Fórmula de curvatura - Parte 3

RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Estamos começando mais um vídeo da série sobre curvatura. Vamos relembrar um pouco nosso último vídeo, onde nós aprendemos a calcular a função vetor tangente unitário para uma função específica, que no caso foi a função que descreve um círculo de raio R. E, como eu havia falado no vídeo passado, é importante que a gente também faça esses cálculos com a nossa forma literal. Então, aqui, para a forma literal, a função vetor tangente unitário vai ser a derivada da função S dividido pelo módulo dessa derivada. E note que, no nosso exemplo específico, ao calcular o módulo dessa derivada, nós nos livramos de uma raiz quadrada e obtivemos um resultado bem simples, que foi o próprio raio da circunferência. Mas, na maioria dos casos, nós não vamos ter a mesma sorte, já que o módulo dessa derivada vai ser a raiz quadrada da soma x'² + y'². Então, quando pegamos essa função vetor tangente e dividimos por esse módulo, nem sempre o resultado vai ser simples como foi na função da circunferência. Ao invés disso, teremos o x(t) e teremos que dividir por esse módulo inteiro, toda esta expressão aqui. E, para "y", a mesma coisa: dividir pela expressão inteira do módulo. Agora que nós já temos a função do vetor tangente unitário, o que temos que fazer é encontrar a taxa de variação dessa função, ou seja, temos que derivar novamente a função vetor tangente unitário, que já advém de uma derivada. Só que desta vez, nós vamos diferenciar este dT em relação a dt (minúsculo) de novo. Nós vamos fazer o seguinte: vamos ter que diferenciar este dT em relação ao ds, que é o nosso comprimento de arco, que já explicamos. E, por fim, tirar o módulo dessa taxa de variação, já que, se você se lembrar da nossa segunda aula, nós queremos um número absoluto para representar a curvatura, e não um vetor. E esse cálculo da segunda derivada, que é a própria curvatura, vai ser feito da seguinte forma: dT sobre ds vai ser igual a dT/dt (vamos tirar o módulo dessa derivada); dividido pelo módulo, também, de: dS (maiúsculo), que é a função vetorial, a primeira, por dt (minúsculo). Esta parte é um pouco complicada, mas o que você pode pensar é que, ao fazer esta divisão, nós estaremos cancelando estes dt e no fim iremos obter dT/ds, que é justamente o que a gente quer. No vídeo passado, eu comentei que talvez possa haver dúvida na notação utilizada, ou seja, por que nós utilizamos S (maiúsculo) para curva e também utilizamos ds (minúsculo) para o comprimento de arco? Isso é fácil de entender porque, sabendo que a fórmula do comprimento de arco é: comprimento de arco é igual à integral do módulo de S'(t) dt, utilizando o teorema fundamental do cálculo, nós podemos derivar os dois lados da expressão, obtendo, do lado esquerdo, ds/dt, ou seja, a derivada do comprimento de linha em relação ao parâmetro "t", é igual a: do lado direito, nós cancelaremos esta integral, porque a derivada da integral é simplesmente a função que está dentro. Então, teremos o módulo de S'. Aqui a gente chega à conclusão de que o ds/dt vai ser, nada mais nada menos, do que o módulo da primeira derivada da função S. Então, como eu estava falando, você pode interpretar esta fórmula da curvatura como cancelando estes dt, nós obtemos dT/ds. Ou você pode pensar da seguinte maneira: quando nós temos a função vetor tangente como uma função de "t", nós não sabemos a sua mudança em relação ao comprimento de arco. Mas não sabemos a sua variação em relação ao próprio parâmetro "t". E a partir dessa derivada, nós podemos pegar um fator de correção, que é justamente esse ds/dt, e corrigir, obtendo a variação do vetor tangente em relação ao comprimento de arco. Então, aplicando esta fórmula para a nossa função específica, que é a função do círculo, nós temos: dT/dt, que é menos cosseno e menos seno, tirando a derivada aqui já da primeira derivada, então nós já estamos tirando a segunda derivada da nossa função. E, ao calcular o módulo desta função de novo, que é a segunda derivada do S, da função original, nós iremos obter seno ao quadrado, mais cosseno ao quadrado novamente, que já sabemos que é igual a 1. Então, o módulo desta função, desta segunda derivada da função S, vai ser igual a 1. Então, já temos aqui: 1 dividido. E o módulo de ds/dt, nós já encontramos. Esse módulo vai ser R. Então, nós temos aqui: o módulo de dT/ds vai ser 1, que é o módulo da segunda derivada da função S, ou dT/dt, como você quiser interpretar, dividido pelo módulo da primeira derivada da função S, que vai ser R. Então, teremos aqui a curvatura 1/R. E, você se lembrar da nossa primeira e da nossa segunda aula, 1 dividido pelo raio de curvatura é justamente como nós definimos a curvatura lá nos primeiros vídeos. E isso faz todo o sentido, já que a curvatura de uma circunferência de raio R é justamente o inverso do próprio raio da circunferência. Já para o nosso caso literal aqui, que é uma função S(x(t), y(t)), já na primeira derivada, nós temos um resultado gigantesco, porque, se você lembra do começo do vídeo, ao dividir a derivada pelo módulo da própria derivada, já vai dar um número grande na maioria das vezes. Então, você pode imaginar como é difícil demonstrar esse cálculo literal até o final. Por conta disso, eu vou escrever diretamente a fórmula resumida da curvatura para vocês. Vai ser: a primeira derivada de "x", vezes a segunda derivada da componente "y", menos a primeira derivada da componente "y", vezes a segunda derivada da componente "x". Tudo isso o módulo, temos que tirar o módulo deste resultado e dividir por x'² + y'² e tudo elevado a 3/2. Eu acho que por este vídeo já é o bastante. Nós já conseguimos calcular a curvatura tanto da nossa função específica e apresentar a fórmula da curvatura para qualquer caso. Eu sugiro que você reassista este vídeo e tente fazer por conta própria todas as derivadas e cálculos que nós apresentamos aqui. Nós iremos um pouco mais a fundo nesta fórmula e descobriremos por que ela não é tão aleatória quanto parece, e que ela é quase que uma terceira forma de descrever a curvatura. A primeira sendo aquela geométrica, do círculo, do raio de curvatura. A segunda sendo a definição matemática, que é o módulo de dT/ds, ou seja, a variação da função vetor tangente unitário pela variação do comprimento de arco. E esta aqui seria a terceira. Claro, e todas são equivalentes. Mas esse assunto nós vamos discutir melhor no próximo vídeo. Então é isso, galera do Khan Academy. Até o próximo vídeo!