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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 6: Curvatura- Intuição de curvatura
- Fórmula de curvatura - Parte 1
- Fórmula de curvatura - Parte 2
- Fórmula de curvatura - Parte 3
- Fórmula de curvatura - Parte 4
- Fórmula de curvatura - Parte 5
- Curvatura de uma hélice- Parte 1
- Curvatura de uma hélice- Parte 2
- Curvatura de uma cicloide
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Fórmula de curvatura - Parte 3
Aqui, conclui-se a explicação de como a curvatura é a derivada de um vetor tangente unitário em relação ao comprimento. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Estamos começando mais um vídeo
da série sobre curvatura. Vamos relembrar um pouco
nosso último vídeo, onde nós aprendemos a calcular a função vetor tangente unitário
para uma função específica, que no caso foi a função
que descreve um círculo de raio R. E, como eu havia falado no vídeo passado, é importante que a gente também faça
esses cálculos com a nossa forma literal. Então, aqui, para a forma literal,
a função vetor tangente unitário vai ser a derivada da função S
dividido pelo módulo dessa derivada. E note que, no nosso exemplo específico,
ao calcular o módulo dessa derivada, nós nos livramos de uma raiz quadrada
e obtivemos um resultado bem simples, que foi o próprio raio da circunferência. Mas, na maioria dos casos,
nós não vamos ter a mesma sorte, já que o módulo dessa derivada
vai ser a raiz quadrada da soma x'² + y'². Então, quando pegamos essa função vetor
tangente e dividimos por esse módulo, nem sempre o resultado vai ser simples
como foi na função da circunferência. Ao invés disso, teremos o x(t) e teremos que dividir por esse módulo
inteiro, toda esta expressão aqui. E, para "y", a mesma coisa: dividir
pela expressão inteira do módulo. Agora que nós já temos a função
do vetor tangente unitário, o que temos que fazer é encontrar
a taxa de variação dessa função, ou seja, temos que derivar novamente
a função vetor tangente unitário, que já advém de uma derivada. Só que desta vez, nós vamos
diferenciar este dT em relação a dt (minúsculo) de novo. Nós vamos fazer o seguinte: vamos ter que
diferenciar este dT em relação ao ds, que é o nosso comprimento de arco,
que já explicamos. E, por fim, tirar o módulo
dessa taxa de variação, já que, se você se lembrar
da nossa segunda aula, nós queremos um número absoluto para
representar a curvatura, e não um vetor. E esse cálculo da segunda derivada, que é a própria curvatura,
vai ser feito da seguinte forma: dT sobre ds vai ser igual a dT/dt (vamos tirar o módulo dessa derivada); dividido pelo módulo, também, de: dS (maiúsculo), que é a função vetorial,
a primeira, por dt (minúsculo). Esta parte é um pouco complicada,
mas o que você pode pensar é que, ao fazer esta divisão,
nós estaremos cancelando estes dt e no fim iremos obter dT/ds,
que é justamente o que a gente quer. No vídeo passado, eu comentei que talvez
possa haver dúvida na notação utilizada, ou seja, por que nós utilizamos
S (maiúsculo) para curva e também utilizamos ds (minúsculo)
para o comprimento de arco? Isso é fácil de entender porque, sabendo
que a fórmula do comprimento de arco é: comprimento de arco é igual à integral
do módulo de S'(t) dt, utilizando o teorema fundamental
do cálculo, nós podemos derivar
os dois lados da expressão, obtendo, do lado esquerdo, ds/dt, ou seja, a derivada do comprimento
de linha em relação ao parâmetro "t", é igual a: do lado direito,
nós cancelaremos esta integral, porque a derivada da integral
é simplesmente a função que está dentro. Então, teremos o módulo de S'. Aqui a gente chega à conclusão
de que o ds/dt vai ser, nada mais nada menos, do que
o módulo da primeira derivada da função S. Então, como eu estava falando, você pode
interpretar esta fórmula da curvatura como cancelando estes dt,
nós obtemos dT/ds. Ou você pode pensar da seguinte maneira: quando nós temos a função vetor tangente
como uma função de "t", nós não sabemos a sua mudança
em relação ao comprimento de arco. Mas não sabemos a sua variação
em relação ao próprio parâmetro "t". E a partir dessa derivada, nós podemos
pegar um fator de correção, que é justamente esse ds/dt, e corrigir,
obtendo a variação do vetor tangente em relação ao comprimento de arco. Então, aplicando esta fórmula
para a nossa função específica, que é a função do círculo, nós temos: dT/dt, que é menos
cosseno e menos seno, tirando a derivada aqui
já da primeira derivada, então nós já estamos tirando
a segunda derivada da nossa função. E, ao calcular o módulo desta função
de novo, que é a segunda derivada do S,
da função original, nós iremos obter seno ao quadrado,
mais cosseno ao quadrado novamente, que já sabemos que é igual a 1.
Então, o módulo desta função, desta segunda derivada da função S,
vai ser igual a 1. Então, já temos aqui: 1 dividido. E o módulo de ds/dt, nós já encontramos.
Esse módulo vai ser R. Então, nós temos aqui: o módulo de dT/ds vai ser 1, que é o módulo
da segunda derivada da função S, ou dT/dt, como você quiser interpretar, dividido pelo módulo da primeira derivada
da função S, que vai ser R. Então, teremos aqui a curvatura 1/R. E, você se lembrar da nossa primeira
e da nossa segunda aula, 1 dividido pelo raio de curvatura é justamente como nós definimos
a curvatura lá nos primeiros vídeos. E isso faz todo o sentido, já que
a curvatura de uma circunferência de raio R é justamente o inverso
do próprio raio da circunferência. Já para o nosso caso literal aqui,
que é uma função S(x(t), y(t)), já na primeira derivada,
nós temos um resultado gigantesco, porque, se você lembra do começo do vídeo, ao dividir a derivada pelo módulo
da própria derivada, já vai dar um número grande
na maioria das vezes. Então, você pode imaginar
como é difícil demonstrar esse cálculo literal até o final. Por conta disso, eu vou escrever
diretamente a fórmula resumida da curvatura
para vocês. Vai ser: a primeira derivada de "x", vezes a segunda derivada
da componente "y", menos a primeira
derivada da componente "y", vezes a segunda derivada
da componente "x". Tudo isso o módulo, temos que tirar
o módulo deste resultado e dividir por x'² + y'² e tudo elevado a 3/2. Eu acho que por este vídeo
já é o bastante. Nós já conseguimos calcular a curvatura
tanto da nossa função específica e apresentar a fórmula da curvatura
para qualquer caso. Eu sugiro que você reassista este vídeo
e tente fazer por conta própria todas as derivadas e cálculos
que nós apresentamos aqui. Nós iremos um pouco mais a fundo
nesta fórmula e descobriremos por que ela não é
tão aleatória quanto parece, e que ela é quase que uma terceira forma
de descrever a curvatura. A primeira sendo aquela geométrica,
do círculo, do raio de curvatura. A segunda sendo a definição matemática,
que é o módulo de dT/ds, ou seja, a variação da função
vetor tangente unitário pela variação do comprimento de arco. E esta aqui seria a terceira.
Claro, e todas são equivalentes. Mas esse assunto nós vamos discutir melhor
no próximo vídeo. Então é isso, galera do Khan Academy.
Até o próximo vídeo!