Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)Derivadas de funções vetoriais
Como calcular e, mais importante, como interpretar a derivada de uma função com saída vetorial.
Conhecimentos prévios
O que estamos construindo
- Para derivar uma função vetorial, primeiramente derive cada componente:
- Se você interpretar a função inicial como a posição de uma partícula como uma função do tempo, a derivada dará o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo.
A derivada de uma função vetorial
Boas notícias! Calcular a derivada de uma função vetorial não é nenhuma novidade. Sendo assim, vou manter este artigo bem curto. A principal novidade é interpretar a derivada do vetor.
Aprofundando com um exemplo
Vamos começar com uma função vetorial relativamente simples, com apenas duas componentes,
Para derivar , basta derivar cada componente:
Você também pode escrever essa derivada como . Essa derivada é uma nova função vetorial, com a mesma entrada que possui, e cuja saída tem o mesmo número de dimensões.
Geralmente, se escrevermos as componentes de como e , nós escreveremos a derivada assim:
A derivada dá um vetor velocidade.
Para o exemplo acima, como podemos visualizar o que a derivada significa? Primeiro, para visualizar
nós reparamos que a saída tem mais dimensões que a entrada, então é de bom tom vê-la como uma função paramétrica.
Cada ponto na curva representa a ponta de um vetor para algum valor de específico. Por exemplo, quando nós desenhamos o vetor até o ponto
Quando fazemos isso para todas as entradas possíveis, as pontas dos vetores vão traçar uma certa curva:
O que conseguimos quando inserimos um valor , talvez novamente, na derivada?
Este também é um vetor bidimensional.
É difícil visualizar o que esse vetor da derivada representa quando ele fica estacionado na origem, mas se nós o deslocarmos de modo que sua cauda fique na ponta do vetor , teremos uma interpretação fantástica:
- Se
representa a posição de uma partícula se deslocando em função do tempo, é o vetor velocidade dessa partícula no momento .
Particularmente, isso significa que a direção do vetor é tangente à curva, e sua magnitude indica a velocidade na qual um corpo viaja ao longo dessa curva conforme aumenta a uma taxa constante (como o tempo tende a fazer)
Verificação de conceito: suponha que a posição de uma partícula em um espaço bidimensional, em função do tempo, seja dada pela função
O que é ?
Qual é a velocidade da partícula no momento ?
Resumo
- Para derivar uma função vetorial, primeiramente derive cada componente.
- Se você interpretar a função inicial como a posição de uma partícula como uma função do tempo, a derivada dará o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.