Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 6: Curvatura- Intuição de curvatura
- Fórmula de curvatura - Parte 1
- Fórmula de curvatura - Parte 2
- Fórmula de curvatura - Parte 3
- Fórmula de curvatura - Parte 4
- Fórmula de curvatura - Parte 5
- Curvatura de uma hélice- Parte 1
- Curvatura de uma hélice- Parte 2
- Curvatura de uma cicloide
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Curvatura de uma cicloide
Um exemplo de cálculo da curvatura com a fórmula explícita. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui no nosso último
vídeo da série sobre curvatura. E como dito nos vídeos anteriores, neste aqui nós vamos fazer um
cálculo da curvatura para outra curva. Só que ao invés de utilizarmos
todo aquele processo de achar uma função vetor tangente unitário e derivá-la em relação ao diferencial
de comprimento de arco, nós iremos utilizar diretamente
aquela nossa fórmula um tanto quanto complicada. A função que eu tenho em mente
para este exercício aqui é esta daqui. Aquela que nós utilizamos lá
nos primeiros vídeos, onde eu dei o exemplo do carro
que segue em uma estrada que tem este perfil aqui, o seu volante trava e acaba por
descrever uma circunferência. E para aqueles que gostam
de guardar nomes, o nome dessa curva
aqui é cicloide. Vamos, então, definir matematicamente
esta curva aqui. E como visto anteriormente, trata-se de uma função vetorial S(t) que possui componentes x(t) e y(t). E o cicloide, especificamente,
é definido por t - sen(t) para a componente "x"
e 1 - cos(t) para a componente "y". E a fórmula que teremos que utilizar
para este exemplo aqui é aquela fórmula que kappa (κ) é igual ao módulo de x' vezes y"
menos y' vezes x". Que nada mais é do que
o produto vetorial entre a primeira e a segunda
derivada da nossa função. E lembrando aqui que uma linha
significa a primeira derivada e duas linhas significa
segunda derivada. Daí a gente tem que dividir
tudo por x'² + y'² elevado a 3/2, beleza? Então, agora o que nós temos que fazer é encontrar a primeira
e a segunda derivada de cada componente
da nossa função S(t). Para x' teremos
1 - cos(t) já que a derivada
de sen(t) é cos(t). Para y' teremos apenas sen(t). Para a segunda derivada de "x", ou seja, x", teremos apenas sen(t), já que a derivada de 1 é zero. E a derivada de -cos(t) é sen(t). E, por fim, y" que será
apenas -cos(t). Agora, nós precisamos apenas substituir
estes valores aqui na nossa fórmula. Então, nós teremos "κ" que é igual
ao módulo de 1 - cos(t) multiplicado por cos(t) novamente, menos sen(t)². E para o denominador
da nossa fórmula, nós teremos 1 - cos(t)² mais sen²(t). E tudo isso, toda esta expressão,
elevado a 3/2. Apenas pegando as derivadas
das componentes "x" e "y" e aplicando a fórmula, nós chegamos ao resultado. E vale lembrar que aqui nós
não chegamos a um resultado de um número absoluto diretamente, pois se você lembra
dos primeiros vídeos, esta curva aqui tem
uma curvatura variável. Ou seja, a depender do ponto
em que você se encontra, você vai obter um valor
diferente para a curvatura. Então, se você tem
um determinado ponto e quer saber a curvatura, você tem que pegar este ponto "t" e substituir aqui na fórmula
da nossa curvatura, beleza? E sabendo de tudo isso, vamos agora fazer uma
espécie de fluxograma para utilizar esta nossa fórmula aqui, parecido com o que nós
fizemos no vídeo passado. Então, a partir de uma
função vetorial S(t) que possui componente x(t) e y(t), nós temos que calcular a
primeira e a segunda derivada das duas componentes. Então, teremos que
achar x', x", y', y". Após isso, nós temos que substituir estas derivadas diretamente
na nossa fórmula achando uma equação. E como estamos tratando de uma
função cuja curvatura é variável, nós temos que pegar o parâmetro "t"
do ponto de interesse. Ou seja, do ponto que nós
queremos calcular esta curvatura, e substituir novamente aqui
na nossa fórmula. E deste jeito nós encontramos
nosso valor absoluto para a curvatura. Galera, com este vídeo e este exemplo, nós encerramos aqui a nossa série
de vídeos sobre curvatura. E ao final desta série, você deve ser capaz de entender
o conceito de curvatura de diversas maneiras e ter em mente estas duas fórmulas
que utilizamos nos últimos 3 vídeos, para conseguir calcular esta curvatura. Tanto com o conceito da
derivada do vetor tangente unitário pelo comprimento de arco, quanto pela fórmula direta
que utiliza os módulos e o produto vetorial entre
as derivadas da função. Então, é isso! Nos vemos aqui pela
Khan Academy.