Fórmula de curvatura - Parte 4

RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Estamos já no quinto vídeo da série sobre curvatura de uma função, mais especificamente, aqui, estamos tratando de funções vetoriais. Vamos dar uma lembrada em todo o conteúdo que nós já vimos até aqui. Se eu tenho uma função S(t), uma função vetorial qualquer, a curvatura é justamente uma medida de o quanto essa curva realmente curva em cada ponto da função Neste trecho aqui, onde a curva é bem acentuada, você teria uma grande curvatura. Já neste trecho aqui, onde é praticamente reto, você teria uma curvatura bem baixa. No último vídeo, em particular, nós apresentamos a vocês esta fórmula um tanto quanto complicada. Só para lembrar circunstâncias, nós estávamos dizendo que a curvatura, que é denotada pela letra grega capa (κ), é tipicamente calculada como a derivada da função vetor tangente unitário, que é aquela função que nos dá o vetor tangente unitário em cada ponto da função original, em relação à variação do comprimento de arco, que, se você se lembra bem, é justamente um pequeno passo, uma pequena distância na nossa função. E, se nós nos lembrarmos dos vídeos passados, fazendo um plano somente dos vetores tangentes, esta derivada aqui, em sua forma vetorial, nos denota um vetor que conecta as duas pontas dos vetores tangentes. Então, para o nosso valor de curvatura, para nossa medida de curvatura, nós vamos ter que tirar o módulo desta derivada aqui. E no último vídeo, nós vimos que estes dois conceitos são equivalentes. Isto é, o módulo desta derivada é igual a esta fórmula complicada que nós apresentamos no último vídeo. E neste vídeo, nós vamos fazer uma análise bem detalhada desta fórmula, em relação ao que ela significa, para podermos entender que esta fórmula não é aleatória. Tem bastante sentido, ela é uma descrição bem sensata de quanto uma curva realmente é curvada em determinado ponto ou em seu todo. Vamos começar por analisar o numerador desta função, que seria o módulo de x' vezes y'', menos y' vezes x''. Pode ser que você reconheça esta expressão como sendo um produto vetorial. Esse produto seria a primeira derivada vetorial, então: x'(t), y'(t) vetor, vezes x''(t), y''(t), também. Se você, neste momento, não se lembra ou não sabe sobre produto vetorial, eu sugiro que você pause este vídeo e procure nosso conteúdo da Khan em relação a esse produto vetorial, para tanto você entender como se faz a conta, quanto qual é o conceito por trás dessa conta. Para calcular esse produto vetorial, nós temos que multiplicar os componentes da primeira diagonal, então teremos x'(t) vezes y''(t), e subtrair o componente da outra diagonal. y'(t) vezes x''(t). Bem parecido com o determinante matricial. Temos aqui o produto vetorial, que é bem parecido com o que está na fórmula, só que não em módulo. Na verdade, o que nós temos aqui, por enquanto, seria a primeira derivada de S, vezes (produto vetorial) com a segunda derivada de S(t). Neste momento, a pergunta que você tem que se fazer é: o que estes dois vetores significam, ou seja, qual é a interpretação por trás do S' e do S''? Novamente, vamos desenhar aqui uma curva qualquer, no plano xy, etc. A função S(t), em si, está nos retornando vetores cujas pontas, como explicado lá no segundo vídeo, desenham esta curva em amarelo. Então, com a variação do parâmetro "t", há variação destes vetores, que por sua vez definem a nossa curva. Já a primeira derivada vetorial de S, como nós vimos alguns vídeos atrás, está nos dizendo como esses vetores que desenham a curva estão mudando para se manterem sobre essa curva. Ele está dizendo para onde o próximo vetor vai. Isso significa que, em todos os pontos da curva, você sempre obtém, com esta primeira derivada, um tipo de vetor tangente. Todos os vetores dados por esta função, que é a primeira derivada de S, são tangentes, mas não necessariamente unitários. Como nós vimos, temos que normalizar para transformá-los em unitários. Então, você pode ter um vetor tangente grandão, que está indicando que você estaria viajando