Fórmula de curvatura - Parte 2

RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Estamos no nosso terceiro vídeo sobre a série de curvatura e até aqui nós aprendemos alguns conceitos fundamentais para conseguir fazer esse cálculo. Vamos relembrar esses conceitos? Se a gente imagina uma função qualquer em um plano e a gente chama essa função de S(t), onde "t" define os pontos da curva para a gente, uma função vetorial. Primeiramente, para começar a pensar em curvatura, a gente tem que achar os vetores tangentes unitários em cada ponto da função aqui. E, lembrando: esse vetor é unitário porque para a gente não vai importar o módulo cada vetor. Vai importar a variação entre um vetor e outro. Já a curvatura, que a gente definiu lá, representada pela letra grega capa (κ), vai ser a taxa de variação entre esses vetores unitários. Só que essa taxa de variação não vai se dar em relação à parametrização "t" que a gente usou aqui na função. Ela vai se dar em relação ao comprimento de arco da função Lembrando que esse comprimento de arco, se eu pegar um trecho da função, esta linha aqui vai ser o comprimento de arco. E, diminuindo até virar uma distância muito pequena, uma distância infinitesimal, vai ser o nosso diferencial ds. Como comentado no vídeo anterior, se nós pusermos todos esses vetores tangentes unitários em um plano próprio... Vamos desenhar aqui um plano xy, desenhar os vetores. Temos o primeiro aqui, o segundo, o terceiro. A pergunta que a gente tem que se fazer para conseguir entender essa curvatura é: qual é a mudança entre esses dois vetores? E é justamente esse diferencial que a gente está procurando, que é o dT. Esta derivada aqui iria retornar para a gente o vetor que conecta a ponta de dois vetores tangentes unitários sucessivos. Então, seria este vetor aqui em azul. E, como a gente definiu anteriormente, esse valor da curvatura é um valor absoluto. Então, a gente vai se importar com o tamanho desse vetor, o módulo desse vetor. Então, voltando para o κ, que é a curvatura, ela vai ser o módulo da variação da função vetor tangente unitário pela variação de comprimento de arco. Caso você esteja se perguntando por que a gente está usando a mesma letra para denotar a função, que é o S, e para denotar o comprimento de arco, é porque, na verdade, existe uma relação entre essas duas variáveis, que nós vamos ver nos nossos próximos vídeos. Então, tomemos aqui um exemplo de cálculo. Vamos calcular aqui a curvatura de uma função específica. Para x(t), nós teremos cos(t) vezes R (este R já vamos explicar o que é) e, para a componente "y", vamos ter sen(t) vezes R. Esta função vetorial aqui é, na verdade, um circulo de raio R. Que é justamente este R que está aqui, tanto na componente "x" quanto no componente "y" da função. E, para não ficarmos presos também a um único exemplo, paralelamente a gente vai fazer um cálculo mais generalista. Ou seja, para qualquer função de S(t), que é na verdade o cálculo literal. A gente vai fazer esse cálculo paralelamente porque a função específica, esta função sen(t)R, cos(t)R, ela é simples, é fácil de fazer, mas um pouco simples demais, ao ponto de não mostrar realmente a complexidade do cálculo que nós estamos realizando. E, se a gente fizesse só o cálculo generalista, o cálculo literal, ele é tão complicado que pode acabar te confundindo e não te dando um "feeling" do que a gente está calculando. Então, o primeiro passo para a resolução desse tipo de problema é: qual é essa função que nos dá o vetor tangente unitário em cada ponto da função original? É justamente o que a gente está chamando aqui de função vetor tangente unitário, que é o quê? Você tem uma função original, que no caso é o S(t), e a gente precisa encontrar uma função que, para cada ponto da função original, vai nos retornar o vetor tangente unitário correspondente. Então, nós teremos aqui a função T, que é o que a gente usou para denotar essa função que retorna para a gente todos os vetores tangentes. Nós já temos uma ideia de qual tipo de cálculo pode nos retornar esses vetores tangentes. Por enquanto, sem ser unitário. Nós vamos ter que usar uma técnica para transformar esses vetores tangentes que nós vamos encontrar em unitários. E é justamente a derivada desta função, em relação a "t" que vai retornar para a gente um vetor tangente em cada ponto da nossa função. Então, o que a gente tem que fazer aqui agora para conseguir encontrar essa função é simplesmente derivar esta função original. Então, vamos aos cálculos. A derivada da nossa componente "x", que é cos(t)R, vai ser a derivada cos(t), que é -sen(t), o R é uma constante, então vai permanecer constante. E gente vai ter -sen(t)R para a componente "x". Para a componente "y", a gente tem que derivar sen(t), que retorna cos(t). E novamente, como R é uma constante, ele não vai entrar para a derivação e vai permanecer na função. Então, já temos aqui a nossa primeira derivada. E, para o nosso exemplo literal aqui, a gente vai ter simplesmente S'(t), que vai ser igual: para a componente "x", vai ser x'(t) e, para a componente "y", vai ser y'(t). Então, esta é a função que a gente pode interpretar como a nossa função vetor tangente. Só que tem um problema aqui. Esta função vetor tangente está retornando um vetor com um módulo maior que 1, ou seja, os vetores tangentes que a gente está encontrando através desta derivada não são unitários. O que a gente vai ter que fazer agora é normalizar esta derivada, ou seja, encontrar o módulo dela e dividir esses vetores pelo próprio módulo dela para que a gente atinja o nosso vetor tangente unitário. Então, vamos ter aqui: T(t) vai ser igual a S'(t), que é a primeira derivada da função, dividido pelo módulo do próprio S'(t). Vamos calcular esse módulo da função S'(t). Raiz quadrada de sen²(t) vezes R² mais cos²(t) vezes R². Aqui a gente vai pôr esse R² em evidência. Então, teremos: R², que multiplica sen²(t) + cos²(t), entre parênteses, E nós podemos tirar esse R² de dentro da raiz quadrada. Então, vamos cortar aqui e aqui, tirar este R e a gente fica com R que multiplica a raiz quadrada de (sen²(t) + cos²(t)). Se você se recorda um pouco de trigonometria, vai lembrar que este sen²(t) + cos²(t) é o teorema fundamental da trigonometria, e ele é sempre igual a 1. Então, o módulo aqui da nossa primeira derivada vai ser simplesmente R. E obtendo esse módulo da derivada, agora a gente consegue normalizar essa função e obter a nossa função vetor tangente unitário. Então, aqui para a componente "x", nós teremos: -sen(t) vezes R dividido por R, que vai nos resultar somente em -sen(t). E, para a componente "y", é igual. Teremos cos(t) vezes R dividido por R, que no fim vai resultar em cos(t), apenas. Está aqui definida a nossa função vetor tangente unitário. Chegamos aqui ao propósito deste nosso terceiro vídeo. Vamos ter mais vídeos explicando mais a fundo e dando mais fórmulas. Então é isso, galera do Khan Academy. Nós nos vemos no próximo vídeo!