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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)

Derivadas parciais de superfícies paramétricas

Se tiver uma função que representa uma superfície em três dimensões, você pode calcular sua derivada parcial. Vemos aqui como isso se parece e como interpretar.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Como ponto de partida, temos uma função vetorial com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional:

$\vec{\textbf{v}}(s, t) = \left[ \begin{array}{c} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \\ \end{array} \right]$

Suas derivadas parciais são calculadas usando a derivada parcial de cada componente:

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\blueE{\partial t}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\redE{\partial s}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}

Você pode interpretar essas derivadas parciais como a geração de vetores tangentes à superfície parametrizada definida por start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Objetivo

Suponha que eu te dê uma função com entrada bidimensional e saída tridimensional, como essa:

$\vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \\ 3\operatorname{sen}(t) + \operatorname{sen}(t)\cos(s) \\ \operatorname{sen}(s) \end{array} \right]$

Como a entrada é multidimensional, você não pode calcular a derivada ordinária dessa função, mas pode calcular a derivada parcial. O foco desse artigo é conseguir uma ideia intuitiva sobre o que essas derivadas parciais significam.

Interpretação da função como uma superfície

Na verdade, a própria função tem um significado geométrico muito interessante. Como ela tem uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional, podemos visualizá-la como uma superfície parametrizada.

Especificamente, considere todas as entradas left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis tais que 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi e 0, is less than or equal to, s, is less than or equal to, 2, pi. Isso pode ser visto como um quadrado no "plano t, s". Vou desenhá-lo com um padrão xadrez para deixar mais fácil acompanhar mais tarde.

Para qualquer ponto left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, o valor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis é algum ponto no espaço tridimensional.

Verificação de conceito: resolva start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, pi, comma, pi, right parenthesis. Em outras palavras, qual a saída da função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top para a entrada left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, equals, left parenthesis, pi, comma, pi, right parenthesis?

[Definição de v]

(Escolha A)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha C)
$\begin{aligned} \quad \left[ \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}$

[Resposta]

Imagine fazer esse cálculo para todas as entradas left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis do quadrado, de modo a obter, a cada vez, algum ponto no espaço tridimensional. Todas as saídas resultantes formarão uma superfície bidimensional em um espaço tridimensional. Eu gosto de imaginar cada ponto do quadrado movendo-se para sua respectiva posição no espaço.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

O resultado é um formato de rosca! O pessoal da Matemática chama isso de toro.

Interpretação das derivadas parciais

Derive em relação a start color #0c7f99, t, end color #0c7f99

Para calcular a derivada parcial dessa função, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, você deve calcular a derivada parcial de cada componente individualmente.

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(\blueE{t}, s) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}} \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\blueE{t}) + \cos(\blueE{t})\cos(s) \\ \\ 3\operatorname{sen}(\blueE{t}) + \operatorname{sen}(\blueE{t})\cos(s) \\ \\ \operatorname{sen}(s) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(3\cos(\blueE{t}) + \cos(\blueE{t})\cos(s)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(3\operatorname{sen}(\blueE{t}) + \operatorname{sen}(\blueE{t})\cos(s)) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{t}}(\operatorname{sen}(s)) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -3\operatorname{sen}(t) - \operatorname{sen}(t)\cos(s) \\ \\ 3\cos(t) + \cos(t)\cos(s) \\ \\ 0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Então... o que essa nova função vetorial realmente significa?

Bem, calcular essa derivada parcial requer que a variável s seja tratada como uma constante. Geometricamente, o que isso significa?

No plano t, s, um valor constante de s corresponde a uma reta horizontal. Essa é uma reta dessas, que representa s, equals, pi, slash, 2, mostrada em vermelho:

Depois que esse quadrado é torcido e transformado em um toro, a reta vermelha vira uma circunferência que dá a volta no toro:

A derivada parcial start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction nos diz como a saída muda ligeiramente conforme deslocamos a entrada na direção t. Nesse caso, o vetor que representa esse deslocamento (desenhado abaixo em amarelo) é transformado em um vetor tangente à circunferência vermelha, que representa um valor constante de s na superfície:

Especificamente, o ponto da entrada usado nas figuras acima é left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, comma, s, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. Isso significa que o ponto sobre o toro é

\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}\left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left[ \begin{array}{c} 3\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 3\operatorname{sen}(\pi/4) + \operatorname{sen}(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ \operatorname{sen}(\pi/2) \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 1 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ 1 \end{array} \right] \\ \end{aligned}

E o vetor tangente é

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial t} \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2} \right) &= \left[ \begin{array}{c} -3\operatorname{sen}(\pi/4) - \operatorname{sen}(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 3\cos(\pi/4) + \cos(\pi/4)\cos(\pi/2) \\ 0 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -3\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 3\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(0) \\ 0 \end{array} \right] \\ \\ &= \left[ \begin{array}{c} -\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Verificação de conceito: por que faz sentido que o componente z desse vetor tangente seja 0?

(Escolha A)
A coordenada z de todos os pontos na circunferência vermelha, que representa s, equals, pi, slash, 2, é sempre 0.
(Escolha B)
A coordenada z de todos os pontos na circunferência vermelha, que representa s, equals, pi, slash, 2, não muda.

Derive em relação a start color #bc2612, s, end color #bc2612

A derivada parcial em relação a s é similar. Você a resolve calculando a derivada parcial de cada componente de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, \redE{s}) = \dfrac{\partial}{\partial \redE{s}} &\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(t)\cos(\redE{s}) \\ 3\operatorname{sen}(t) + \operatorname{sen}(t)\cos(\redE{s}) \\ \operatorname{sen}(\redE{s}) \end{array} \right] \\ = &\left[ \begin{array}{c} -\cos(t)\operatorname{sen}(s) \\ -\operatorname{sen}(t)\operatorname{sen}(s) \\ \cos(s) \end{array} \right] \\ \end{aligned}

Dessa vez, podemos imaginar que mantemos t constante para obter uma reta vertical no espaço paramétrico.

A seta amarela representa o vetor velocidade de uma partícula que viaja ao longo dessa linha. Ou seja, conforme você varia s, mantendo t constante. Depois que o quadrado se transforma no toro devido à função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, a linha vermelha e o vetor velocidade amarelo ficam parecidos com isso:

A derivada parcial start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, s, end fraction pode ser interpretada como o vetor velocidade resultante sobre o toro.

Resumo

Como ponto de partida, temos uma função vetorial com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional:

$\vec{\textbf{v}}(s, t) = \left[ \begin{array}{c} x(s, t) \\ y(s, t) \\ z(s, t) \\ \end{array} \right]$

Suas derivadas parciais são calculadas usando a derivada parcial de cada componente:

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\blueE{\partial t}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\blueE{\partial t}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}

\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\redE{\partial s}}(s, t) &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial x}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial y}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \dfrac{\partial z}{\redE{\partial s}}(s, t) \\ \end{array} \right] \end{aligned}

Você pode interpretar essas derivadas parciais como a geração de vetores tangentes à superfície parametrizada definida por start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Por exemplo, imagine deslocar um ponto no espaço de entrada ao longo do sentido start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, digamos que indo das coordenadas left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis até as coordenadas left parenthesis, s, comma, t, plus, start color #bc2612, h, end color #bc2612, right parenthesis para algum valor pequeno de start color #bc2612, h, end color #bc2612. Isso resulta em um pequeno deslocamento na saída ao longo da superfície, que é representado pelo vetor start color #bc2612, h, end color #bc2612, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, t, end fraction, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis.

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