Intuição de curvatura

RKA8JV - Olá, meu amigo minha ou amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a ideia da curvatura. Para isso, eu desenhei aqui no plano (x, y) uma certa curvatura. Este é o nosso eixo "x" e esse é o nosso eixo "y", e esta é uma curvatura que atravessa o espaço. Eu gostaria que você imaginasse que isso é uma pequena estrada de algum tipo e você está dirigindo nela. Vamos supor que você está aqui em um certo ponto. Então, vamos dizer que este aqui seja o ponto. Se você imaginar que está dirigindo nessa estrada, vai ser preciso virar o seu volante aqui para a direita. Não muita coisa, porque essa é uma curva suave, ela não está muito encurvada, você continua e o volante ainda não está reto, você ainda está girando aqui nesta estrada. Agora imagine que o seu volante ficou preso, que ele não consegue se mover. Devido a isso, você vai ficar preso nessa situação e continuar girando assim. O que vai acontecer aqui, e eu espero que você esteja em um campo aberto ou algo assim, é que o seu carro vai traçar algum tipo de círculo perfeito, não é? Se o seu volante continuar preso, e você não puder fazer nada a respeito, você vai continuar girando a uma determinada taxa através desse círculo gigantesco. Claro, isso vai depender de onde você está, certo? Vamos dizer que você está em um outro ponto aqui da curva. Repare que no ponto que a gente estava, a curva não era muito acentuada, mas vamos supor que você voltou aqui do início. Aqui no começo, você vai girar o seu volante para a direita, mas você teve que girar bem mais do que antes, não é? Se o seu volante ficar preso aqui, você não vai ficar nessa curva que estava antes, você vai acabar desenhando um círculo muito menor. Uma forma legal de pensar sobre uma medida que nos mostra como a curva realmente se curva, é pensar no raio desse círculo. Ou seja, qual seria o raio de um círculo caso o seu volante ficasse preso e o carro começasse a traçar um círculo? Se você seguir o ponto, ao longo de diferentes partes da curva que temos aqui e pensar em qual círculo diferente o carro rastrearia se estivesse preso a esse ponto, você encontraria raios diferentes, não é? Este raio, que eu vou chamar de "R", tem um nome muito especial. Ele é chamado de raio de curvatura, e você pode ver isso como uma forma de descrever o quanto você está girando. Provavelmente você já deve ter ouvido falar do raio de giro de um carro, não é? Um carro com um raio de giro bom é aquele que consegue virar o volante tudo o que podia e aí traçar um círculo muito pequeno. Mas, um carro com raio de giro ruim, se você girar o volante completamente, ele vai traçar um círculo com um raio bem maior. Um detalhe importante é que a curvatura em si não é esse raio, não é o raio de curvatura. Mas o que é então? É o inverso disso, ou seja, é 1/R. Existe um símbolo especial para isso, que lembra muito um "k". Ah, eu não tenho muita certeza da caligrafia que eu vou usar aqui, mas é um símbolo que lembra um "k" com um pezinho, por assim dizer, um pouquinho ondulado. Esta é a letra grega chamada "kappa", e ela representa a curvatura. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu gostaria agora que você pensasse por um segundo por que escolhemos outra coisa em vez do ''R". "R" é uma descrição perfeitamente adequada para as curvas de uma estrada, não é? Mas por que pensar em 1/R em vez do próprio "R"? Bem, a razão disso é que você quer que quanto mais acentuada seja a curva de uma estrada, maior seja o número que indique isso. Então, se você está em um ponto onde você está girando muito o volante e você quer resultar em um número maior, repare que o raio precisa ser pequeno. Mas, se você está em um ponto que é basicamente uma estrada reta, mas há uma ligeira curva nessa estrada, teremos uma curvatura sendo representada por um número muito pequeno, mas nesse caso, o raio de curvatura é muito grande. Então, é muito útil ter 1/R como uma medida para o quanto a estrada está encurvada. No próximo vídeo, eu vou começar a de descrever um pouco mais matematicamente as coisas usando esse valor, porque como uma descrição gráfica, como a gente fez aqui, basta a gente pensar na ideia de que se o volante de um carro estiver travado, podemos determinar aqui um círculo formado por esse carro se movimentando. Porém, ao usar uma matemática mais formalizada, nós vamos descrever essa curva de forma paramétrica, e aí, o resultado será uma determinada função com um valor vetorial. Sendo assim, o que vamos tentar fazer é usar essa ideia de curvatura e aplicá-la na expressão parametrizada. Enfim, a gente vai fazer isso nos próximos vídeos. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!