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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)

Curvatura

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Como se mede o quanto uma curva, sabe, se curva?

Conhecimentos prévios

Derivadas de funções vetoriais

O que estamos construindo

O raio da curvatura em um determinado ponto da curva é, a grosso modo, o raio da circunferência que melhor se encaixa na curva naquele ponto.
A curvatura, indicada por $κ$ ‍, é um dividido pelo raio da curvatura.
Em fórmulas, a curvatura é definida como a magnitude da derivada de uma função vetor tangente unitário em relação ao comprimento do arco:
$κ = | | \frac{d T}{d s} | |$ ‍
Não se preocupe, falarei sobre cada etapa de como calcular esse valor.
A intuição aqui é que o vetor tangente unitário diz em que direção você está se movendo, e a taxa em que ele muda em relação a pequenos passos $d s$ ‍ ao longo da curva é uma boa indicação de quão rapidamente você está girando.

Dirigindo ao longo de uma curva

Imagine uma curva no plano

x y

. Nós lidaremos com fórmulas logo mais, mas agora, apenas pense na figura:

Imagine dirigir um carro ao longo dessa curva, e pense em quanto você precisaria girar o volante em cada ponto. Em alguns pontos, a estrada dificilmente apresenta curvas, e você está praticamente dirigindo em linha reta. Em outros, você tem que girar bastante o volante.

Agora imagine que, em algum momento enquanto você dirige, o volante trava. Se você continuasse dirigindo com esse volante travado, não levando em consideração que você está saindo da estrada, seu carro iria traçar uma circunferência, como a mostrada em verde abaixo:

Se o volante estivesse bastante girado quando travou, a circunferência formada teria um raio relativamente pequeno. Se ele praticamente não estivesse girado, a circunferência teria um raio muito grande. A animação a seguir mostra como essas várias circunferências (em verde) podem parecer em diferentes pontos da curva. O raio de cada circunferência é mostrado em vermelho.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Chamamos o raio da circunferência associada a cada ponto de raio da curvatura naquele ponto. É uma boa maneira de medir quanto uma curva, na verdade, se curva em cada ponto. Outra maneira de pensar nessas circunferências é que elas abraçam a curva mais de perto do que qualquer outra circunferência faria.

Outro termo importante é curvatura, que é simplesmente um dividido pelo raio de curvatura. Ela geralmente é indicada pelo símbolo

κ

κ = \frac{1}{R}

Verificação do conceito: quando uma curva está muito perto de ser uma linha reta, a curvatura seria:

Cálculo da curvatura

Suponha que você tenha a função que define uma curva no plano

x y

. Por exemplo, a curva que eu usei na seção anterior é definida pela seguinte função vetorial:

$\vec{s} (t) = [\begin{matrix} t - sen (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Isso é o mesmo que dizer que ela é definida pelas seguintes equações paramétricas:

$\begin{aligned} x (t) & = t - sen (t) \\ y (t) & = 1 - \cos (t) \end{aligned}$ ‍

O cálculo da curvatura envolve duas grandes etapas:

Etapa 1: encontre um vetor tangente unitário

Um "vetor tangente unitário" à curva em um ponto é, sem surpresa, um vetor tangente com comprimento

1

. No contexto de uma curva paramétrica definida por

\vec{s} (t)

, "encontrar um vetor tangente unitário" quase sempre significa encontrar todos os vetores unitários tangentes. Ou seja, definir uma função vectorial

T (t)

, que toma o mesmo parâmetro de entrada e resulta em um vetor unitário que é tangente à curva no ponto

\vec{s} (t)

Etapa 2: calcule $\frac{d T}{d s}$ ‍

À medida que você viaja ao longo da curva de acordo com

\vec{s} (t)

, o vetor unitário muda de direção sempre que você virar. Em curvas acentuadas, ele muda muito, em porções relativamente retas, dificilmente se altera. Na verdade, a curvatura

κ

é definida para ser a derivada da função do vetor tangente unitário.

No entanto, ela não é a derivada em relação ao parâmetro

t

, uma vez que poderia depender de quão rapidamente você está se movendo ao longo da curva. Ela é a derivada em relação a pequenas mudanças no comprimento do arco, geralmente representado pela letra

s

$κ = | | \frac{d T}{d s} | |$ ‍

Normalmente, a forma de calcular isso é primeiro calcular a derivada de

T

em relação a

t

, e então dividi-la por

| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |

$| | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Como encontrar o vetor tangente unitário

Vamos dar uma olhada na função acima:

$\vec{s} (t) = [\begin{matrix} t - sen (t) \\ 1 - \cos (t) \end{matrix}]$ ‍

Se você ler o artigo sobre diferenciação de funções vetoriais, saberá que a derivada dessa função pode ser considerada um vetor velocidade.

