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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)Curvatura
Como se mede o quanto uma curva, sabe, se curva?
Conhecimentos prévios
O que estamos construindo
- O raio da curvatura em um determinado ponto da curva é, a grosso modo, o raio da circunferência que melhor se encaixa na curva naquele ponto.
- A curvatura, indicada por
, é um dividido pelo raio da curvatura. - Em fórmulas, a curvatura é definida como a magnitude da derivada de uma função vetor tangente unitário em relação ao comprimento do arco:Não se preocupe, falarei sobre cada etapa de como calcular esse valor.
- A intuição aqui é que o vetor tangente unitário diz em que direção você está se movendo, e a taxa em que ele muda em relação a pequenos passos
ao longo da curva é uma boa indicação de quão rapidamente você está girando.
Dirigindo ao longo de uma curva
Imagine uma curva no plano . Nós lidaremos com fórmulas logo mais, mas agora, apenas pense na figura:
Imagine dirigir um carro ao longo dessa curva, e pense em quanto você precisaria girar o volante em cada ponto. Em alguns pontos, a estrada dificilmente apresenta curvas, e você está praticamente dirigindo em linha reta. Em outros, você tem que girar bastante o volante.
Agora imagine que, em algum momento enquanto você dirige, o volante trava. Se você continuasse dirigindo com esse volante travado, não levando em consideração que você está saindo da estrada, seu carro iria traçar uma circunferência, como a mostrada em verde abaixo:
Se o volante estivesse bastante girado quando travou, a circunferência formada teria um raio relativamente pequeno. Se ele praticamente não estivesse girado, a circunferência teria um raio muito grande. A animação a seguir mostra como essas várias circunferências (em verde) podem parecer em diferentes pontos da curva. O raio de cada circunferência é mostrado em vermelho.
Chamamos o raio da circunferência associada a cada ponto de raio da curvatura naquele ponto. É uma boa maneira de medir quanto uma curva, na verdade, se curva em cada ponto. Outra maneira de pensar nessas circunferências é que elas abraçam a curva mais de perto do que qualquer outra circunferência faria.
Outro termo importante é curvatura, que é simplesmente um dividido pelo raio de curvatura. Ela geralmente é indicada pelo símbolo :
Verificação do conceito: quando uma curva está muito perto de ser uma linha reta, a curvatura seria:
Cálculo da curvatura
Suponha que você tenha a função que define uma curva no plano . Por exemplo, a curva que eu usei na seção anterior é definida pela seguinte função vetorial:
Isso é o mesmo que dizer que ela é definida pelas seguintes equações paramétricas:
O cálculo da curvatura envolve duas grandes etapas:
Etapa 1: encontre um vetor tangente unitário
Um "vetor tangente unitário" à curva em um ponto é, sem surpresa, um vetor tangente com comprimento . No contexto de uma curva paramétrica definida por , "encontrar um vetor tangente unitário" quase sempre significa encontrar todos os vetores unitários tangentes. Ou seja, definir uma função vectorial , que toma o mesmo parâmetro de entrada e resulta em um vetor unitário que é tangente à curva no ponto .
Etapa 2: calcule
À medida que você viaja ao longo da curva de acordo com , o vetor unitário muda de direção sempre que você virar. Em curvas acentuadas, ele muda muito, em porções relativamente retas, dificilmente se altera. Na verdade, a curvatura é definida para ser a derivada da função do vetor tangente unitário.
No entanto, ela não é a derivada em relação ao parâmetro , uma vez que poderia depender de quão rapidamente você está se movendo ao longo da curva. Ela é a derivada em relação a pequenas mudanças no comprimento do arco, geralmente representado pela letra .
Normalmente, a forma de calcular isso é primeiro calcular a derivada de em relação a , e então dividi-la por .
Como encontrar o vetor tangente unitário
Vamos dar uma olhada na função acima:
Se você ler o artigo sobre diferenciação de funções vetoriais, saberá que a derivada dessa função pode ser considerada um vetor velocidade.
Por exemplo, se avaliarmos a derivada que acabamos de calcular em um momento específico, talvez , esse seria o vetor que obteríamos:
Ao posicionarmos esse vetor de forma que a sua seta comece no ponto , onde a partícula está no instante , ele representa a velocidade da partícula naquele momento.
No entanto, devemos ajustar essa função, uma vez que queremos um vetor tangente unitário. Por exemplo, esse vetor tangente em particular tem comprimento , e .
Verificação do conceito: dada a fórmula que acabei de mostrar de ,
qual é a magnitude desse vetor (como uma função de tempo)?
Verificação do conceito: qual é o vetor unitário que aponta para a mesma direção de ? (Esse vetor específico não está relacionado ao problema em questão, isso é só para praticarmos com os vetores unitários).
Pergunta-chave: qual das seguintes opções representa o vetor tangente unitário de uma curva parametrizada por (como uma função de tempo)?