nesse espaço rapidamente, e você pode ter vetores pequenininhos. O tamanho desse vetor vai depender sempre da nossa parametrização T. Indo um pouco mais adiante, o que significa esta segunda derivada da função S(t)? Novamente, vamos utilizar o recurso de desenhar os vetores tangentes no seu próprio plano. Então, este primeiro gráfico aqui vai representar para a gente S(t) e este vai estar representando S'(t), ou seja, a primeira derivada. Então, temos o vetor tangente aqui. Vamos desenhar primeiro aquele grande vetor, que indica que estamos viajando rapidamente através do plano, só para deixar como exemplo, e também os vetores subsequentes. Então, quando você está indo deste primeiro vetor para o segundo, nós temos a intuição de que a ponta deste vetor tem que estar se movendo na direção que eu desenhei aqui em azul. E é justamente isso que a segunda derivada indica: como a pontinha dos vetores da primeira derivada se movem um em relação a outro. Então, se eu tiver este primeiro vetor aqui, a segunda derivada vai estar apontando para baixo, indicando que o próximo vetor tangente vai ser desenhado com uma angulação menor em relação ao zero. Só para exemplificar e dizer como esses conceitos se encaixam e demonstram a curvatura, vamos desenhar aqui novamente uma curva bem acentuada e dois vetores tangentes em relação a ela. Temos aqui o vetor tangente que aponta para cima e o vetor tangente que aponta para baixo, indicando aqui que há uma curvatura grande, já que a variação entre esses dois vetores é bem grande. E desenhando apenas os vetores, sempre utilizando aquele recurso de visualizar somente os vetores, pode entender que a segunda derivada está basicamente "falando" (entre aspas, obviamente), como o primeiro vetor se transforma no segundo vetor. Se você considerar não somente estes dois vetores, mas o que está acontecendo infinitesimalmente, e desenhar vários vetores entre estes dois, você vai captar como acontece o giro desses vetores, qual é o movimento desses vetores. E, se o vetor S'', o vetor da segunda derivada, está perpendicular a este vetor tangente, ele vai estar dizendo somente como o vetor deve girar para se transformar no próximo vetor. Vamos dizer se ele não estivesse perpendicular, mas formasse um ângulo agudo com o primeiro vetor, esta segunda derivada seria uma indicação de não somente como vetor está virando, mas que este vetor, em determinado ponto, entre este vetor e o próximo, há uma diminuição do módulo desse vetor. Então, quando o vetor está apontando, digamos, contra o vetor tangente, ele está dizendo não somente: "Olha, você tem que virar nessa direção"; mas ele está dizendo que o vetor tem que encolher, tem que diminuir o seu módulo, o seu tamanho, como se ele estivesse desacelerando no espaço. Já se o vetor S'' estivesse formando um ângulo obtuso, ou seja, estivesse apontando na mesma direção que o vetor tangente, ele estaria dizendo não somente para o vetor tangente virar, mas estaria dizendo para o vetor aumentar esse módulo. Mas a importância desses conceitos para nós é apenas dizer o quanto esses vetores são perpendiculares. E aí que vem a importância do produto vetorial, já que a interpretação do módulo do produto vetorial, que é o que a gente tem no numerador da fórmula, é a área do paralelogramo (ou do quadrilátero) formado por estes dois vetores aqui, o S' e o S''. E é uma medida perfeita, já que uma pequena área indicaria que os vetores são pouco perpendiculares, ou seja, o valor do ângulo formado entre eles está longe de 90 graus, e uma área que chega perto da área que seria formada caso os dois vetores possuem perpendiculares indica justamente que o ângulo formado entre esses dois vetores está perto do ângulo de 90 graus. já que essas duas áreas são próximas. E para não deixar este vídeo mais longo do que já está, vamos deixar as próximas considerações para o próximo vídeo, em que a gente vai conversar bastante sobre o denominador desta fórmula complicada e vamos exemplificar. Então é isso, galera do Khan Academy. Nós nos vemos no próximo vídeo!