Curvatura de uma hélice- Parte 2

RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy! Então, no vídeo passado, nós estávamos no início do cálculo da curvatura para uma função vetorial tridimensional, mais especificamente uma função de um helicoide, como você pode ver aí, na tela, o gráfico. E para iniciar entendimento, nós imaginamos que você estava em uma nave espacial descrevendo a trajetória apontada pela função, uma trajetória helicoidal. Portanto, em determinado ponto, o volante, os instrumentos da espaçonave travam, e você acaba por descrever, não uma trajetória helicoidal, mas sim uma circunferência. E dividindo 1 pelo raio desta circunferência, nós obtemos a nossa curvatura "κ". Nós iniciamos o cálculo obtendo a primeira derivada da nossa função paramétrica s(t), calculamos o seu módulo e normalizamos essa derivada, obtendo, então, a nossa tão desejada função vetor tangente unitário. Vamos aqui dar continuidade ao nosso raciocínio. Só lembrando, em última instância, o que nós estamos tentando achar aqui é um módulo da derivada dT/ds. Que é a derivada da nossa função vetor tangente unitário em relação ao diferencial comprimento de arco. Como vimos nos vídeos anteriores, para realizar este cálculo, nós teremos que, primeiramente, encontrar o módulo da derivada da função vetor tangente unitário em relação ao diferencial "dt" e dividir este módulo pelo módulo da primeira derivada da função s(t). Este denominador é como se fosse um fator de correção. Lembrando dos vídeos passados. No vídeo passado, nós paramos o cálculo aqui na nossa função vetor tangente unitário. E dentro do âmbito desta função, o que nos falta aqui é realizar uma simplificação. Então, para a componente "x" nós teremos -5 vezes sen(t) / √26. Para a componente "y" teremos 5 vezes cos(t) /√26. E para a componente "z" teremos apenas 1/√26. A partir disso, nós agora podemos derivar esta função novamente. Para obtermos o "dT" por "dt". Então, a derivada da função vetor tangente unitário em relação ao parâmetro "dt". Então, derivando novamente esta função, nós teremos para a componente "x", -5 vezes cos(t) /√26. Para a componente "y", nós teremos -5 vezes sen(t) / √26. E para a nossa componente "z", nós temos simplesmente zero. Já que se trata de uma constante, e a derivada de uma constante é zero. Temos aqui a nossa função vetor tangente unitário na sua forma mais simples. E agora o que nós temos que fazer é, novamente, tirar o módulo desta derivada. Então, o módulo desta derivada vai ser √25 vezes cos²(t) /26 mais 25 sen²(t) / 26 também. Colocando este 25 sobre este 26 em evidência, nós temos √25/26 vezes cos²(t) + sen²(t). E, novamente, aparece aqui a relação fundamental da trigonometria que já sabemos que é igual a 1. Então, obtemos o resultado aqui da nossa derivada que é igual a √25/26. Voltando à equação da nossa curvatura, vemos que já achamos nosso numerador, que é este √25/26. E nós também já achamos a primeira derivada da nossa função s(t) lá no começo do vídeo, que é √26/5. Mas para simplificar nossa conta, vamos colocar este 5 para dentro da raiz de novo e teremos raiz de √26/25. Então, realizando a divisão aqui dos dois módulos das derivadas, teremos no numerador √25/26 e no denominador √26/25. Nós podemos aqui colocar estas duas raízes quadradas dentro do mesmo radical. Então, teremos √25/26 sobre 26/25. E fazendo esta divisão de frações, invertendo a segunda fração, nós teremos √25²/26². Nós podemos colocar estes dois números para fora da raiz diretamente. E teremos que a nossa a curvatura é igual a 25/26. Por último, vamos aqui fazer uma breve análise deste resultado, o 25/26. Ele é um valor muito próximo de 1. Ele é um pouco menor do que 1. Ou seja, é uma curvatura um pouco menor do que se tivéssemos um raio de curvatura igual a 1. Isto faz sentido. Vamos voltar aqui ao nosso gráfico. Rapidamente, vamos imaginar esta curva aqui helicoidal como se fosse uma mola e que você comprimisse esta mola. Ao comprimi-la você teria um círculo de raio 1. E, se você esticar novamente, estender esta mola, o raio das circunferências tangentes ao longo desta curva seria aumentado, já que esta curva, conforme você alonga a mola, fica cada vez mais reta. Ou seja, diminui um pouco a curvatura conforme você estende esta mola. E antes de encerrar este vídeo, vamos fazer uma espécie de fluxograma em relação ao cálculo que nós realizamos aqui nestes últimos dois vídeos. Então, a partir de uma função vetorial parametrizada por "t", que é o nosso s(t), nós achamos a primeira derivada desta função, o s'(t), e o seu módulo. Logo após, nós normalizamos esta derivada, dividindo a derivada pelo módulo para achar a função T(t), que é a nossa função vetor tangente unitário. Depois disso, derivamos esta função novamente e achamos o seu módulo. E logo após, nós calculamos a curvatura diretamente por dividir o módulo da derivada dT/dt pelo módulo da primeira derivada de s(t). Então, galera, este exercício aqui do helicoide foi um ótimo exemplo de como você pode calcular a curvatura apenas com a ideia de que o "κ" é a derivada da função vetor tangente unitário pelo diferencial do comprimento de arco, utilizando aqui diretamente as derivadas. Mas, como nós vimos, também, existe uma outra fórmula que nos permite realizar este cálculo, e de maneira até mais simplificada. Então, no próximo exercício, nós utilizaremos diretamente esta fórmula. E você verá que, apesar de se tratar de uma fórmula um tanto quanto complicada, esta fórmula nos permite achar o valor de curvatura de uma maneira mais direta. E, novamente, lembrando de todos os conceitos abordados durante esta série de vídeos e munido da sua tabela de derivação, eu sugiro que você tente refazer todos os cálculos presentes neste vídeo, neste exercício, para ver se você realmente entendeu o conceito e as derivações que nós temos que fazer para chegar ao resultado da curvatura. Então, é isso, galera da Khan Academy! Nos vemos no próximo vídeo!