Fórmula de curvatura - Parte 5

RKA2MP - Fala, galera do Khan Academy! Estamos já no sexto vídeo dentro da série sobre curvatura de uma função. Mais especificamente, aqui estamos sempre tratando de funções vetoriais, só para lembrar. Já que estamos tão avançados, vamos voltar um pouco e ver em que patamar dos estudos nós nos encontramos. Estávamos, no vídeo passado, analisando esta fórmula aqui e tentando entender por que ela corresponde à curvatura que a gente está procurando. E a primeira coisa que nós notamos foi que o numerador desta fórmula corresponde a um certo produto vetorial: o produto vetorial entre a primeira derivada da função S(t) e a segunda derivada da função S(t). Seria: S'(t), produto vetorial, S''(t). E a forma que começamos a entender este conceito foi pensando que a função S(t) produz vetores que riscam a determinada curva com a sua ponta, se você se lembra. E, se você se perguntar como uma ponta se move até a ponta do próximo vetor, levando em consideração o parâmetro "t", isto é, qual direção esse vetor deve ir para que essa ponta se mova para a próxima, você encontrará justamente a primeira derivada da função S(t), que seria o S'(t). E, tratando esse conceito de uma forma infinitesimal, você descobre por que existem vetores tangentes ao longo de toda a curva para essa primeira derivada. Existe, no Khan Academy, uma série inteira de vídeos sobre a derivada de função vetorial e lá você pode encontrar o porquê da primeira derivada ser uma função de vetores tangentes. Voltando aos nossos últimos vídeos, nós desenhamos também, novamente, os vetores tangentes em seu próprio plano. Então, temos aqui um espaço somente para eles. Podemos chamar até de espaço S'(t). E a forma que esse vetor tangente se move, ou se transforma no vetor tangente subsequente, no próximo, é dado pela segunda derivada da função, que é o S''(t). Como se a segunda derivada tivesse o mesmo papel para a primeira derivada que a primeira derivada tinha para a função original, que seria, na verdade, de indicar o próximo passo, qual é o próximo vetor. Se você tem um caso onde os vetores tangentes estão apenas mudando de direção, sem alterar o seu módulo, esse caso corresponde a quando a segunda derivada da nossa função é um vetor perpendicular ao vetor produzido pela primeira derivada. Então, aqui a gente consegue sintetizar bem por que o numerador daquela fórmula um tanto quanto complexa que a gente apresentou representa, assim, a curvatura, em parte. Mas aqui a gente tem uma pegadinha: se você olhar esta fórmula proposta, você vai ver que a gente está calculando a curvatura a partir de uma derivada em relação a S, e não em relação a "t" já que, para a curvatura, não importa como você parametrizou essa curva. Se retomarmos o exemplo lá dos primeiros vídeos, se o carro está na estrada, não importa a velocidade em que esse carro está viajando. A curvatura vai ser a mesma, ou seja, a curvatura independe da parametrização que você utilizou na função original. E, vendo este produto vetorial, nós vemos que isso é um problema, já que, a depender da parametrização da nossa função, você também vai mudar o tamanho, ou seja, os módulos dos vetores de primeira e segunda derivada. Então, vamos imaginar que você esteja viajando através desta curva S(t) com o dobro da velocidade, ou seja, duas vezes mais rápido. Por conta disso, seu vetor tangente, ou seja, seu vetor de primeira derivada seria o dobro. Então, vamos desenhar esse vetor com o dobro do tamanho, para indicar que você está indo duas vezes mais rápido. E o vetor de segunda derivada seguiria a mesma proporção, ou seja, você teria um vetor de segunda derivada duas vezes maior. E o que aconteceria é que você não teria um paralelogramo formado por esses dois vetores duas vezes maior, mas sim um paralelogramo quatro vezes maior, o que vai dificultar um pouco você conseguir medir a perpendicularidade desses dois vetores. A fim de evitar esse problema de parametrização, nós vamos novamente realizar uma normalização de vetores em relação ao seu próprio módulo. Ou seja, nós vamos normalizar o vetor de primeira derivada em relação ao seu próprio módulo e, para manter a normalização naquele quadrilátero que a gente formou com o vetor de primeira derivada e o vetor de segunda derivada, nós vamos normalizar o vetor de segunda derivada em relação ao de primeira. Então, nós teremos que pegar o vetor de primeira derivada e dividir pelo módulo da primeira derivada, e pegar o vetor de segunda derivada e também dividir pelo módulo do vetor de primeira derivada. Então, se calcularmos o produto vetorial dessas duas derivadas pelo módulo de S', nós teremos um resultado mais preciso em relação à perpendicularidade desses vetores. Uma outra coisa que acontece é que esse produto vetorial é justamente o vetor dT por dt, que nós comentamos lá no terceiro vídeo da série. E, se lembrarmos da fórmula apresentada nesse vídeo, vamos lembrar também que precisamos novamente tirar o módulo desse vetor. Então, nós temos que dividir de novo o produto vetorial pelo módulo de S'(t). E, neste caso, esse resultado final vai ser o próprio resultado da curvatura. Nós podemos escrever essa fórmula novamente em uma forma melhor: já que vemos este módulo três vezes na fórmula, nós vamos realizar uma simplificação, pondo ele no denominador de novo e pondo ao cubo. E, no denominador, a gente ainda tem S' e S''. E você pode pensar nesta fórmula aqui como apenas mais uma fórmula, até porque aqui nós já vimos quatro fórmulas para curvatura, quatro jeitos de definir a curvatura de forma matemática. Se voltarmos à fórmula mais complicada, que nós apresentamos alguns vídeos atrás, fica mais fácil de entender que esta é apenas uma forma mais mastigada da fórmula original, já que este componente aqui embaixo, na verdade, é o módulo da função vetor tangente, ao cubo porque, como nós vimos, ele aparece três vezes, e a raiz quadrada é justamente o expoente 1/2, aqui deste denominador 2, que é a raiz quadrada. Esta fórmula complexa está, na verdade, apenas expressando esta ideia que apresentamos sobre o produto vetorial, isto é, traduz o processo de realizar o produto vetorial normalizado entre a primeira derivada da função, normalizada pelo seu próprio módulo e a segunda derivada da função, que também está normalizada pelo módulo da primeira derivada. Porque, se você se recordar do paralelogramo, nós queremos que ele mantenha a mesma proporção original quando nós fazemos esse escalonamento. Nós já explicamos aqui, um pouco antes, o porquê dessa normalização do vetor de segunda derivada em relação ao de primeira. Voltando aqui à fórmula, nós dividimos novamente o produto vetorial pelo módulo de S', porque não queremos um diferencial em relação a "t", e sim em relação ao S, que é o comprimento de arco. E esta é a maneira de criar um fator de correção para o quanto você estará errado se calcular o diferencial T em relação ao diferencial "t", e não ao diferencial ds, que é o diferencial do nosso comprimento de arco. Então, ao final deste vídeo, a gente espera que aquela fórmula um tanto quanto complicada e complexa pareça menos difícil e menos aleatória, principalmente, e que a gente tenha concebido mais uma ferramenta conceitual para entender mais sobre o conceito de curvatura. Até este momento, nós já vimos diversas maneiras de entender e calcular essa curvatura. Então, nos próximos vídeos, nós vamos fazer o quê? Vamos calcular exemplos de funções específicas para ver realmente como se dá o processo de utilização dessas fórmulas. Então é isso, galera do Khan Academy. Nós nos vemos no próximo vídeo!