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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)

Regra da cadeia para múltiplas variáveis, versão simples

A regra da cadeia para derivadas pode ser estendida para dimensões maiores. Aqui nós vemos como isso se parece em um caso relativamente simples em que a composição é uma função de uma variável.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Dada uma função multivariável f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e duas funções de variável única x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis, aqui está o que diz a regra da cadeia para múltiplas variáveis:

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\blueD{x}(t), \redE{y}(t)) }_{\text{Derivada da função composta}} \!\!\!\!\!\! = \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \dfrac{d\blueD{x}}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \dfrac{d\redE{y}}{dt}

start underbrace, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, D, e, r, i, v, a, d, a, space, d, a, space, f, u, n, ç, a, with, \~, on top, o, space, c, o, m, p, o, s, t, a, end text, end subscript, equals, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start color #11accd, x, end color #11accd, end fraction, start fraction, d, start color #11accd, x, end color #11accd, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, start fraction, d, start color #bc2612, y, end color #bc2612, divided by, d, t, end fraction

Escrito com a notação vetor, em que $\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]$ , essa regra tem uma forma muito elegante em termos de gradiente de f e a derivada do vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) }_{\text{Derivada da função composta}} \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! = \overbrace{ \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) }^{\text{Produto escalar dos vetores}}

start underbrace, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, D, e, r, i, v, a, d, a, space, d, a, space, f, u, n, ç, a, with, \~, on top, o, space, c, o, m, p, o, s, t, a, end text, end subscript, equals, start overbrace, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, P, r, o, d, u, t, o, space, e, s, c, a, l, a, r, space, d, o, s, space, v, e, t, o, r, e, s, end text, end superscript

Uma regra da cadeia mais geral

Como você provavelmente pode imaginar, a regra da cadeia para múltiplas variáveis generaliza a regra da cadeia do cálculo de variável única. A regra da cadeira de variável única mostra como calcular a derivada da composta de duas funções:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, t, right parenthesis

E se, ao invés de receber uma entrada unidimensional t, a função f receber uma entrada bidimensional, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, dots, start text, u, m, a, space, e, x, p, r, e, s, s, a, with, \~, on top, o, space, d, e, space, end text, x, start text, space, e, space, end text, y, dots

Bem, nesse caso, não faria sentido compor com uma função de valor escalar g, left parenthesis, t, right parenthesis. Ao invés disso, vamos dizer que existem duas funções separadas com valores escalares x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis, e nós as usamos como as coordenadas de f. A composição global será uma função com uma única variável, com um único número de entrada t e um único número de saída f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, como mostrado nesse diagrama:

\begin{array}{rrcl} \scriptsize\text{Uma saída final}&&\scriptsize f(x(t),y(t)) \\\\ &\nearrow&&\nwarrow \\\\ \scriptsize\text{Duas saídas intermediárias}&x(t)&&y(t) \\\\ &\nwarrow&&\nearrow \\\\ \scriptsize\text{Um valor de entrada}&&t \end{array}

Há ainda uma regra da cadeia, que nos permite calcular a derivada dessa nova função de uma variável f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, e ela envolve as derivadas parciais de f:

\begin{array}{ccccc} &\scriptsize\blueD{\text{Como }f\text{ varia}}&&\scriptsize\purpleC{\text{Como }x\text{ varia}} \\ &\scriptsize\blueD{\text{com uma pequena}}&&\scriptsize\purpleC{\text{com uma pequena}} \\ &\scriptsize\blueD{\text{variação em }x}&&\scriptsize\purpleC{\text{variação em }t} \\ &&\blueD{\huge\searrow}\quad\purpleC{\huge\swarrow} \\\\ \maroonD{\underbrace{\dfrac{d}{dt}}_{\Huge\uparrow}}f(x(t),y(t))&=&\underbrace{\blueD{\overbrace{\dfrac{\partial f}{\partial x}}}\purpleC{\overbrace{\dfrac{dx}{dt}}}}_{\Huge\uparrow}&+&\underbrace{\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}}_{\Huge\uparrow} \\ \scriptsize\maroonD{\text{Essa é uma derivada ordinária,}}&&\scriptsize\text{Variação total em }f&&\scriptsize\text{Variação total em }f \\ \scriptsize\maroonD{\text{não uma derivada parcial }\dfrac{\partial}{\partial t}}&&\scriptsize\text{dada a influência que}&&\scriptsize\text{dada a influência que} \\ \scriptsize\maroonD{\text{porque a composição total}}&&\scriptsize t\text{ tem em }x&&\scriptsize t\text{ tem em }y \\ \scriptsize\maroonD{\text{tem uma entrada e uma saída.}} \end{array}

Lembre-se que uma expressão como start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction é uma forma rápida de escrever

start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, right parenthesis

Ou seja, ambas são funções de t, mas start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction é resolvida usando as funções intermediárias x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis.

