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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)

Derivadas de funções vetoriais

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Como calcular e, mais importante, como interpretar a derivada de uma função com saída vetorial.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Para derivar uma função vetorial, primeiramente derive cada componente:
$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \left[ \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$
Se você interpretar a função inicial como a posição de uma partícula como uma função do tempo, a derivada dará o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo.

A derivada de uma função vetorial

Boas notícias! Calcular a derivada de uma função vetorial não é nenhuma novidade. Sendo assim, vou manter este artigo bem curto. A principal novidade é interpretar a derivada do vetor.

Aprofundando com um exemplo

Vamos começar com uma função vetorial start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis relativamente simples, com apenas duas componentes,

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \operatorname{sen}(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

Para derivar start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, basta derivar cada componente:

$\begin{aligned} \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(t) &= \left[ \begin{array}{c} \frac{d}{dt}(2 \operatorname{sen}(t)) \\ \frac{d}{dt}(2 \cos(t/3))t \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(t) \\ 2 \cos(t/3) - \frac{2}{3}\operatorname{sen}(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

Você também pode escrever essa derivada como start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis. Essa derivada é uma nova função vetorial, com a mesma entrada t que start bold text, s, end bold text, with, vector, on top possui, e cuja saída tem o mesmo número de dimensões.

Geralmente, se escrevermos as componentes de start bold text, s, end bold text, with, vector, on top como x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis, nós escreveremos a derivada assim:

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}'(t) = \left[ \begin{array}{c} x'(t) \\ y'(t) \end{array} \right] \end{aligned}$

A derivada dá um vetor velocidade.

Para o exemplo acima, como podemos visualizar o que a derivada significa? Primeiro, para visualizar

$\begin{aligned} \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} 2 \operatorname{sen}(t) \\ 2 \cos(t/3)t \end{array} \right] \end{aligned}$

nós reparamos que a saída tem mais dimensões que a entrada, então é de bom tom vê-la como uma função paramétrica.

Cada ponto na curva representa a ponta de um vetor

\left[ \begin{array}{c} 2 \operatorname{sen}(t_0) \\ 2 \cos(t_0/3)t_0 \end{array} \right]

para algum valor de t, start subscript, 0, end subscript específico. Por exemplo, quando t, start subscript, 0, end subscript, equals, 2 nós desenhamos o vetor até o ponto

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(2) = \left[ \begin{array}{c} 2 \operatorname{sen}(2) \\ 2 \cos(2/3)\cdot 2 \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array}{c} 1{,}819 \\ 3{,}144 \end{array} \right] \end{aligned}

Quando fazemos isso para todas as entradas t possíveis, as pontas dos vetores start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis vão traçar uma certa curva:

O que conseguimos quando inserimos um valor t, talvez 2 novamente, na derivada?

\begin{aligned} \quad \dfrac{d \vec{\textbf{s}}}{dt}(2) &= \left[ \begin{array}{c} 2\cos(2) \\ 2 \cos(2/3) - \frac{2}{3}\operatorname{sen}(2/3)\cdot 2 \end{array} \right]\\ &\approx \left[ \begin{array}{c} -0{,}832 \\ 0{,}747 \end{array} \right] \end{aligned}

Este também é um vetor bidimensional.

É difícil visualizar o que esse vetor da derivada representa quando ele fica estacionado na origem, mas se nós o deslocarmos de modo que sua cauda fique na ponta do vetor start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 2, right parenthesis, teremos uma interpretação fantástica:

Se start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis representa a posição de uma partícula se deslocando em função do tempo, start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis é o vetor velocidade dessa partícula no momento t, start subscript, 0, end subscript.
Derivada é um vetor velocidade tangente à curva.

Particularmente, isso significa que a direção do vetor é tangente à curva, e sua magnitude indica a velocidade na qual um corpo viaja ao longo dessa curva conforme t aumenta a uma taxa constante (como o tempo tende a fazer)

Verificação de conceito: suponha que a posição de uma partícula em um espaço bidimensional, em função do tempo, seja dada pela função

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{s}}(t) = \left[ \begin{array}{c} t^2 \\ t^3 \end{array} \right] \end{aligned}

O que é start fraction, d, start bold text, s, end bold text, with, vector, on top, divided by, d, t, end fraction?

(Escolha A)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 3t^2 \\ 2t \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2t \\ 3t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha C)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} t \\ t^2 \end{array} \right] \end{aligned}$

[Resposta]

Qual é a velocidade da partícula no momento t, equals, 3?

(Escolha A)
square root of, 6, squared, plus, 27, squared, end square root, approximately equals, 27, comma, 659
(Escolha B)
6, squared, plus, 27, squared, equals, 765

[Resposta]

Resumo

Para derivar uma função vetorial, primeiramente derive cada componente.
Se você interpretar a função inicial como a posição de uma partícula como uma função do tempo, a derivada dará o vetor velocidade de uma partícula como uma função do tempo.

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