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Fórmula de curvatura - Parte 3

Aqui, conclui-se a explicação de como a curvatura é a derivada de um vetor tangente unitário em relação ao comprimento. Versão original criada por Grant Sanderson.

Transcrição de vídeo

e fala galera do kankadami estamos começando aqui mais um vídeo da série sobre o fatura vamos relembrar um pouco nosso último vídeo onde Nós aprendemos a calcular a função vetor tangente unitario para uma função específica que no caso foi a função que descreve um circulo de raio r maiúsculo tá e como eu havia falado no vídeo passado é importante que a gente também faça essas esses cálculos com a nossa forma literal Beleza tô aqui para nossa forma literal a função vetor tem gente unitário vai ser a derivada da função S medido pelo módulo dessa derivada beleza e note que no nosso exemplo específico ao calcular o módulo dessa derivada aqui nós nos livramos de uma raiz quadrada e eu estivemos um resultado bem simples que foi o próprio raio da circunferência mas na maioria dos casos nós vamos ter a mesma sorte Já que o moro dessa derivada vai ser raiz quadrada da soma x vinha ao quadrado mais Y Ninha a Ah beleza então quando nós pegamos essa função vetor tangente e dividimos por esse módulo nem sempre esse resultado vai ser simples como foi na nossa função da circunferência ao invés disso teremos o nosso x de ter e teremos que dividir por esse módulo inteiro toda essa expressão aqui ir para a y a mesma coisa medir Pela expressão inteira do módulo e agora que nós já temos a função do vetor tangente unitario que temos que fazer é encontrar a taxa de variação dessa função ou seja temos que derivar novamente a função vetor tangente unitario que já de vende uma derivada só que dessa vez nós vamos diferenciar esse bebê em relação a t e minúsculo de novo beleza nós vamos fazer o seguinte nós vamos ter que diferenciar esse bebê em relação ao DS e é o nosso comprimento de arco já explicamos beleza e por fim tirar o móvel dessa taxa de variação já que se você se lembrar da nossa segunda a hoje nós queremos um número absoluto para representar a curvatura e não um vetor beleza E esse cálculo dessa nossa segunda derivada que é a própria curvatura ele vai ser respeito da seguinte forma TT sobre de s minúsculo tá vai ser igual a t maiúsculo por determino círculo vamos tirar o modo dessa derivada vendido pelo módulo também DDS maiúsculo tá que a nossa função vetorial lá primeira por D minúsculo beleza essa parte aqui é um pouco complicada Mas o que você pode pensar é que ao fazer essa divisão aqui nós estaremos cancelando esses dentes e no fim iremos obter de te por dsqa justamente o que a gente quer no vídeo passado eu comentei que Talvez possa haver dúvida da notação utilizada ou seja o que que nós utilizamos S maiúsculo para curva e também utilizamos de s minúsculo para o nosso comprimento de ar isso é fácil de entender porque sabendo que a o comprimento de arco é comprimento de arco é igual a integral do módulo de S linha de tdt utilizando O Teorema Fundamental do Cálculo nós podemos derivar os dois lados da expressão obtendo do lado esquerdo DS sobre de te Ou seja a derivada do comprimento de relação ao parâmetro T = do lado direito nós cancelaremos essa integral porque a derivada da integral é simplesmente a função que está dentro então teremos o módulo de S linha então aqui a gente chega à conclusão de que o DS por bebê vai ser nada mais nada menos do que o módulo da primeira derivada Nossa função S maiúsculo Beleza então como eu estava falando você pode interpretar isso aqui essa fórmula que dá a curvatura é como cancelando esses bebês nas obtemos de te sobre DS beleza Ou você pode pensar da seguinte maneira quando nós temos a função vetor tem gente como uma função de termos é um sabemos a sua mudança em relação ao comprimento de área mas não sabemos a sua variação em relação ao próprio parâmetro t e a partir dessa derivada nós podemos pegar um fator de correção que é justamente esse DS por DT e corrigir obtendo a nossa variação do vetor tangente em relação ao comprimento de ar tão aplicando essa fórmula aqui para nossa função específica que a nossa função do Círculo nós temos e em maiúsculo por BT minúsculo que é menos cosseno e menos sério tá bom tirando a derivada que já da primeira derivada então nós estamos tirando a segunda derivada da nossa função e ao calcular o módulo dessa função de novo que a segunda derivada do nosso S da nossa função original nós iremos obter seno ao quadrado + cosseno ao quadrado novamente que já sabemos que é igual a um então o módulo dessa função aqui dessa segunda a fada da função s e vai ser igual eu já temos aqui um dividido e o módulo GPS BT nós já encontramos esse módulo vai ser R Beleza então nós temos aqui TT sobre DS o módulo de deter por DS beleza ele vai ser um que é o módulo da segunda derivada da função S beleza ou B T maiúsculo por BT como você quiser interpretar dividido pelo módulo da primeira derivada Nossa função é que vai ser Então temos aqui a curvatura um sobre r e você se lembrar da nossa primeira e da nossa segunda aula um dividido pelo raio de curvatura é justamente como nós definimos a curvatura lá nos primeiros vídeos e isso faz todo sentido já que a curvatura de uma circunferência de raio R é justamente o inverso do próprio raio da circunferência Beleza já para o nosso caso literal aqui que é uma função sty até já na primeira derivada nós te o resultado gigantesco né porque se você lembra do começo do vídeo ao dividir a derivada pelo bom da própria derivada já vai dar um número grande na maioria das vezes então você pode imaginar como que é difícil é demonstrar esse cálculo literal até o final Beleza então por conta disso eu vou escrever diretamente a forma da curvatura forma resumida da curvatura para vocês Beleza então vai ser a primeira derivada de x vezes a segunda derivada da concorrente Y menos a primeira derivada da concorrente ir vezes a segunda derivada na componente tudo isso módulo tá a temos que tirar o módulo desse resultado aqui e dividir por x linha ao quadrado mais y ao quadrado e tudo elevado a 3 meses beleza eu acho que por esse vídeo aqui Joel bastante nós Já conseguimos calcular a curvatura tanto da nossa função específica e apresentarmos a fórmula da curvatura para qualquer caso eu sugiro que você assistir esse vídeo tem que faz a própria todas as derivadas de cálculos que nós apresentamos aqui nesse vídeo e nós iremos um pouco mais a fundo nessa fórmula aqui e Descobriremos o porquê que ela não é tão aleatório assim quanto parece tá E que ela é quase que uma terceira forma de descrever a curvatura beleza a primeira assim daquela geométrica atados circulado raio de curvatura beleza a segunda sendo a definição matemática que é o módulo de T maiúsculo por DS Ou seja a variação da função vetor tangente unitario pela variação do comprimento de arco e essa que seria a terceira Claro e todas são equivalentes beleza mais esse assunto nós vamos discutir melhor no próximo vídeo tá então é isso galera do clã Academy até o próximo vídeo