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Derivadas parciais de superfícies paramétricas

Se tiver uma função que representa uma superfície em três dimensões, você pode calcular sua derivada parcial. Vemos aqui como isso se parece e como interpretar.

O que estamos construindo

  • Como ponto de partida, temos uma função vetorial com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional:
v(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)]
Suas derivadas parciais são calculadas usando a derivada parcial de cada componente:
vt(s,t)=[xt(s,t)yt(s,t)zt(s,t)]
vs(s,t)=[xs(s,t)ys(s,t)zs(s,t)]
  • Você pode interpretar essas derivadas parciais como a geração de vetores tangentes à superfície parametrizada definida por v.

Objetivo

Suponha que eu te dê uma função com entrada bidimensional e saída tridimensional, como essa:
v(t,s)=[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sen(t)+sen(t)cos(s)sen(s)]
Como a entrada é multidimensional, você não pode calcular a derivada ordinária dessa função, mas pode calcular a derivada parcial. O foco desse artigo é conseguir uma ideia intuitiva sobre o que essas derivadas parciais significam.

Interpretação da função como uma superfície

Na verdade, a própria função tem um significado geométrico muito interessante. Como ela tem uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional, podemos visualizá-la como uma superfície parametrizada.
Especificamente, considere todas as entradas (t,s) tais que 0t2π e 0s2π. Isso pode ser visto como um quadrado no "plano ts". Vou desenhá-lo com um padrão xadrez para deixar mais fácil acompanhar mais tarde.
Para qualquer ponto (t,s), o valor v(t,s) é algum ponto no espaço tridimensional.
Verificação de conceito: resolva v(π,π). Em outras palavras, qual a saída da função v para a entrada (t,s)=(π,π)?
Escolha 1 resposta:

Imagine fazer esse cálculo para todas as entradas (t,s) do quadrado, de modo a obter, a cada vez, algum ponto no espaço tridimensional. Todas as saídas resultantes formarão uma superfície bidimensional em um espaço tridimensional. Eu gosto de imaginar cada ponto do quadrado movendo-se para sua respectiva posição no espaço.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
O resultado é um formato de rosca! O pessoal da Matemática chama isso de toro.

Interpretação das derivadas parciais

Derive em relação a t

Para calcular a derivada parcial dessa função, vt, você deve calcular a derivada parcial de cada componente individualmente.
vt(t,s)=t[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sen(t)+sen(t)cos(s)sen(s)]=[t(3cos(t)+cos(t)cos(s))t(3sen(t)+sen(t)cos(s))t(sen(s))]=[3sen(t)sen(t)cos(s)3cos(t)+cos(t)cos(s)0]
Então... o que essa nova função vetorial realmente significa?
Bem, calcular essa derivada parcial requer que a variável s seja tratada como uma constante. Geometricamente, o que isso significa?
No plano ts, um valor constante de s corresponde a uma reta horizontal. Essa é uma reta dessas, que representa s=π/2, mostrada em vermelho:
Depois que esse quadrado é torcido e transformado em um toro, a reta vermelha vira uma circunferência que dá a volta no toro:
A derivada parcial vt nos diz como a saída muda ligeiramente conforme deslocamos a entrada na direção t. Nesse caso, o vetor que representa esse deslocamento (desenhado abaixo em amarelo) é transformado em um vetor tangente à circunferência vermelha, que representa um valor constante de s na superfície:
Especificamente, o ponto da entrada usado nas figuras acima é (t0,s0)=(π4,π2). Isso significa que o ponto sobre o toro é
v(π4,π2)=[3cos(π/4)+cos(π/4)cos(π/2)3sen(π/4)+sen(π/4)cos(π/2)sen(π/2)]=[322+22(0)322+22(0)1]=[3223221]
E o vetor tangente é
vt(π4,π2)=[3sen(π/4)sen(π/4)cos(π/2)3cos(π/4)+cos(π/4)cos(π/2)0]=[32222(0)322+22(0)0]=[3223220]
Verificação de conceito: por que faz sentido que o componente z desse vetor tangente seja 0?
Escolha 1 resposta:

Derive em relação a s

A derivada parcial em relação a s é similar. Você a resolve calculando a derivada parcial de cada componente de v:
vs(t,s)=s[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sen(t)+sen(t)cos(s)sen(s)]=[cos(t)sen(s)sen(t)sen(s)cos(s)]
Dessa vez, podemos imaginar que mantemos t constante para obter uma reta vertical no espaço paramétrico.
A seta amarela representa o vetor velocidade de uma partícula que viaja ao longo dessa linha. Ou seja, conforme você varia s, mantendo t constante. Depois que o quadrado se transforma no toro devido à função v, a linha vermelha e o vetor velocidade amarelo ficam parecidos com isso:
A derivada parcial vs pode ser interpretada como o vetor velocidade resultante sobre o toro.

Resumo

  • Como ponto de partida, temos uma função vetorial com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional:
v(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)]
Suas derivadas parciais são calculadas usando a derivada parcial de cada componente:
vt(s,t)=[xt(s,t)yt(s,t)zt(s,t)]
vs(s,t)=[xs(s,t)ys(s,t)zs(s,t)]
  • Você pode interpretar essas derivadas parciais como a geração de vetores tangentes à superfície parametrizada definida por v.
  • Por exemplo, imagine deslocar um ponto no espaço de entrada ao longo do sentido t, digamos que indo das coordenadas (s,t) até as coordenadas (s,t+h) para algum valor pequeno de h. Isso resulta em um pequeno deslocamento na saída ao longo da superfície, que é representado pelo vetor hvt(s,t).

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