Encontrando a curvatura a partir do vetor tangente unitário
Agora nós temos uma expressão para o vetor tangente unitário como uma função do tempo, que vou identificar com um maiúsculo, de tangente (não deve ser confundido com o minúsculo para o parâmetro).
A curvatura é a magnitude da derivada desse vetor tangente unitário, mas em relação ao comprimento do arco , não do parâmetro .
No entanto, a forma típica de calcular isso é primeiro diferenciar em relação a , e depois dividir pela magnitude , que você pode pensar como .
Intuição
Vamos fazer uma pausa por um momento para entender isso. A derivada de nos diz como o vetor tangente unitário varia ao longo do tempo. Uma vez que é sempre um vetor unitário, ele nunca muda de comprimento, só de direção.
Em um momento , você pensar no vetor como estando na ponta do vetor . Imagine o vetor derivado tentando puxar o vetor , dizendo, "Ei! Vem apontar nessa direção."
Já que o comprimento de nunca muda, seu vetor derivado deve sempre ser perpendicular a ; caso contrário, ele o "puxaria" de forma a deixa-lo mais longo ou mais curto.
Quando esse vetor derivado for longo, estará puxando o vetor tangente unitário com muita força para mudar sua direção. Como resultado, a curva vai mudar de direção mais bruscamente, o que significa que ela terá um raio menor de curvatura, e consequentemente, uma curvatura muito grande. Se, pelo contrário, o vetor derivado for pequeno, estará puxando o vetor tangente com pouca força. Isso se traduz em uma curva muito suave, e consequentemente um grande raio de curvatura, o que significa uma curvatura pequena.
Entretanto, nós não queremos que as diferenças na taxa com que nos movemos pela curva interfiram no valor da curvatura, já que estamos analisando a geometria da própria curva e não da trajetória em função do tempo de qualquer partícula que possa estar percorrendo-a. Por isso, a curvatura requer a diferenciação de em relação ao comprimento do arco, , em vez do parâmetro .
Exemplo: curvatura de uma hélice
Não há nada específico sobre duas dimensões em tudo que acabamos de fazer. Por exemplo, vamos encontrar a curvatura da seguinte função tridimensional:
A animação abaixo mostra a forma dessa curva, que é conhecida como hélice. Também indica o raio da curvatura em cada ponto, mostrando a circunferência (em verde) que melhor "abraça" a curva em cada ponto, com o raio de cada circunferência mostrado em vermelho.
Ah sim, eu chamo isto de "dança bambolê do cálculo vetorial"
Uma coisa que você pode notar é que o tamanho dessas circunferências não parece mudar. Isso está longe de ser verdade na maioria das curvas tridimensionais, tornando nosso exemplo um tanto o quanto especial.
Verificação de conceito: vendo que as circunferências acima não mudam de tamanho, o que você espera ser verdadeiro sobre a curvatura da nossa função ?
Se você quiser praticar esse tipo de problema, agora é a hora de pegar um papel e um lápis. Nós enfrentaremos isso juntos, você e eu, mas vou te dar a chance de tentar cada etapa por si mesmo antes de mostrar a resposta.
Etapa 1: calcule a derivada
O primeiro passo para encontrar a curvatura é calcular a derivada da nossa função,
Isso nos dará o vetor tangente à curva, que poderemos moldar em um vetor tangente unitário. Calcule essa derivada.
Etapa 2: normalize a derivada
Para obter o vetor tangente unitário, devemos normalizar esse vetor derivado, ou seja, dividi-lo pelo seu módulo. Qual é o módulo dessa derivada?
Felizmente, isso é uma constante. É muito difícil quando não é. Usando as duas respostas anteriores, qual é o nosso vetor tangente unitário em função do tempo?
Etapa 3: calcule a derivada da tangente unitária
Para obter a curvatura, devemos encontrar a derivada dessa função, em relação ao tempo, e então calcular seu módulo. Qual é a derivada de nesse caso?
Etapa 4: calcule a magnitude desse valor
Qual é a magnitude desse vetor?
Etapa 5: divida esse valor por
Para ir de a , devemos dividir isso pela magnitude da derivada da função paramétrica original.
Note que isso é uma constante, então a curvatura é a mesma em todos os pontos da curva.
Resumo
- O raio da curvatura em um determinado ponto da curva é, a grosso modo, o raio da circunferência que melhor se encaixa na curva naquele ponto.
- A curvatura, indicada por
, é um dividido pelo raio da curvatura. - Para encontrar a curvatura dada a função paramétrica
definindo uma curva:- Encontre o vetor tangente unitário pela normalização da derivada de
:
- Curvatura é definida como a magnitude da derivada desse valor em relação ao comprimento de arco
. Você pode calcular isso da seguinte forma:
- A intuição aqui é que o vetor tangente unitário diz em que direção você está se movendo, e a taxa em que ele muda em relação a pequenos passos
ao longo da curva é uma boa indicação de quão rapidamente você está girando.
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