Fórmula de curvatura - Parte 2

e fala galera do kankadami eu estamos aqui já no nosso terceiro vídeo sobre a série de volta e até aqui a Nós aprendemos alguns conceitos fundamentais para conseguir fazer esse cálculo vamos relembrar escutei você gente imagina que uma função qualquer um plano e a gente chama criança função de STP né onde ter definir os pontos da curva para gente uma função vetorial tá e Primeiramente vou começar a pensar em curvatura a gente tem que achar os autores agentes militares em cada conta da função aqui beleza E esse vetor lembrando ele é unitário porque para gente não vai importar o módulo cada vetor Vai importar a variação entre um vetor e outro beleza já curvatura que a gente definiu lá sendo representada pela letra grega a capa vai ser a taxa de variação em esses vetores unitários beleza Só que essa taxa de variação não vai se dar em relação a parametrização terminar oi gente estou aqui na nossa função e ela vai se dar em relação ao comprimento de arco da função Lembrando que esse comprimento de arco aqui né eu pegar um trecho da função aqui essa linha aqui vai ser o comprimento de arco e diminuindo até virar um uma distância muito pequena né mas desenho infinitesimal vai ser o nosso diferencial PS como a comentado no vídeo anterior nós pusermos todos esses vetores tangentes unitários aí em um plano próprio Então vamos desenhar aqui um plano XY desenhar os vetores e o primeiro aqui o segundo terceiro tá a pergunta a gente tem que se fazer para conseguir entender essa curvatura Qual que é a mudança Entre esses dois vetores e a Justamente esse diferencial aqui que a gente está procurando que é o de beleza essa derivada aqui e a retornar para a gente o vetor que conecta a ponta de dois vetores tangentes unitário sucessivos Então seria esse vetor aqui em azul e como a new anteriormente esse valor da curvatura ele é um valor absoluto Então a gente vai se importar com o tamanho desse vetor um módulo desse vetor Beleza então voltando aqui para o nosso capa que é a curvatura ela vai ser o módulo da variação da função vetor tangente unitario pela variação de comprimento de ar caso você esteja se perguntando né porque a gente tá usando a mesma letra para denotar a função que o S maiúsculo e para denotar o comprimento de arco é porque na verdade uma relação entre essas duas variáveis aí tá bom que nós vamos ver aqui nos nossos próximos então tomemos aqui um exemplo de cálculo vamos calcular aqui a curvatura de uma função específica parte de ter nós teremos cosseno de ter vezes rsr já vamos explicar o que que é ir para componente Y vou ter seno de vezes essa função vetorial aqui é de um circulo de raio r maiúsculo beleza que a Justamente esse r maiúsculo tac tanto na componente da função quanto no componente Y da função e para não ficarmos presos também a único exemplo para novamente a gente vai fazer o cálculo mais generalista ou seja a qualquer função dsdt que é na verdade um cálculo literal a gente vai fazer esse cálculo paralelamente porque a função específica na essa função seno de de vezes R conselho de ter vezes ela é simples é fácil de fazer mais um pouco simples demais ao ponto de não mostrar realmente a complexidade do cálculo que nós estamos realizando e já se a gente fizer só o cálculo generalista cálculo literal ele é tão complicado que pode acabar te confundindo e não te dando um irem assim do que que a gente está calculando Beleza então o primeiro passo para resolução desse tipo de problema é qual é essa função que nos dá o vetor tangente unitario em cada ponto da nossa função original é justamente que a gente tá chamando aqui de função o ator Tem Sims unitário que é o que você tem uma função original que no caso é o nosso SD e a gente precisa encontrar uma função que para cada conta da função original várias nos retornar o vetor tangente Solitário correspondente Beleza então nosso teremos aqui a função T maiúsculo tá que é o que a gente usou para denotar essa função que retorna para a gente todos os vetores tangentes e nós já temos uma ideia do qual tipo de cálculo pode nos retornar esses vetores tangentes aí beleza por enquanto sem ser unitário nós vamos ter que usar uma técnica aí pra transformar esses vetores tem gente que nós vamos encontrar em militares e é justamente a derivada dessa função aqui em relação até minúsculo que vai retornar para gente um vetor tangente em cada ponto da nossa função Beleza então o que a gente tem que fazer aqui agora para conseguir encontrar esses dessa função é simplesmente ele vai essa função original aqui então Vamos aos cálculos aderir e da nossa componente x que é cosseno de TV BR vai ser a derivada cosseno de ter que é menos sendo de Wesley é uma constante Então vai permanecer constante a gente vai ter menos sendo de ter vezes R para comprar um chip para concorrente y a gente tem que levar cena de ter que retorna cosseno de ter e novamente como R aí dá uma constante ele não vai entrar para derivação e vai permanecer na função até um a gente já tem aqui a nossa primeira derivada ir para o nosso exemplo de ter ao aqui a gente vai ter simplesmente S vinha de ter que vai ser igual para componente x vai ser x linha de terra e para componente y y Então essa daqui é a função que a gente pode brotar como a nossa função vetor tangente beleza Só que tem um problema aqui essa função vetor tangente está retornando para gente um vetor com um módulo maior que um seja esses eleitores tem em que a gente está encontrando através dessa derivada aqui eles não Ah beleza então que a gente vai ter que fazer agora é normalizar essa derivada que eu seja encontrar o módulo dela e dividir esses vetores pelo próprio módulo dela para que a gente atinja aí o nosso leitor também unitário Então a gente vai ter aqui ter maiúsculo de Pé beleza vai ser igual ao S linha de ter que a primeira derivada Nossa função dividido pelo módulo do próprio S linha de tempo beleza vamos aqui calcular esse módulo da função S linha de raiz quadrada seno ao quadrado de ter vezes é quadrado + cosseno ao quadrado de TV é enquadrado então aqui a gente vai poder se R quadrado em evidência então teremos r-quadrado que multiplica sendo quadrado de ter mais cosseno ao quadrado de ter entre parênteses aqui tá e nós podemos tirar esse r-quadrado de dente na raiz quadrada Beleza então vamos cortar aqui aqui né como se cortasse tá tirar esse r e a gente fica com R que multiplica a raiz quadrada de ser no quadrado de ter mais cosseno ao quadrado de se você se recorda um pouco de trigonometria você vai lembrar esse sendo quadrado de ter mais que você no quadrado de ter é o nosso teorema fundamental da trigonometria beleza e ele é sempre igual ao então o módulo aqui da nossa primeira derivada ele vai ser e simplesmente é e obtendo esse módulo da derivada agora a gente consegue normalizar essa função e obter a nossa função vetor tangente unitario então aqui para componentes nós teremos menos sendo de ter vezes R / é que vai nos resultados somente em menos sendo de ir para componente y é igual teremos cosseno de ter vezes RD que no fim Vai resultar em cosseno de ter apenas tac definida a nossa função vetor tangente unitario beleza Chegamos aqui ao propósito o nosso terceiro vídeo vamos ter mais vídeos aí explicando mais a fundo tando mais fórmulas Beleza então é isso galera do cancademi nós nos vemos no próximo vídeo