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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 6: Curvatura- Intuição de curvatura
- Fórmula de curvatura - Parte 1
- Fórmula de curvatura - Parte 2
- Fórmula de curvatura - Parte 3
- Fórmula de curvatura - Parte 4
- Fórmula de curvatura - Parte 5
- Curvatura de uma hélice- Parte 1
- Curvatura de uma hélice- Parte 2
- Curvatura de uma cicloide
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Curvatura de uma hélice- Parte 1
Um exemplo de cálculo de curvatura por determinação da função vetor unitário tangente e, então, o cálculo de sua derivada em relação ao comprimento do arco. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Fala galera da Khan Academy! Então, estamos aqui já em nosso
sétimo vídeo da série sobre curvatura. E até aqui já vimos diversas maneiras
de definir a curvatura tanto geometricamente
como matematicamente. Então, aqui nestes últimos vídeos
da série, faremos alguns exemplos, beleza? Neste vídeo em específico,
daremos um passo adiante. Iremos calcular a curvatura
de uma função vetorial tridimensional. Se você se lembra
dos nossos exemplos, eles eram todos com "x" e "y",
ou seja, bidimensionais. E, neste vídeo aqui, iremos fazer um tridimensional, beleza? Os dois primeiros componentes dessa
função aqui remetem a um círculo. Então, teremos para
a componente "x", cos(t), para a nossa componente "y" sen(t), e como se trata de uma
função tridimensional, teremos também uma componente "z",
que, neste caso, é t/5. Vamos dar uma olhada no gráfico
que esta parametrização nos dá. Esta forma geométrica
é chamada de helicoide, beleza? E, olhando este gráfico aqui por cima, olhando através do plano (x, y), esta forma geométrica
parece um círculo. Talvez aqui não pareça tanto, por conta da perspectiva, as linhas que estão mais
afastadas do observador irão parecer menores. Mas, geometricamente,
se você olhar isso aqui de cima, dará um círculo, beleza? E como o "z" aumenta
conforme o "t" aumenta, este círculo não fecha. Formando o que podem
chamar de uma espiral. E para entender o exercício, você pode se imaginar
pilotando uma nave espacial. E retomando o raciocínio dos
primeiros vídeos da nossa série, imagine que o volante desta nave
trava em determinado ponto e você acaba por descrever
não uma helicoide, mas sim um círculo. E temos aí o círculo, beleza? E aqui o que nos importa
é justamente este círculo aqui, esta circunferência. Já que se você dividir 1
pelo raio desta circunferência, que é o raio de curvatura, você vai obter
a curvatura "K". E como vimos,
nos vídeos anteriores, nós não falamos ou tratamos
deste círculo de forma direta, mas sim desenvolvermos,
ao longo dos cursos, ferramentas conceituais
e fórmulas para tratar deste valor e chegar neste valor da curvatura. Mas é sempre bom a gente poder
usar a imaginação para entender o problema
que está sendo proposto. Então, seguindo os passos
dos vídeos anteriores, primeiramente, nós temos que calcular
a função vetor tangente unitário. Esboçando aqui a helicoide,
são aqueles vetores que, em cada, ponto indicam
o próximo passo. Eles são tangentes à curva. E, para isso, teremos que calcular
a primeira derivada da nossa função s(t) e depois, normalizar esta função
de acordo com seu próprio modo. E como visto nos últimos vídeos, para realizar a normalização
desta função em relação ao seu próprio módulo, nós temos que simplesmente
pegar esta primeira derivada e dividir pelo módulo desta
própria derivada, beleza? Já que somente a primeira derivada
nos retorna vetores tangentes que não necessariamente
são unitários. E em última instância, o que estamos
tentando encontrar aqui é a nossa curvatura que definimos
lá nos primeiros vídeos como sendo a derivada
da função vetor tangente unitário em relação ao diferencial
do comprimento de arco. Então, vamos aos cálculos! Nós vamos ter aqui s'(t),
que é a primeira derivada e vamos ter que derivar cada
componente separadamente. A derivada de cos(t) é -sen(t). A derivada de sen(t) é cos(t). A derivada da nossa
componente "z" é uma constante que vai ser 1/5. Já que temos a derivada, nós precisamos agora do módulo
desta derivada para conseguirmos normalizar. Então, vamos ter aqui para o módulo
√sen²(t) + cos²(t) + (1/5)² que vai ser 1/25, beleza? E você pode notar que,
durante este curso, nós sempre utilizamos seno
e cosseno para as nossas funções, isto se dá porque muitas das vezes
estas funções nos retornam círculos ou algo parecido. Mas, principalmente, porque ao utilizar estas variáveis
trigonométricas seno e cosseno, muitas das vezes nos permite
simplificações utilizando a relação fundamental
da trigonometria, principalmente no cálculo dos módulos. Então, este sen² + cos², como nós já sabemos, é 1. Portanto, o módulo da nossa
raiz vai ser √1 + 1/25. E esta soma aqui,
sabendo que 1 é 25/25, vai dar 26/25. Então, o nosso módulo
fica como √26/25, beleza? E dá para simplificar mais ainda, porque este 25 é um quadrado perfeito. Então, a gente pode
tirar da raiz. Então, nós teremos √26 sobre 5. E vendo este resultado, dá para perceber que
nós tivemos uma certa sorte. Porque o módulo da primeira derivada é uma constante e não uma função. E como nós vimos
nos vídeos anteriores, caso este módulo
seja uma função, esta conta aqui da curvatura pode
ficar bem complexa e bem complicada. Agora, nós temos que pegar cada
componente da nossa primeira derivada e dividir por este módulo
que encontramos. Então, a nossa função
vetor tangente unitário será, para a componente "x",
menos sen(t) dividido por √26
sobre 5, para componente "y", cos(t) dividido pelo nosso módulo, que é √26 sobre 5 novamente. E para a nossa componente "z", teremos 1/5 dividido por
√26 sobre 5. E para não estender
muito este vídeo, vamos deixar as considerações
e os cálculos finais para o próximo vídeo, beleza? E antes de seguir para
o próximo vídeo, eu sugiro que você, munido da sua tabela de derivadas, tente realizar todos os cálculos que nós fizemos aqui no decorrer
deste exercício, está bom? Então, é isso, galera
da Khan Academy. Nós nos vemos no próximo vídeo!