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Regra da cadeia para múltiplas variáveis, versão simples

A regra da cadeia para derivadas pode ser estendida para dimensões maiores. Aqui nós vemos como isso se parece em um caso relativamente simples em que a composição é uma função de uma variável.

O que estamos construindo

  • Dada uma função multivariável f(x,y) e duas funções de variável única x(t) e y(t), aqui está o que diz a regra da cadeia para múltiplas variáveis:
ddtf(x(t),y(t))Derivada da função composta=fxdxdt+fydydt
  • Escrito com a notação vetor, em que v(t)=[x(t)y(t)], essa regra tem uma forma muito elegante em termos de gradiente de f e a derivada do vector v(t).
ddtf(v(t))Derivada da função composta=fv(t)Produto escalar dos vetores

Uma regra da cadeia mais geral

Como você provavelmente pode imaginar, a regra da cadeia para múltiplas variáveis generaliza a regra da cadeia do cálculo de variável única. A regra da cadeira de variável única mostra como calcular a derivada da composta de duas funções:
ddtf(g(t))=dfdgdgdt=f(g(t))g(t)
E se, ao invés de receber uma entrada unidimensional t, a função f receber uma entrada bidimensional, (x,y)?
f(x,y)=uma expressão de x e y
Bem, nesse caso, não faria sentido compor com uma função de valor escalar g(t). Ao invés disso, vamos dizer que existem duas funções separadas com valores escalares x(t) e y(t), e nós as usamos como as coordenadas de f. A composição global será uma função com uma única variável, com um único número de entrada t e um único número de saída f(x(t),y(t)), como mostrado nesse diagrama:
Uma saída finalf(x(t),y(t))Duas saídas intermediáriasx(t)y(t)Um valor de entradat
Há ainda uma regra da cadeia, que nos permite calcular a derivada dessa nova função de uma variável f(x(t),y(t)), e ela envolve as derivadas parciais de f:
Como f variaComo x variacom uma pequenacom uma pequenavariação em xvariação em tddtf(x(t),y(t))=fxdxdt+fydydtEssa é uma derivada ordinária,Variação total em fVariação total em fnão uma derivada parcial tdada a influência quedada a influência queporque a composição totalt tem em xt tem em ytem uma entrada e uma saída.
Lembre-se que uma expressão como fxdxdt é uma forma rápida de escrever
fx(x(t),y(t))dxdt(t)
Ou seja, ambas são funções de t, mas fx é resolvida usando as funções intermediárias x(t) e y(t).

Escrito com notação vetorial

Em vez de pensar em x(t) e y(t) como funções separadas, é comum coloca-las juntas em uma única função vetorial:
v(t)=[x(t)y(t)]
Assim, ao invés de escrever a função composta como f(x(t),y(t)), você pode escrevê-la como f(v(t)).
Com essa notação, a regra da cadeia com múltiplas variáveis pode ser escrita de forma mais compacta como um produto escalar entre o gradiente de f e a derivada do vetor v(t):
ddtf(v(t))=fx(v(t))dxdt+fy(v(t))dydtReescreva essa soma como um produto escalar=[fx(v(t))fy(v(t))]f(v(t))[dxdtdydt]v(t)=f(v(t))v(t)
Escrito assim, a analogia com a derivada de uma variável é mais clara.
ddtf(g(t))=f(g(t))g(t)=dfdgdgdt
O gradiente f desempenha o papel da derivada de f, e a derivada do vetor v(t) desempenha o papel da derivada ordinária de g.

Intuição sobre por que a regra da cadeia funciona

Como um aquecimento, considere a regra da cadeia de uma variável para uma composição como f(g(t)). Aqui está como eu gosto de entender essa composição:
  • Primeiro, g transforma um ponto t na reta numérica em outro ponto g(t) na reta numérica.
  • Então f vem e transforma o ponto g(t) em um outro ponto na reta numérica, f(g(t))
Compreender a derivada de f(g(t)) requer entender como uma pequena mudança em t muda o resultado final.
Composição de f e g
Então, vamos mergulhar no que a regra da cadeia está realmente dizendo.
ddxf(g(t))=dfdgdgdt
  • O termo dgdt representa como uma pequena variação em t influencia o resultado intermediário, g(t).
  • O termo dfdg representa como uma pequena variação em g influencia o resultado final, f(g(t)).
  • A variação total em f devida a uma pequena variação em t é, então, o produto dessas duas influências.

