Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 6: Curvatura- Intuição de curvatura
- Fórmula de curvatura - Parte 1
- Fórmula de curvatura - Parte 2
- Fórmula de curvatura - Parte 3
- Fórmula de curvatura - Parte 4
- Fórmula de curvatura - Parte 5
- Curvatura de uma hélice- Parte 1
- Curvatura de uma hélice- Parte 2
- Curvatura de uma cicloide
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Fórmula de curvatura - Parte 1
A curvatura é calculada encontrando primeiro uma função vetorial tangente unitária e, em seguida, encontrando sua derivada em relação ao comprimento do arco. Aqui podemos começar a pensar sobre o que isso significa. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA2MP - Fala, galera da Khan Academy! Continuando os nossos vídeos
sobre cálculo multivariável, mais especificamente sobre curvatura. No vídeo passado a gente apresentou
para vocês alguns conceitos relacionados com esse conceito
de curvatura. No caso, seria o raio de curvatura. Demos o exemplo da estrada,
onde um carro percorre uma estrada que tem um perfil igual ao perfil
em azul aqui tem o seu volante travado
em determinado ponto. Neste caso aqui, neste ponto em vermelho. E, após o travamento, o carro descreve
esta circunferência em verde. Esta circunferência, por sua vez,
tem justamente o raio de curvatura. Apresentamos também o conceito
de curvatura propriamente dito, aquele representado
pela letra grega capa (κ), e que é, na verdade, o inverso do raio
de curvatura, ou seja, 1 dividido
pelo raio de curvatura. E aqui, só lembrando, quando a gente tem
um raio de curvatura pequeno, ou seja, uma curva bem acentuada,
uma curva bem fechada, a gente vai ter uma grande curvatura,
já que é o inverso. E o contrário também é verdadeiro. A ideia deste segundo vídeo é a gente
apresentar um conceito mais algébrico sobre essa curvatura
e não tanto geométrico. Então, para a gente definir esse conceito
de forma algébrica e matemática, temos que começar por definir
esta curvinha azul. Esta curva é uma curva vetorial,
que a gente vai chamar de S, sempre lembrando de pôr
o símbolo de vetor aqui em cima do S. E onde a gente tem um parâmetro "t",
que retorna para a gente as coordenadas "x" e "y" dos vetores
desta função. E, no caso desta função desenhada em azul, vamos parametrizar da seguinte forma: para o eixo "x",
a gente vai ter t - sen(t) e, para o eixo "y", a gente vai ter
1 - cos(t). E a gente pode imaginar a função vetorial
da seguinte maneira: para cada valor de "t",
é retornado para a gente um vetor. E, com a junção de todos os vetores,
da pontinha de todos os vetores, a gente define esta curva
que está em azul. Como se as setinhas dos vetores
fossem desenhando essa função em azul. Agora voltando especificamente
para a questão da curvatura. Primeiro, a gente tem que imaginar
vetores tangentes em cada ponto da curva. Mas neste caso, por motivo didático,
vamos imaginar três. Vamos chamá-los de T maiúsculo, para não confundir com o "t"
do parâmetro da função. E aqui a gente vai ter T₁, T₂ e T₃. E, como a gente não está interessado
na intensidade destes vetores, já que a análise vai se ater apenas à mudança de direção
desses vetores tangentes, A gente tem que admitir
que eles são unitários. Isso quer dizer o quê? Que o módulo
destes vetores é sempre 1. Para facilitar o raciocínio,
vamos desenhar um plano somente para pôr esses vetores tangentes. E aqui neste plano,
nós vamos ter que desenhar T₁, T₂ um pouco mais inclinado
e T₃ mais inclinado ainda. Lembrando que estes vetores são exatamente
iguais aos que estão ali na curva em azul. Mas a gente quis fazer outro plano
somente para facilitar a visualização dessa variação angular
entre eles. A pergunta que a gente tem que se fazer para começar a entender um pouco melhor
o conceito de curvatura é: qual é a mudança angular
entre estes três vetores? De T₁ para T₂ e de T₂ para T₃? E vai ser justamente essa variação,
essa taxa de variação entre esses vetores que vai indicar para a gente a curvatura
de uma curva, ou de uma função. Então, vamos imaginar aqui uma curva
um pouco mais acentuada do que esta em azul. Vamos desenhar aqui em verde
e vamos desenhar alguns vetores tangentes. Então, entre estes dois primeiros pontos aqui,
a gente vai ter uma grande curvatura, porque podemos ver que a mudança angular
entre estes dois pontos a mudança angular dos vetores tangentes,
mais especificamente, é bem grande, é quase 90 graus. Já se a gente desenhar um vetor tangente
aqui um pouco antes, a gente vê que a variação angular entre estes dois vetores tangentes
aqui não vai ser tão grande. A análise do conceito de curvatura, então, é, na verdade, a análise de uma taxa
de variação desses vetores unitários. Eu já escrevi aqui: dT. E esse T aqui,
para a gente, vai ser uma função que denota o vetor tangente em cada ponto
da função vetorial original. E, ao invés da gente fazer
essa taxa de variação em relação ao parâmetro "t"
da nossa função, a gente vai usar um outro conceito,
que é o conceito de comprimento de arco. A gente não usa a parametrização "t" porque não importa como você
parametrizou a sua função. O que vai importar para a gente é a distância
que você percorreu ali na sua função, que é justamente este "s",
que é o comprimento de arco. Então, se eu tenho
um comprimento aqui, seria um "s",
um comprimento de arco. E, ao diminuir esse comprimento até chegar
a um tamanho infinitesimal, ou seja, muito pequeno,
a gente vai ter um ds. Então, esta é a taxa de variação. A função vetor tangente unitario em relação a uma pequena distância
que você anda nessa função. E por último, se a gente fizer essa taxa
de variação do jeito que ela está aqui, vai retornar para a gente um vetor,
que seria justamente o vetor que conecta as duas pontas
dos vetores tangentes. Só que, como a gente viu lá na primeira aula,
a curvatura não vai ser um vetor. Ela vai ser um número absoluto. Então, a gente vai ter que tirar
o módulo desta taxa de variação aqui para o nosso valor fazer sentido. Este vídeo é isso. Esse é o conceito
que você tem que ter em mente. No próximo vídeo, a gente vai discutir um pouco como a gente chega
nesta derivada aqui, já que pode ser um pouquinho complicado por conta dos símbolos
que a gente está utilizando. E só para sintetizar,
o que a gente consegue concluir a partir deste segundo vídeo da série é que, por mais que a gente tenha
aquele conceito do raio de curvatura atrelado
a qualquer função, a gente também tem uma derivada.
Esses dois conceitos são equivalentes. Um é no campo da geometria
e o outro é no campo da matemática. E, por conta da gente querer calcular essa curvatura de uma função
que é um pouco complexa, a gente vai acabar utilizando
mais esse conceito de derivada e taxa de variação
do que o conceito de raio de curvatura. Então é isso, galera do Khan Academy!
Nos vemos no próximo vídeo!