Escrito com notação vetorial

Em vez de pensar em x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis como funções separadas, é comum coloca-las juntas em uma única função vetorial:

\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]

Assim, ao invés de escrever a função composta como f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, você pode escrevê-la como f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis.

Com essa notação, a regra da cadeia com múltiplas variáveis pode ser escrita de forma mais compacta como um produto escalar entre o gradiente de f e a derivada do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis:

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= \underbrace{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec{\textbf{v}}(t)) \dfrac{dx}{dt}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}(\vec{\textbf{v}}(t)) \dfrac{dy}{dt} }_{\text{Reescreva essa soma como um produto escalar}} \\\\ &= \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec{\textbf{v}}(t)) \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(\vec{\textbf{v}}(t)) \end{array} \right] }_{\nabla f(\vec{\textbf{v}}(t))} \cdot \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \dfrac{dx}{dt} \\\\ \dfrac{dy}{dt} \end{array} \right] }_{\vec{\textbf{v}}'(t)}\\\\ &= \nabla f(\vec{\textbf{v}}(t)) \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) \end{aligned}

Escrito assim, a analogia com a derivada de uma variável é mais clara.

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(g(t)) = f'(g(t)) g'(t) = \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dt} \end{aligned}

O gradiente del, f desempenha o papel da derivada de f, e a derivada do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis desempenha o papel da derivada ordinária de g.

Intuição sobre por que a regra da cadeia funciona

Como um aquecimento, considere a regra da cadeia de uma variável para uma composição como f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis. Aqui está como eu gosto de entender essa composição:

Primeiro, g transforma um ponto t na reta numérica em outro ponto g, left parenthesis, t, right parenthesis na reta numérica.
Então f vem e transforma o ponto g, left parenthesis, t, right parenthesis em um outro ponto na reta numérica, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis

Compreender a derivada de f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis requer entender como uma pequena mudança em t muda o resultado final.

Então, vamos mergulhar no que a regra da cadeia está realmente dizendo.

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start color #11accd, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, end color #11accd, dot, start color #1fab54, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54

O termo start color #1fab54, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 representa como uma pequena variação em t influencia o resultado intermediário, g, left parenthesis, t, right parenthesis.
[Mais detalhes, por favor!]

O termo start color #11accd, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, end color #11accd representa como uma pequena variação em g influencia o resultado final, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis.
[Mais detalhes, por favor!]

A variação total em f devida a uma pequena variação em t é, então, o produto dessas duas influências.
[Mais detalhes, por favor!]

Estender essa intuição para mais dimensões

A intuição é semelhante para a regra da cadeia para múltiplas variáveis. Você pode pensar em start bold text, v, end bold text, with, vector, on top como a transformação de um ponto na reta numérica em um ponto no plano x, y, e f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis como uma transformação desse ponto de volta a algum lugar da reta numérica. A questão é, como uma pequena mudança na entrada inicial t muda o resultado total f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis?

Vamos desmembrar o que a regra da cadeia para múltiplas variáveis está dizendo, colocando-a em termos das funções componentes x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd, start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54, plus, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39

O termo start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 representa como uma pequena variação em t influencia o resultado intermediário, x, left parenthesis, t, right parenthesis.
[Especificamente...]

Da mesma forma, o termo start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39 representa como uma pequena variação em t influencia o resultado intermediário, y, left parenthesis, t, right parenthesis.
[Especificamente...]

O termo start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd representa como uma pequena variação no componente x de uma entrada de f influencia seu resultado, e, de forma similar, o termo start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd é o responsável pela forma como uma pequena variação no componente y da entrada altera f.
[Especificamente...]

Uma forma como uma pequena variação em t influencia f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis é que ela altera primeiramente x, left parenthesis, t, right parenthesis que, por sua vez, altera f. Esse efeito pode ser visto no produto start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd, start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54.
[Mais detalhes, por favor!]

O outro modo como uma mudança em t muda a saída de f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis é primeiro mudando o segundo resultado intermediário y, left parenthesis, t, right parenthesis, que por sua vez afeta a saída de f. Esse efeito é capturado no produto start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39.
Somar esses dois produtos resulta na mudança total em f.