$\frac{d \vec{s}}{d t} = [\begin{matrix} \frac{d}{d t} (t - sen (t)) \\ \frac{d}{d t} (1 - \cos (t)) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - \cos (t) \\ sen (t) \end{matrix}]$ ‍

Por exemplo, se avaliarmos a derivada que acabamos de calcular em um momento específico, talvez

t = π

, esse seria o vetor que obteríamos:

\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 1 - \cos (π) \\ sen (π) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}] \end{array}

Ao posicionarmos esse vetor de forma que a sua seta comece no ponto

\vec{s} (π)

, onde a partícula está no instante

t = π

, ele representa a velocidade da partícula naquele momento.

No entanto, devemos ajustar essa função, uma vez que queremos um vetor tangente unitário. Por exemplo, esse vetor tangente em particular tem comprimento

2

, e

2 \neq 1^{[necessita de fontes]}

Verificação do conceito: dada a fórmula que acabei de mostrar de

{\vec{s}}^{'} (t)

\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} 1 - \cos (t) \\ sen (t) \end{array}] \end{array}

qual é a magnitude desse vetor (como uma função de tempo)?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\sqrt{\cos (t)^{2} + sen (t)^{2}}$ ‍
(Escolha B)
$\sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + sen (t)^{2}}$ ‍
(Escolha C)
$\sqrt{1^{2} - \cos (t)^{2} + sen (t)^{2}}$ ‍

Verificação do conceito: qual é o vetor unitário que aponta para a mesma direção de

\vec{v} = [\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}]

? (Esse vetor específico não está relacionado ao problema em questão, isso é só para praticarmos com os vetores unitários).

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$[\begin{matrix} 2 / \sqrt{5} \\ 1 / \sqrt{5} \end{matrix}]$ ‍
(Escolha B)
$[\begin{matrix} 2 \sqrt{5} \\ 1 \sqrt{5} \end{matrix}]$ ‍

Pergunta-chave: qual das seguintes opções representa o vetor tangente unitário de uma curva parametrizada por

\vec{s}

(como uma função de tempo)?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍
(Escolha B)
$\begin{array}{r} T (t) = \frac{\vec{s} (t) + {\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍

Uma vez que o vetor derivado ${\vec{s}}^{'} (t)$ ‍ é tangente à curva, apontando na direção correta, nós só precisamos normalizá-lo, o que significa dividi-lo por sua própria magnitude para forçar sua nova magnitude a ser $1$ ‍.
$\begin{array}{r} \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \leftarrow Isso é sempre um vetor unitário \end{array}$ ‍
Na prática, isto pode parecer muito radical. Por exemplo, com a função específica que tivemos acima, isso pareceria
$\begin{aligned} \frac{1}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} {\vec{s}}^{'} (t) & = \frac{1}{\sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + sen (t)^{2}}} [\begin{array}{c} 1 - \cos (t) \\ sen (t) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} (1 - \cos (t)) / \sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + sen (t)^{2}} \\ sen (t) / \sqrt{(1 - \cos (t))^{2} + sen (t)^{2}} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Encontrando a curvatura a partir do vetor tangente unitário

Agora nós temos uma expressão para o vetor tangente unitário como uma função do tempo, que vou identificar com um

T

maiúsculo, de tangente (não deve ser confundido com o

t

minúsculo para o parâmetro).

\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}

A curvatura

κ

é a magnitude da derivada desse vetor tangente unitário, mas em relação ao comprimento do arco

s

, não do parâmetro

t

\begin{array}{r} κ = | | \frac{d T}{d s} | | \end{array}

No entanto, a forma típica de calcular isso é primeiro diferenciar

T

em relação a

t

, e depois dividir pela magnitude

| | {\vec{s}}^{'} (t) | |

, que você pode pensar como

\frac{d s}{d t}

$κ = | | \frac{d T}{d s} | | = \frac{| | \frac{d T}{d t} | |}{| | \frac{d \vec{s}}{d t} | |}$ ‍

Intuição

Vamos fazer uma pausa por um momento para entender isso. A derivada de

T (t)

nos diz como o vetor tangente unitário varia ao longo do tempo. Uma vez que é sempre um vetor unitário, ele nunca muda de comprimento, só de direção.

Em um momento

t_{0}

, você pensar no vetor

\frac{d T}{d t} (t_{0})

como estando na ponta do vetor

T (t_{0})

. Imagine o vetor derivado tentando puxar o vetor

T (t_{0})

, dizendo, "Ei! Vem apontar nessa direção."

