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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 6: Curvatura- Intuição de curvatura
- Fórmula de curvatura - Parte 1
- Fórmula de curvatura - Parte 2
- Fórmula de curvatura - Parte 3
- Fórmula de curvatura - Parte 4
- Fórmula de curvatura - Parte 5
- Curvatura de uma hélice- Parte 1
- Curvatura de uma hélice- Parte 2
- Curvatura de uma cicloide
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Fórmula de curvatura - Parte 4
Depois de o último vídeo fazer referência a uma fórmula explícita da curvatura, aqui você pode começar a ter uma intuição de por que fórmulas aparentemente não relacionadas descrevem a curvatura. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Estamos já no quinto vídeo da série
sobre curvatura de uma função, mais especificamente, aqui,
estamos tratando de funções vetoriais. Vamos dar uma lembrada em todo
o conteúdo que nós já vimos até aqui. Se eu tenho uma função S(t),
uma função vetorial qualquer, a curvatura é justamente uma medida de o quanto essa curva
realmente curva em cada ponto da função Neste trecho aqui, onde a curva é bem acentuada,
você teria uma grande curvatura. Já neste trecho aqui, onde é praticamente reto,
você teria uma curvatura bem baixa. No último vídeo, em particular, nós apresentamos
a vocês esta fórmula um tanto quanto complicada. Só para lembrar circunstâncias,
nós estávamos dizendo que a curvatura, que é denotada pela letra grega capa (κ), é tipicamente calculada como a derivada
da função vetor tangente unitário, que é aquela função que nos dá
o vetor tangente unitário em cada ponto da função original, em relação à variação do comprimento de arco,
que, se você se lembra bem, é justamente um pequeno passo,
uma pequena distância na nossa função. E, se nós nos lembrarmos
dos vídeos passados, fazendo um plano somente
dos vetores tangentes, esta derivada aqui, em sua forma vetorial, nos denota um vetor que conecta
as duas pontas dos vetores tangentes. Então, para o nosso valor de curvatura,
para nossa medida de curvatura, nós vamos ter que tirar o módulo
desta derivada aqui. E no último vídeo, nós vimos
que estes dois conceitos são equivalentes. Isto é, o módulo desta derivada é igual a esta fórmula complicada
que nós apresentamos no último vídeo. E neste vídeo, nós vamos fazer
uma análise bem detalhada desta fórmula, em relação ao que ela significa, para podermos entender
que esta fórmula não é aleatória. Tem bastante sentido,
ela é uma descrição bem sensata de quanto uma curva realmente é curvada
em determinado ponto ou em seu todo. Vamos começar por analisar
o numerador desta função, que seria o módulo de x' vezes y'', menos y' vezes x''. Pode ser que você reconheça esta expressão
como sendo um produto vetorial. Esse produto seria a primeira derivada vetorial,
então: x'(t), y'(t) vetor, vezes x''(t), y''(t), também. Se você, neste momento, não se lembra
ou não sabe sobre produto vetorial, eu sugiro que você pause este vídeo
e procure nosso conteúdo da Khan em relação a esse produto vetorial, para tanto você entender
como se faz a conta, quanto qual é o conceito
por trás dessa conta. Para calcular esse produto vetorial, nós temos que multiplicar
os componentes da primeira diagonal, então teremos x'(t) vezes y''(t), e subtrair o componente da outra diagonal. y'(t) vezes x''(t). Bem parecido com o determinante matricial. Temos aqui o produto vetorial, que é bem parecido com o que está na fórmula,
só que não em módulo. Na verdade, o que nós temos aqui,
por enquanto, seria a primeira derivada de S, vezes (produto vetorial)
com a segunda derivada de S(t). Neste momento, a pergunta
que você tem que se fazer é: o que estes dois vetores significam, ou seja, qual é a interpretação
por trás do S' e do S''? Novamente, vamos desenhar aqui
uma curva qualquer, no plano xy, etc. A função S(t), em si,
está nos retornando vetores cujas pontas, como explicado lá no segundo vídeo,
desenham esta curva em amarelo. Então, com a variação do parâmetro "t", há variação destes vetores,
que por sua vez definem a nossa curva. Já a primeira derivada vetorial de S,
como nós vimos alguns vídeos atrás, está nos dizendo como esses vetores
que desenham a curva estão mudando para se manterem
sobre essa curva. Ele está dizendo para onde
o próximo vetor vai. Isso significa que,
em todos os pontos da curva, você sempre obtém, com esta primeira derivada,
um tipo de vetor tangente. Todos os vetores dados por esta função,
que é a primeira derivada de S, são tangentes,
mas não necessariamente unitários. Como nós vimos, temos que normalizar
para transformá-los em unitários. Então, você pode ter
um vetor tangente grandão, que está indicando que você estaria
viajando nesse espaço rapidamente, e você pode ter vetores pequenininhos. O tamanho desse vetor vai depender
sempre da nossa parametrização T. Indo um pouco mais adiante, o que significa
esta segunda derivada da função S(t)? Novamente, vamos utilizar o recurso de desenhar os vetores tangentes
no seu próprio plano. Então, este primeiro gráfico aqui
vai representar para a gente S(t) e este vai estar representando S'(t),
ou seja, a primeira derivada. Então, temos o vetor tangente aqui. Vamos desenhar primeiro
aquele grande vetor, que indica que estamos viajando rapidamente
através do plano, só para deixar como exemplo, e também os vetores subsequentes. Então, quando você está indo
deste primeiro vetor para o segundo, nós temos a intuição
de que a ponta deste vetor tem que estar se movendo na direção
que eu desenhei aqui em azul. E é justamente isso
que a segunda derivada indica: como a pontinha dos vetores da primeira derivada
se movem um em relação a outro. Então, se eu tiver este primeiro vetor aqui,
a segunda derivada vai estar apontando para baixo, indicando que o próximo vetor tangente
vai ser desenhado com uma angulação menor
em relação ao zero. Só para exemplificar e dizer como esses conceitos
se encaixam e demonstram a curvatura, vamos desenhar aqui novamente
uma curva bem acentuada e dois vetores tangentes em relação a ela. Temos aqui o vetor tangente que aponta para cima
e o vetor tangente que aponta para baixo, indicando aqui
que há uma curvatura grande, já que a variação entre esses dois vetores
é bem grande. E desenhando apenas os vetores, sempre utilizando aquele recurso
de visualizar somente os vetores, pode entender que a segunda derivada
está basicamente "falando" (entre aspas, obviamente), como o primeiro vetor se transforma
no segundo vetor. Se você considerar não somente
estes dois vetores, mas o que está acontecendo
infinitesimalmente, e desenhar vários vetores
entre estes dois, você vai captar como acontece
o giro desses vetores, qual é o movimento desses vetores. E, se o vetor S'',
o vetor da segunda derivada, está perpendicular a este vetor tangente, ele vai estar dizendo somente como o vetor
deve girar para se transformar no próximo vetor. Vamos dizer se ele não estivesse
perpendicular, mas formasse um ângulo agudo
com o primeiro vetor, esta segunda derivada seria uma indicação
de não somente como vetor está virando, mas que este vetor, em determinado ponto,
entre este vetor e o próximo, há uma diminuição do módulo desse vetor. Então, quando o vetor está apontando,
digamos, contra o vetor tangente, ele está dizendo não somente:
"Olha, você tem que virar nessa direção"; mas ele está dizendo que o vetor
tem que encolher, tem que diminuir o seu módulo,
o seu tamanho, como se ele estivesse desacelerando
no espaço. Já se o vetor S'' estivesse formando
um ângulo obtuso, ou seja, estivesse apontando
na mesma direção que o vetor tangente, ele estaria dizendo não somente
para o vetor tangente virar, mas estaria dizendo para o vetor
aumentar esse módulo. Mas a importância desses conceitos
para nós é apenas dizer o quanto esses vetores
são perpendiculares. E aí que vem a importância
do produto vetorial, já que a interpretação do módulo
do produto vetorial, que é o que a gente tem
no numerador da fórmula, é a área do paralelogramo
(ou do quadrilátero) formado por estes dois vetores aqui,
o S' e o S''. E é uma medida perfeita,
já que uma pequena área indicaria que os vetores
são pouco perpendiculares, ou seja, o valor do ângulo formado
entre eles está longe de 90 graus, e uma área que chega perto
da área que seria formada caso os dois vetores possuem
perpendiculares indica justamente que o ângulo formado entre esses dois vetores
está perto do ângulo de 90 graus. já que essas duas áreas são próximas. E para não deixar este vídeo
mais longo do que já está, vamos deixar as próximas considerações para o próximo vídeo, em que a gente
vai conversar bastante sobre o denominador desta fórmula complicada
e vamos exemplificar. Então é isso, galera do Khan Academy.
Nós nos vemos no próximo vídeo!