Conexão com derivada direcional

Você pode notar que a expressão do produto escalar para a regra da cadeia para múltiplas variáveis se parece com uma derivada direcional:

\begin{aligned} \nabla f(\vec{\textbf{v}}(t)) \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) \end{aligned}

De fato, é exatamente o que ela é! A derivada start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis para um valor t, start subscript, 0, end subscript particular gera um vetor no domínio de f:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}'(t_0) = \left[ \begin{array}{c} x'(t_0) \\\\ y'(t_0) \end{array} \right] \end{aligned}

Se start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis for interpretado como um trajeto paramétrico dentro desse espaço, talvez representando a trajetória de uma partícula, a derivada em um momento particular do tempo t, start subscript, 0, end subscript nos dá o vetor velocidade da partícula naquele momento.

Com essa interpretação, a regra da cadeia nos diz que a derivada da função composta f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis é a derivada direcional de f ao longo da derivada de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

Isso deve fazer sentido, porque uma pequena mudança de "d, t" em t deve, de acordo com o significado da derivada, causar uma pequena mudança d, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top na saída de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis. E a razão da derivada direcional é que uma pequena mudança de d, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top na entrada de f deve causar uma mudança d, f, como determinado por start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f.

Exemplo 1: com e sem a nova regra da cadeia

Defina f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis assim:

\begin{aligned} f(x, y) = x^2y \end{aligned}

E defina start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis assim:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\\\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}

Calcule a derivada start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis.

Solução sem a regra da cadeia:

Antes de usar nossa nova ferramenta no problema, vale a pena destacar que isso é algo que podemos resolver escrevendo primeiro a função composta como uma função de t com uma única variável.

\begin{aligned} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= f(\cos(t), \operatorname{sen}(t)) \\\\ &= \cos(t)^2\operatorname{sen}(t) \end{aligned}

Agora você pode obter a derivada ordinária:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dt} \cos(t)^2\operatorname{sen}(t) \\\\ &= \cos(t)^2(\cos(t)) + 2\cos(t)(-\operatorname{sen}(t))\operatorname{sen}(t) \\\\ &=\boxed{ \cos^3(t) - 2\cos(t)\operatorname{sen}^2(t)} \end{aligned}

Mas é claro, o objetivo desse exemplo é dar uma ideia de como é a regra da cadeia.

Solução usando a regra da cadeia:

Primeiro, vamos descrever explicitamente as funções componentes de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis:

\begin{aligned} x(t) &= \cos(t) \\\\ y(t) &= \operatorname{sen}(t) \end{aligned}

De acordo com a regra da cadeia,

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{dy}{dt} \end{aligned}

Calculando as derivadas parciais de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y e as derivadas ordinárias de x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis, temos

\begin{aligned} &\quad \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y) \dfrac{d}{dt}(\cos(t)) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}) \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sen}(t)) \\\\ &= (2\blueE{x}y)(-\operatorname{sen}(t)) + (x^2)(\cos(t)) \end{aligned}

Queremos que tudo esteja em termos de t, então substituímos x, equals, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis e y, equals, s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis.

\begin{aligned} &(2\blueE{x}y)(-\operatorname{sen}(t)) + (x^2)(\cos(t)) \\\\ &(2\cos(t)\operatorname{sen}(t))(-\operatorname{sen}(t)) + (\cos(t)^2)\cos(t) \\\\ = &\boxed{-2\cos(t)\operatorname{sen}^2(t) + \cos^3(t)} \end{aligned}

É reconfortante ver que essa resposta é igual à que obtivemos sem usar a regra da cadeia. Você deve estar pensando que essa nova regra da cadeia torna as coisas desnecessariamente complicadas, e o segredinho sujo é que para cálculos concretos como esse, muitas vezes ela é desnecessária.

No entanto, ela é útil para escrever equações em termos de uma função desconhecida, como o exemplo a seguir mostra.

Exemplo 2: função desconhecida

Suponha que a temperatura em uma região bidimensional varie de acordo com uma função T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, que não conhecemos. Você anda por essa região, medindo a temperatura em alguns pontos, e suas coordenadas x e y em função do tempo são

\begin{aligned} x(t) &= 30\cos(2t) \\\\ y(t) &= 40\operatorname{sen}(3t) \end{aligned}

Quando faz suas medições, você percebe que a temperatura nunca muda no caminho que você faz. O que você pode dizer sobre as derivadas parciais de T?

[Solução]

Resumo

Dada uma função multivariável f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e duas funções de variável única x, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis, aqui está o que diz a regra da cadeia para múltiplas variáveis:

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\blueD{x}(t), \redE{y}(t)) }_{\text{Derivada da função composta}} \!\!\!\!\!\! = \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \dfrac{d\blueD{x}}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \dfrac{d\redE{y}}{dt}

Escrito com a notação vetor, em que $\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]$ , essa regra tem uma forma muito elegante em termos de gradiente de f e a derivada do vector start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis.

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) }_{\text{Derivada da função composta}} \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! = \overbrace{ \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) }^{\text{Produto escalar dos vetores}}

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