Estender essa intuição para mais dimensões

A intuição é semelhante para a regra da cadeia para múltiplas variáveis. Você pode pensar em v como a transformação de um ponto na reta numérica em um ponto no plano xy, e f(v(t)) como uma transformação desse ponto de volta a algum lugar da reta numérica. A questão é, como uma pequena mudança na entrada inicial t muda o resultado total f(v(t))?
Composição de f e textbfv
Vamos desmembrar o que a regra da cadeia para múltiplas variáveis está dizendo, colocando-a em termos das funções componentes x(t) e y(t):
ddtf(v(t))=ddtf(x(t),y(t))=fxdxdt+fydydt
  • O termo dxdt representa como uma pequena variação em t influencia o resultado intermediário, x(t).
  • Da mesma forma, o termo dydt representa como uma pequena variação em t influencia o resultado intermediário, y(t).
  • O termo fx representa como uma pequena variação no componente x de uma entrada de f influencia seu resultado, e, de forma similar, o termo fy é o responsável pela forma como uma pequena variação no componente y da entrada altera f.
  • Uma forma como uma pequena variação em t influencia f(x(t),y(t)) é que ela altera primeiramente x(t) que, por sua vez, altera f. Esse efeito pode ser visto no produto fxdxdt.
  • O outro modo como uma mudança em t muda a saída de f(x(t),y(t)) é primeiro mudando o segundo resultado intermediário y(t), que por sua vez afeta a saída de f. Esse efeito é capturado no produto fydydt.
  • Somar esses dois produtos resulta na mudança total em f.

Conexão com derivada direcional

Você pode notar que a expressão do produto escalar para a regra da cadeia para múltiplas variáveis se parece com uma derivada direcional:
f(v(t))v(t)
Derivada é um vetor velocidade tangente à trajetória.
De fato, é exatamente o que ela é! A derivada v(t0) para um valor t0 particular gera um vetor no domínio de f:
v(t0)=[x(t0)y(t0)]
Se v(t) for interpretado como um trajeto paramétrico dentro desse espaço, talvez representando a trajetória de uma partícula, a derivada em um momento particular do tempo t0 nos dá o vetor velocidade da partícula naquele momento.
Com essa interpretação, a regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta f(v(t)) é a derivada direcional de f ao longo da derivada de v(t).
Isso deve fazer sentido, porque uma pequena mudança de "dt" em t deve, de acordo com o significado da derivada, causar uma pequena mudança dv na saída de v(t). E a razão da derivada direcional é que uma pequena mudança de dv na entrada de f deve causar uma mudança df, como determinado por fv=vf.

Exemplo 1: com e sem a nova regra da cadeia

Defina f(x,y) assim:
f(x,y)=x2y
E defina v(t) assim:
v(t)=[cos(t)sen(t)]
Calcule a derivada ddtf(v(t)).
Solução sem a regra da cadeia:
Antes de usar nossa nova ferramenta no problema, vale a pena destacar que isso é algo que podemos resolver escrevendo primeiro a função composta como uma função de t com uma única variável.
f(v(t))=f(cos(t),sen(t))=cos(t)2sen(t)
Agora você pode obter a derivada ordinária:
=ddtcos(t)2sen(t)=cos(t)2(cos(t))+2cos(t)(sen(t))sen(t)=cos3(t)2cos(t)sen2(t)
Mas é claro, o objetivo desse exemplo é dar uma ideia de como é a regra da cadeia.
Solução usando a regra da cadeia:
Primeiro, vamos descrever explicitamente as funções componentes de v(t):
x(t)=cos(t)y(t)=sen(t)
De acordo com a regra da cadeia,
ddtf(v(t))=fxdxdt+fydydt
Calculando as derivadas parciais de f(x,y)=x2y e as derivadas ordinárias de x(t)=cos(t), y(t)=sen(t), temos
x(x2y)ddt(cos(t))+y(x2y)ddt(sen(t))=(2xy)(sen(t))+(x2)(cos(t))
Queremos que tudo esteja em termos de t, então substituímos x=cos(t) e y=sen(t).
(2xy)(sen(t))+(x2)(cos(t))(2cos(t)sen(t))(sen(t))+(cos(t)2)cos(t)=2cos(t)sen2(t)+cos3(t)
É reconfortante ver que essa resposta é igual à que obtivemos sem usar a regra da cadeia. Você deve estar pensando que essa nova regra da cadeia torna as coisas desnecessariamente complicadas, e o segredinho sujo é que para cálculos concretos como esse, muitas vezes ela é desnecessária.
No entanto, ela é útil para escrever equações em termos de uma função desconhecida, como o exemplo a seguir mostra.

Exemplo 2: função desconhecida

Suponha que a temperatura em uma região bidimensional varie de acordo com uma função T(x,y), que não conhecemos. Você anda por essa região, medindo a temperatura em alguns pontos, e suas coordenadas x e y em função do tempo são
x(t)=30cos(2t)y(t)=40sen(3t)
Quando faz suas medições, você percebe que a temperatura nunca muda no caminho que você faz. O que você pode dizer sobre as derivadas parciais de T?

Resumo

  • Dada uma função multivariável f(x,y) e duas funções de variável única x(t) e y(t), aqui está o que diz a regra da cadeia para múltiplas variáveis:
ddtf(x(t),y(t))Derivada da função composta=fxdxdt+fydydt
  • Escrito com a notação vetor, em que v(t)=[x(t)y(t)], essa regra tem uma forma muito elegante em termos de gradiente de f e a derivada do vector v(t).
ddtf(v(t))Derivada da função composta=fv(t)Produto escalar dos vetores

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