desta função desenhada em azul, vamos parametrizar da seguinte forma: para o eixo "x", a gente vai ter t - sen(t) e, para o eixo "y", a gente vai ter 1 - cos(t). E a gente pode imaginar a função vetorial da seguinte maneira: para cada valor de "t", é retornado para a gente um vetor. E, com a junção de todos os vetores, da pontinha de todos os vetores, a gente define esta curva que está em azul. Como se as setinhas dos vetores fossem desenhando essa função em azul. Agora voltando especificamente para a questão da curvatura. Primeiro, a gente tem que imaginar vetores tangentes em cada ponto da curva. Mas neste caso, por motivo didático, vamos imaginar três. Vamos chamá-los de T maiúsculo, para não confundir com o "t" do parâmetro da função. E aqui a gente vai ter T₁, T₂ e T₃. E, como a gente não está interessado na intensidade destes vetores, já que a análise vai se ater apenas à mudança de direção desses vetores tangentes, A gente tem que admitir que eles são unitários. Isso quer dizer o quê? Que o módulo destes vetores é sempre 1. Para facilitar o raciocínio, vamos desenhar um plano somente para pôr esses vetores tangentes. E aqui neste plano, nós vamos ter que desenhar T₁, T₂ um pouco mais inclinado e T₃ mais inclinado ainda. Lembrando que estes vetores são exatamente iguais aos que estão ali na curva em azul. Mas a gente quis fazer outro plano somente para facilitar a visualização dessa variação angular entre eles. A pergunta que a gente tem que se fazer para começar a entender um pouco melhor o conceito de curvatura é: qual é a mudança angular entre estes três vetores? De T₁ para T₂ e de T₂ para T₃? E vai ser justamente essa variação, essa taxa de variação entre esses vetores que vai indicar para a gente a curvatura de uma curva, ou de uma função. Então, vamos imaginar aqui uma curva um pouco mais acentuada do que esta em azul. Vamos desenhar aqui em verde e vamos desenhar alguns vetores tangentes. Então, entre estes dois primeiros pontos aqui, a gente vai ter uma grande curvatura, porque podemos ver que a mudança angular entre estes dois pontos a mudança angular dos vetores tangentes, mais especificamente, é bem grande, é quase 90 graus. Já se a gente desenhar um vetor tangente aqui um pouco antes, a gente vê que a variação angular entre estes dois vetores tangentes aqui não vai ser tão grande. A análise do conceito de curvatura, então, é, na verdade, a análise de uma taxa de variação desses vetores unitários. Eu já escrevi aqui: dT. E esse T aqui, para a gente, vai ser uma função que denota o vetor tangente em cada ponto da função vetorial original. E, ao invés da gente fazer essa taxa de variação em relação ao parâmetro "t" da nossa função, a gente vai usar um outro conceito, que é o conceito de comprimento de arco. A gente não usa a parametrização "t" porque não importa como você parametrizou a sua função. O que vai importar para a gente é a distância que você percorreu ali na sua função, que é justamente este "s", que é o comprimento de arco. Então, se eu tenho um comprimento aqui, seria um "s", um comprimento de arco. E, ao diminuir esse comprimento até chegar a um tamanho infinitesimal, ou seja, muito pequeno, a gente vai ter um ds. Então, esta é a taxa de variação. A função vetor tangente unitario em relação a uma pequena distância que você anda nessa função. E por último, se a gente fizer essa taxa de variação do jeito que ela está aqui, vai retornar para a gente um vetor, que seria justamente o vetor que conecta as duas pontas dos vetores tangentes. Só que, como a gente viu lá na primeira aula, a curvatura não vai ser um vetor. Ela vai ser um número absoluto. Então, a gente vai ter que tirar o módulo desta taxa de variação aqui para o nosso valor fazer sentido. Este vídeo é isso. Esse é o conceito que você tem que ter em mente. No próximo vídeo, a gente vai discutir um pouco como a gente chega nesta derivada aqui, já que pode ser um pouquinho complicado por conta dos símbolos que a gente está utilizando. E só para sintetizar, o que a gente consegue concluir a partir deste segundo vídeo da série é que, por mais que a gente tenha aquele conceito do raio de curvatura atrelado a qualquer função, a gente também tem uma derivada. Esses dois conceitos são equivalentes. Um é no campo da geometria e o outro é no campo da matemática. E, por conta da gente querer calcular essa curvatura de uma função que é um pouco complexa, a gente vai acabar utilizando mais esse conceito de derivada e taxa de variação do que o conceito de raio de curvatura. Então é isso, galera do Khan Academy! Nos vemos no próximo vídeo!