Curvatura de uma cicloide

RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui no nosso último vídeo da série sobre curvatura. E como dito nos vídeos anteriores, neste aqui nós vamos fazer um cálculo da curvatura para outra curva. Só que ao invés de utilizarmos todo aquele processo de achar uma função vetor tangente unitário e derivá-la em relação ao diferencial de comprimento de arco, nós iremos utilizar diretamente aquela nossa fórmula um tanto quanto complicada. A função que eu tenho em mente para este exercício aqui é esta daqui. Aquela que nós utilizamos lá nos primeiros vídeos, onde eu dei o exemplo do carro que segue em uma estrada que tem este perfil aqui, o seu volante trava e acaba por descrever uma circunferência. E para aqueles que gostam de guardar nomes, o nome dessa curva aqui é cicloide. Vamos, então, definir matematicamente esta curva aqui. E como visto anteriormente, trata-se de uma função vetorial S(t) que possui componentes x(t) e y(t). E o cicloide, especificamente, é definido por t - sen(t) para a componente "x" e 1 - cos(t) para a componente "y". E a fórmula que teremos que utilizar para este exemplo aqui é aquela fórmula que kappa (κ) é igual ao módulo de x' vezes y" menos y' vezes x". Que nada mais é do que o produto vetorial entre a primeira e a segunda derivada da nossa função. E lembrando aqui que uma linha significa a primeira derivada e duas linhas significa segunda derivada. Daí a gente tem que dividir tudo por x'² + y'² elevado a 3/2, beleza? Então, agora o que nós temos que fazer é encontrar a primeira e a segunda derivada de cada componente da nossa função S(t). Para x' teremos 1 - cos(t) já que a derivada de sen(t) é cos(t). Para y' teremos apenas sen(t). Para a segunda derivada de "x", ou seja, x", teremos apenas sen(t), já que a derivada de 1 é zero. E a derivada de -cos(t) é sen(t). E, por fim, y" que será apenas -cos(t). Agora, nós precisamos apenas substituir estes valores aqui na nossa fórmula. Então, nós teremos "κ" que é igual ao módulo de 1 - cos(t) multiplicado por cos(t) novamente, menos sen(t)². E para o denominador da nossa fórmula, nós teremos 1 - cos(t)² mais sen²(t). E tudo isso, toda esta expressão, elevado a 3/2. Apenas pegando as derivadas das componentes "x" e "y" e aplicando a fórmula, nós chegamos ao resultado. E vale lembrar que aqui nós não chegamos a um resultado de um número absoluto diretamente, pois se você lembra dos primeiros vídeos, esta curva aqui tem uma curvatura variável. Ou seja, a depender do ponto em que você se encontra, você vai obter um valor diferente para a curvatura. Então, se você tem um determinado ponto e quer saber a curvatura, você tem que pegar este ponto "t" e substituir aqui na fórmula da nossa curvatura, beleza? E sabendo de tudo isso, vamos agora fazer uma espécie de fluxograma para utilizar esta nossa fórmula aqui, parecido com o que nós fizemos no vídeo passado. Então, a partir de uma função vetorial S(t) que possui componente x(t) e y(t), nós temos que calcular a primeira e a segunda derivada das duas componentes. Então, teremos que achar x', x", y', y". Após isso, nós temos que substituir estas derivadas diretamente na nossa fórmula achando uma equação. E como estamos tratando de uma função cuja curvatura é variável, nós temos que pegar o parâmetro "t" do ponto de interesse. Ou seja, do ponto que nós queremos calcular esta curvatura, e substituir novamente aqui na nossa fórmula. E deste jeito nós encontramos nosso valor absoluto para a curvatura. Galera, com este vídeo e este exemplo, nós encerramos aqui a nossa série de vídeos sobre curvatura. E ao final desta série, você deve ser capaz de entender o conceito de curvatura de diversas maneiras e ter em mente estas duas fórmulas que utilizamos nos últimos 3 vídeos, para conseguir calcular esta curvatura. Tanto com o conceito da derivada do vetor tangente unitário pelo comprimento de arco, quanto pela fórmula direta que utiliza os módulos e o produto vetorial entre as derivadas da função. Então, é isso! Nos vemos aqui pela Khan Academy.