Já que o comprimento de

T (t_{0})

nunca muda, seu vetor derivado deve sempre ser perpendicular a

T (t_{0})

; caso contrário, ele o "puxaria" de forma a deixa-lo mais longo ou mais curto.

Quando esse vetor derivado for longo, estará puxando o vetor tangente unitário com muita força para mudar sua direção. Como resultado, a curva vai mudar de direção mais bruscamente, o que significa que ela terá um raio menor de curvatura, e consequentemente, uma curvatura muito grande. Se, pelo contrário, o vetor derivado for pequeno, estará puxando o vetor tangente com pouca força. Isso se traduz em uma curva muito suave, e consequentemente um grande raio de curvatura, o que significa uma curvatura pequena.

Entretanto, nós não queremos que as diferenças na taxa com que nos movemos pela curva interfiram no valor da curvatura, já que estamos analisando a geometria da própria curva e não da trajetória em função do tempo de qualquer partícula que possa estar percorrendo-a. Por isso, a curvatura requer a diferenciação de

T

em relação ao comprimento do arco,

s

, em vez do parâmetro

t

Exemplo: curvatura de uma hélice

Não há nada específico sobre duas dimensões em tudo que acabamos de fazer. Por exemplo, vamos encontrar a curvatura da seguinte função tridimensional:

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ t / 5 \end{array}] \end{array}

A animação abaixo mostra a forma dessa curva, que é conhecida como hélice. Também indica o raio da curvatura em cada ponto, mostrando a circunferência (em verde) que melhor "abraça" a curva em cada ponto, com o raio de cada circunferência mostrado em vermelho.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Ah sim, eu chamo isto de "dança bambolê do cálculo vetorial"

Uma coisa que você pode notar é que o tamanho dessas circunferências não parece mudar. Isso está longe de ser verdade na maioria das curvas tridimensionais, tornando nosso exemplo um tanto o quanto especial.

Verificação de conceito: vendo que as circunferências acima não mudam de tamanho, o que você espera ser verdadeiro sobre a curvatura da nossa função

κ (t)

Se você quiser praticar esse tipo de problema, agora é a hora de pegar um papel e um lápis. Nós enfrentaremos isso juntos, você e eu, mas vou te dar a chance de tentar cada etapa por si mesmo antes de mostrar a resposta.

Etapa 1: calcule a derivada

O primeiro passo para encontrar a curvatura é calcular a derivada da nossa função,

\begin{array}{r} \vec{v} (t) = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \\ t / 5 \end{array}] \end{array}

Isso nos dará o vetor tangente à curva, que poderemos moldar em um vetor tangente unitário. Calcule essa derivada.

Etapa 2: normalize a derivada

Para obter o vetor tangente unitário, devemos normalizar esse vetor derivado, ou seja, dividi-lo pelo seu módulo. Qual é o módulo dessa derivada?

Felizmente, isso é uma constante. É muito difícil quando não é. Usando as duas respostas anteriores, qual é o nosso vetor tangente unitário

T (t)

em função do tempo?

Etapa 3: calcule a derivada da tangente unitária

Para obter a curvatura, devemos encontrar a derivada dessa função, em relação ao tempo, e então calcular seu módulo. Qual é a derivada de

T (t)

nesse caso?

Etapa 4: calcule a magnitude desse valor

Qual é a magnitude desse vetor?

Etapa 5: divida esse valor por $| | {\vec{v}}^{'} (t) | |$ ‍

Para ir de

\frac{d T}{d t}

\frac{d T}{d s}

, devemos dividir isso pela magnitude da derivada da função paramétrica original.

Note que isso é uma constante, então a curvatura é a mesma em todos os pontos da curva.

Resumo

O raio da curvatura em um determinado ponto da curva é, a grosso modo, o raio da circunferência que melhor se encaixa na curva naquele ponto.
A curvatura, indicada por $κ$ ‍, é um dividido pelo raio da curvatura.
Para encontrar a curvatura dada a função paramétrica $\vec{s}$ ‍ definindo uma curva:
- Encontre o vetor tangente unitário pela normalização da derivada de $\vec{s}$ ‍:
  $\begin{array}{r} T (t) = \frac{{\vec{s}}^{'} (t)}{| | {\vec{s}}^{'} (t) | |} \end{array}$ ‍
- Curvatura é definida como a magnitude da derivada desse valor em relação ao comprimento de arco $s$ ‍. Você pode calcular isso da seguinte forma: