Fórmula de curvatura - Parte 1

e fala galera do kakadu então continuando aqui os nossos vídeos sobre cálculo multivariável Mais especificamente sobre curvatura no vídeo passado a gente apresentou para vocês alguns conceitos aí relacionados com esse conceito de curvatura no caso seria o raio de curvatura né temos o exemplo da estrada onde um carro percorre uma estrada que tem um perfil igual perfil em azul aqui é tem o seu volante travado determinado Tom nesse caso aqui nesse ponto em vermelho e após o travamento o carro greve essa circunferência aí em verde essa circunferência por sua vez tem justamente o raio de curvatura apresentamos também eu conceito de curvatura propriamente dito né aquele representado pela letra grega capa e que é na verdade o inverso do raio de curvatura ou seja um dividido pelo raio de curvatura e aqui né só lembrando quando a gente tem um raio de curvatura pequeno ou seja uma curva bem acentuada uma curva bem fechada e vai ter uma grande curvatura né já que é o inverso e contrário também é verdadeiro a ideia segundo vídeo aqui é a gente apresentar um conceito mas algebrico sobre essa curvatura e não tanto geométrico então pra gente definir conceito de forma algébrica e matemática tem começar por definir essa curvinha azul essa curva aqui é uma curva vetorial tá que a gente vai chamar de S e maiúsculo sempre lembrando de por o símbolo de Vetor aqui em cima do do S né E hoje a gente tem um parâmetro T minúsculo tá e retorna para gente as coordenadas X e Y Duos vetores aí dessa função beleza E no caso dessa função aqui desenhada em azul vai parametrizado o seguinte forma Cruz fiz a gente vai ter ter menos sendo de ter e que o eixo Y gente vai ter um menos o cosseno de ter que a gente pode imaginar função vetorial da seguinte maneira para cada valor de é retornado para gente o ator pa e com a junção de todos os vetores da pontinha de todos os leitores a gente define essa curva que tá em azul beleza Como se as setinhas dos vetores fossem desenhando essa função e azul então agora vou ter especificamente para a questão da curvatura primeiro a gente tem que imaginar vetores tangentes em cada ponto da curva mas nesse caso aqui para o motivo didático né Vamos imaginar três tá vamos chamar eles de T maiúsculo tá para não confundir com o ter lado do parâmetro da nossa função e aqui a gente vai ter T1 T2 e T3 Beleza e como a gente não está interessado na intensidade desses vetores tá já que a análise vai se ater apenas a mudança de direção desses vetores tangentes a gente tem que admitir que eles são unitários beleza Isso quer dizer o quê que o módulo desses vetores é sempre um tão para facilitar o nosso raciocínio vamos desenhar um plano somente ou por esses vetores tangentes aí e aqui nesse plano nós vamos ter que desenhar it2 um pouco mais inclinado e T3 + internado ainda Lembrando que esses vetores são exatamente iguais aos que estão ali na curva e azul beleza mas a gente quis fazer outro plano somente para facilitar a visualização aí dessa variação angular aí entre eles Beleza então pergunta aqui que a gente tem que se fazer para começar a entender um pouco melhor o conceito de curvatura é qual que é a mudança angular entre estes três vetores aí de ter um para ter dois e T2 para 3 e vai ser justamente essa variação é essa taxa de variação Entre esses vetores que vai indicar para gente a curvatura de uma curva né o de uma função Então vamos imaginar aqui uma curva um pouco mais acentuada do que essa em Azul vamos desenhar aqui inteiro e vamos desenhar alguns vetores tangentes então entre esses dois primeiros pontos aqui a gente vai ter uma grande curvatura porque a gente pode ver que a mudança angular Entre esses do e a mudança angular dos vetores tangentes né Mais especificamente Ela é bem grande é quase 90 graus tá já se a gente desenhar um vetor tangente aqui um pouco antes a gente vê que a variação angular Entre esses dois vetores tangentes aqui ela não vai ser tão grande beleza e a análise do conceito de curvatura então é na verdade a análise de uma taxa de variação desses vetores unitários Eu já escrevi aqui de de né E esse tem maiúsculo aqui para gente vai ser uma função que denota o vetor tangente em cada ponto da nossa função vetorial original ali tá e ao invés da gente fazer essa taxa de variação em relação ao parâmetro T minuscula da nossa função a gente vai usar um outro conceito que o conceito de comprimento de arco tá a gente não usa a parametrização ter minúsculo é porque não importa como você parametrizou sua função que vai importar para gente é a distância que você percorreu ali na sua função já já e esse assisinho tá que é o comprimento de arco Então eu tenho um comprimento aqui seria um esse Zinho tá um comprimento de ar e ao diminuir esse comprimento até chegar um tamanho infinitesimal seja muito pequeno a gente vai ter um DS Beleza então essa é a taxa de variação aí a função vetor tangente unitario em relação ao uma pequena distância que você anda nessa sua função beleza e por último se a gente fizesse a taxa de variação do jeito que ela tá aqui vai retornar para gente um vetor que seria justamente o vetor que conecta as duas pontas ali dos vetores transgênicos só como a gente viu lá na primeira aula a curvatura ela não vai ser um vetor tá ela vai ser um número absoluto Então a gente vai ter que tirar o módulo dessa taxa de variação aqui tá para o nosso valor fazer sentido beleza nesse vídeo aqui é isso tá esse conceito aí que você tem que ter em mente no próximo vídeo gente vai curtir um pouco como e nessa derivada aqui já que pode ser um Pouquinho complicado por conta dos símbolos que a gente tá utilizando tá E só para sintetizar o que a gente tem conclui aqui a partir desse segundo vídeo da série é que por mais que a gente tem aquele conceito lá do raio de curvatura atrelado a qualquer função a gente também tem uma derivada beleza esses dois conceitos são equivalentes um e no campo da geometria e outra no campo da matemática e por conta da gente está querendo calcular uma essa curvatura aqui de uma função que é um pouco complexa a gente vai acabar utilizando mais esse conceito de derivada e taxa de variação do que o conceito de raio de curvatura Beleza então é isso galera do kankadami Nos vemos no próximo vídeo