Curvatura de uma hélice- Parte 1

RKA3JV - Fala galera da Khan Academy! Então, estamos aqui já em nosso sétimo vídeo da série sobre curvatura. E até aqui já vimos diversas maneiras de definir a curvatura tanto geometricamente como matematicamente. Então, aqui nestes últimos vídeos da série, faremos alguns exemplos, beleza? Neste vídeo em específico, daremos um passo adiante. Iremos calcular a curvatura de uma função vetorial tridimensional. Se você se lembra dos nossos exemplos, eles eram todos com "x" e "y", ou seja, bidimensionais. E, neste vídeo aqui, iremos fazer um tridimensional, beleza? Os dois primeiros componentes dessa função aqui remetem a um círculo. Então, teremos para a componente "x", cos(t), para a nossa componente "y" sen(t), e como se trata de uma função tridimensional, teremos também uma componente "z", que, neste caso, é t/5. Vamos dar uma olhada no gráfico que esta parametrização nos dá. Esta forma geométrica é chamada de helicoide, beleza? E, olhando este gráfico aqui por cima, olhando através do plano (x, y), esta forma geométrica parece um círculo. Talvez aqui não pareça tanto, por conta da perspectiva, as linhas que estão mais afastadas do observador irão parecer menores. Mas, geometricamente, se você olhar isso aqui de cima, dará um círculo, beleza? E como o "z" aumenta conforme o "t" aumenta, este círculo não fecha. Formando o que podem chamar de uma espiral. E para entender o exercício, você pode se imaginar pilotando uma nave espacial. E retomando o raciocínio dos primeiros vídeos da nossa série, imagine que o volante desta nave trava em determinado ponto e você acaba por descrever não uma helicoide, mas sim um círculo. E temos aí o círculo, beleza? E aqui o que nos importa é justamente este círculo aqui, esta circunferência. Já que se você dividir 1 pelo raio desta circunferência, que é o raio de curvatura, você vai obter a curvatura "K". E como vimos, nos vídeos anteriores, nós não falamos ou tratamos deste círculo de forma direta, mas sim desenvolvermos, ao longo dos cursos, ferramentas conceituais e fórmulas para tratar deste valor e chegar neste valor da curvatura. Mas é sempre bom a gente poder usar a imaginação para entender o problema que está sendo proposto. Então, seguindo os passos dos vídeos anteriores, primeiramente, nós temos que calcular a função vetor tangente unitário. Esboçando aqui a helicoide, são aqueles vetores que, em cada, ponto indicam o próximo passo. Eles são tangentes à curva. E, para isso, teremos que calcular a primeira derivada da nossa função s(t) e depois, normalizar esta função de acordo com seu próprio modo. E como visto nos últimos vídeos, para realizar a normalização desta função em relação ao seu próprio módulo, nós temos que simplesmente pegar esta primeira derivada e dividir pelo módulo desta própria derivada, beleza? Já que somente a primeira derivada nos retorna vetores tangentes que não necessariamente são unitários. E em última instância, o que estamos tentando encontrar aqui é a nossa curvatura que definimos lá nos primeiros vídeos como sendo a derivada da função vetor tangente unitário em relação ao diferencial do comprimento de arco. Então, vamos aos cálculos! Nós vamos ter aqui s'(t), que é a primeira derivada e vamos ter que derivar cada componente separadamente. A derivada de cos(t) é -sen(t). A derivada de sen(t) é cos(t). A derivada da nossa componente "z" é uma constante que vai ser 1/5. Já que temos a derivada, nós precisamos agora do módulo desta derivada para conseguirmos normalizar. Então, vamos ter aqui para o módulo √sen²(t) + cos²(t) + (1/5)² que vai ser 1/25, beleza? E você pode notar que, durante este curso, nós sempre utilizamos seno e cosseno para as nossas funções, isto se dá porque muitas das vezes estas funções nos retornam círculos ou algo parecido. Mas, principalmente, porque ao utilizar estas variáveis trigonométricas seno e cosseno, muitas das vezes nos permite simplificações utilizando a relação fundamental da trigonometria, principalmente no cálculo dos módulos. Então, este sen² + cos², como nós já sabemos, é 1. Portanto, o módulo da nossa raiz vai ser √1 + 1/25. E esta soma aqui, sabendo que 1 é 25/25, vai dar 26/25. Então, o nosso módulo fica como √26/25, beleza? E dá para simplificar mais ainda, porque este 25 é um quadrado perfeito. Então, a gente pode tirar da raiz. Então, nós teremos √26 sobre 5. E vendo este resultado, dá para perceber que nós tivemos uma certa sorte. Porque o módulo da primeira derivada é uma constante e não uma função. E como nós vimos nos vídeos anteriores, caso este módulo seja uma função, esta conta aqui da curvatura pode ficar bem complexa e bem complicada. Agora, nós temos que pegar cada componente da nossa primeira derivada e dividir por este módulo que encontramos. Então, a nossa função vetor tangente unitário será, para a componente "x", menos sen(t) dividido por √26 sobre 5, para componente "y", cos(t) dividido pelo nosso módulo, que é √26 sobre 5 novamente. E para a nossa componente "z", teremos 1/5 dividido por √26 sobre 5. E para não estender muito este vídeo, vamos deixar as considerações e os cálculos finais para o próximo vídeo, beleza? E antes de seguir para o próximo vídeo, eu sugiro que você, munido da sua tabela de derivadas, tente realizar todos os cálculos que nós fizemos aqui no decorrer deste exercício, está bom? Então, é isso, galera da Khan Academy. Nós nos vemos no próximo vídeo!