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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 6: Curvatura- Intuição de curvatura
- Fórmula de curvatura - Parte 1
- Fórmula de curvatura - Parte 2
- Fórmula de curvatura - Parte 3
- Fórmula de curvatura - Parte 4
- Fórmula de curvatura - Parte 5
- Curvatura de uma hélice- Parte 1
- Curvatura de uma hélice- Parte 2
- Curvatura de uma cicloide
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Curvatura de uma hélice- Parte 2
Aqui termina o exemplo de curvatura de hélice iniciado no último vídeo. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy! Então, no vídeo passado, nós estávamos no início
do cálculo da curvatura para uma função vetorial tridimensional, mais especificamente uma
função de um helicoide, como você pode ver aí,
na tela, o gráfico. E para iniciar entendimento, nós imaginamos que você estava
em uma nave espacial descrevendo a trajetória
apontada pela função, uma trajetória helicoidal. Portanto, em determinado ponto, o volante, os instrumentos
da espaçonave travam, e você acaba por descrever,
não uma trajetória helicoidal, mas sim uma circunferência. E dividindo 1 pelo raio
desta circunferência, nós obtemos a nossa
curvatura "κ". Nós iniciamos o cálculo obtendo a primeira derivada
da nossa função paramétrica s(t), calculamos o seu módulo e normalizamos essa derivada, obtendo, então, a nossa tão desejada
função vetor tangente unitário. Vamos aqui dar continuidade
ao nosso raciocínio. Só lembrando, em última instância, o que nós estamos tentando achar aqui é um módulo da derivada dT/ds. Que é a derivada da nossa
função vetor tangente unitário em relação ao diferencial
comprimento de arco. Como vimos nos vídeos anteriores, para realizar este cálculo, nós teremos que, primeiramente, encontrar o módulo da derivada
da função vetor tangente unitário em relação ao diferencial "dt" e dividir este módulo pelo módulo
da primeira derivada da função s(t). Este denominador é como se fosse
um fator de correção. Lembrando dos vídeos passados. No vídeo passado, nós paramos o cálculo aqui na nossa
função vetor tangente unitário. E dentro do âmbito desta função,
o que nos falta aqui é realizar uma simplificação. Então, para a componente "x"
nós teremos -5 vezes sen(t) / √26. Para a componente "y"
teremos 5 vezes cos(t) /√26. E para a componente "z"
teremos apenas 1/√26. A partir disso, nós agora podemos
derivar esta função novamente. Para obtermos o "dT" por "dt". Então, a derivada da função
vetor tangente unitário em relação ao parâmetro "dt". Então, derivando novamente esta função, nós teremos para a componente "x",
-5 vezes cos(t) /√26. Para a componente "y",
nós teremos -5 vezes sen(t) / √26. E para a nossa componente "z",
nós temos simplesmente zero. Já que se trata de uma constante, e a derivada de uma constante é zero. Temos aqui a nossa função
vetor tangente unitário na sua forma mais simples. E agora o que nós temos
que fazer é, novamente, tirar o módulo desta derivada. Então, o módulo desta derivada
vai ser √25 vezes cos²(t) /26 mais 25 sen²(t) / 26 também. Colocando este 25 sobre este 26
em evidência, nós temos √25/26
vezes cos²(t) + sen²(t). E, novamente, aparece aqui a relação
fundamental da trigonometria que já sabemos que é igual a 1. Então, obtemos o resultado aqui
da nossa derivada que é igual a √25/26. Voltando à equação da nossa curvatura, vemos que já achamos nosso numerador,
que é este √25/26. E nós também já achamos
a primeira derivada da nossa função s(t) lá no começo do vídeo,
que é √26/5. Mas para simplificar nossa conta, vamos colocar este 5
para dentro da raiz de novo e teremos raiz de √26/25. Então, realizando a divisão aqui
dos dois módulos das derivadas, teremos no numerador √25/26 e no denominador √26/25. Nós podemos aqui colocar
estas duas raízes quadradas dentro do mesmo radical. Então, teremos √25/26 sobre 26/25. E fazendo esta divisão de frações,
invertendo a segunda fração, nós teremos √25²/26². Nós podemos colocar estes dois números
para fora da raiz diretamente. E teremos que a nossa a curvatura
é igual a 25/26. Por último, vamos aqui fazer uma
breve análise deste resultado, o 25/26. Ele é um valor muito próximo de 1. Ele é um pouco menor do que 1. Ou seja, é uma curvatura um pouco menor do que se tivéssemos um raio
de curvatura igual a 1. Isto faz sentido. Vamos voltar aqui ao nosso gráfico. Rapidamente, vamos imaginar
esta curva aqui helicoidal como se fosse uma mola
e que você comprimisse esta mola. Ao comprimi-la você teria
um círculo de raio 1. E, se você esticar novamente, estender esta mola, o raio das circunferências tangentes
ao longo desta curva seria aumentado, já que esta curva, conforme
você alonga a mola, fica cada vez mais reta. Ou seja, diminui um pouco a curvatura
conforme você estende esta mola. E antes de encerrar este vídeo, vamos fazer uma espécie de fluxograma em relação ao cálculo que nós
realizamos aqui nestes últimos dois vídeos. Então, a partir de uma função
vetorial parametrizada por "t", que é o nosso s(t), nós achamos a primeira
derivada desta função, o s'(t), e o seu módulo. Logo após, nós normalizamos esta derivada, dividindo a derivada pelo módulo
para achar a função T(t), que é a nossa função
vetor tangente unitário. Depois disso, derivamos esta função novamente
e achamos o seu módulo. E logo após, nós calculamos
a curvatura diretamente por dividir o módulo da derivada dT/dt pelo módulo da primeira derivada de s(t). Então, galera, este exercício aqui do helicoide
foi um ótimo exemplo de como você pode calcular a curvatura apenas com a ideia de que o "κ" é a derivada da função
vetor tangente unitário pelo diferencial do comprimento de arco, utilizando aqui diretamente as derivadas. Mas, como nós vimos, também, existe uma outra fórmula que nos
permite realizar este cálculo, e de maneira até mais simplificada. Então, no próximo exercício, nós utilizaremos diretamente esta fórmula. E você verá que, apesar de se tratar de
uma fórmula um tanto quanto complicada, esta fórmula nos permite achar o valor de curvatura de uma maneira
mais direta. E, novamente, lembrando de todos os conceitos
abordados durante esta série de vídeos e munido da sua tabela de derivação, eu sugiro que você tente refazer
todos os cálculos presentes neste vídeo, neste exercício, para ver se você realmente
entendeu o conceito e as derivações que nós temos que fazer para chegar ao resultado da curvatura. Então, é isso, galera da Khan Academy! Nos vemos no próximo vídeo!