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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 8: Cálculo da derivada de funções vetoriais (artigos)

Derivadas parciais de superfícies paramétricas

Se tiver uma função que representa uma superfície em três dimensões, você pode calcular sua derivada parcial. Vemos aqui como isso se parece e como interpretar.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Como ponto de partida, temos uma função vetorial com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional:

$\vec{v} (s, t) = [\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}]$ ‍

Suas derivadas parciais são calculadas usando a derivada parcial de cada componente:

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

Você pode interpretar essas derivadas parciais como a geração de vetores tangentes à superfície parametrizada definida por $\vec{v}$ ‍.

Objetivo

Suponha que eu te dê uma função com entrada bidimensional e saída tridimensional, como essa:

$\vec{v} (t, s) = [\begin{matrix} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 sen (t) + sen (t) \cos (s) \\ sen (s) \end{matrix}]$ ‍

Como a entrada é multidimensional, você não pode calcular a derivada ordinária dessa função, mas pode calcular a derivada parcial. O foco desse artigo é conseguir uma ideia intuitiva sobre o que essas derivadas parciais significam.

Interpretação da função como uma superfície

Na verdade, a própria função tem um significado geométrico muito interessante. Como ela tem uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional, podemos visualizá-la como uma superfície parametrizada.

Especificamente, considere todas as entradas

(t, s)

tais que

0 \leq t \leq 2 π

0 \leq s \leq 2 π

. Isso pode ser visto como um quadrado no "plano

t s

". Vou desenhá-lo com um padrão xadrez para deixar mais fácil acompanhar mais tarde.

Para qualquer ponto

(t, s)

, o valor

\vec{v} (t, s)

é algum ponto no espaço tridimensional.

Verificação de conceito: resolva

\vec{v} (π, π)

. Em outras palavras, qual a saída da função

\vec{v}

para a entrada

(t, s) = (π, π)

Imagine fazer esse cálculo para todas as entradas

(t, s)

do quadrado, de modo a obter, a cada vez, algum ponto no espaço tridimensional. Todas as saídas resultantes formarão uma superfície bidimensional em um espaço tridimensional. Eu gosto de imaginar cada ponto do quadrado movendo-se para sua respectiva posição no espaço.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

O resultado é um formato de rosca! O pessoal da Matemática chama isso de toro.

Interpretação das derivadas parciais

Derive em relação a $t$ ‍

Para calcular a derivada parcial dessa função,

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

, você deve calcular a derivada parcial de cada componente individualmente.

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) & = \frac{\partial}{\partial t} [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 sen (t) + sen (t) \cos (s) \\ sen (s) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial t} (3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (3 sen (t) + sen (t) \cos (s)) \\ \frac{\partial}{\partial t} (sen (s)) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 sen (t) - sen (t) \cos (s) \\ 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Então... o que essa nova função vetorial realmente significa?

Bem, calcular essa derivada parcial requer que a variável

s

seja tratada como uma constante. Geometricamente, o que isso significa?

No plano

t s

, um valor constante de

s

corresponde a uma reta horizontal. Essa é uma reta dessas, que representa

s = π / 2

, mostrada em vermelho:

Depois que esse quadrado é torcido e transformado em um toro, a reta vermelha vira uma circunferência que dá a volta no toro:

A derivada parcial

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

nos diz como a saída muda ligeiramente conforme deslocamos a entrada na direção

t

. Nesse caso, o vetor que representa esse deslocamento (desenhado abaixo em amarelo) é transformado em um vetor tangente à circunferência vermelha, que representa um valor constante de

s

na superfície:

Especificamente, o ponto da entrada usado nas figuras acima é

(t_{0}, s_{0}) = (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})

. Isso significa que o ponto sobre o toro é

\begin{aligned} \vec{v} (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 sen (π / 4) + sen (π / 4) \cos (π / 2) \\ sen (π / 2) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{array}] \end{aligned}

E o vetor tangente é

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) & = [\begin{array}{c} - 3 sen (π / 4) - sen (π / 4) \cos (π / 2) \\ 3 \cos (π / 4) + \cos (π / 4) \cos (π / 2) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (0) \\ 0 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{array}] \end{aligned}

Verificação de conceito: por que faz sentido que o componente

z

desse vetor tangente seja

0

Derive em relação a $s$ ‍

A derivada parcial em relação a

s

é similar. Você a resolve calculando a derivada parcial de cada componente de

\vec{v}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) = \frac{\partial}{\partial s} & [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (t) \cos (s) \\ 3 sen (t) + sen (t) \cos (s) \\ sen (s) \end{array}] \\ = & [\begin{array}{c} - \cos (t) sen (s) \\ - sen (t) sen (s) \\ \cos (s) \end{array}] \end{aligned}

Dessa vez, podemos imaginar que mantemos

t

constante para obter uma reta vertical no espaço paramétrico.

A seta amarela representa o vetor velocidade de uma partícula que viaja ao longo dessa linha. Ou seja, conforme você varia

s

, mantendo

t

constante. Depois que o quadrado se transforma no toro devido à função

\vec{v}

, a linha vermelha e o vetor velocidade amarelo ficam parecidos com isso:

A derivada parcial

\frac{\partial \vec{v}}{\partial s}

pode ser interpretada como o vetor velocidade resultante sobre o toro.

Resumo

Como ponto de partida, temos uma função vetorial com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional:

$\vec{v} (s, t) = [\begin{matrix} x (s, t) \\ y (s, t) \\ z (s, t) \end{matrix}]$ ‍

Suas derivadas parciais são calculadas usando a derivada parcial de cada componente:

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial t} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial t} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (s, t) & = [\begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial y}{\partial s} (s, t) \\ \frac{\partial z}{\partial s} (s, t) \end{array}] \end{aligned}

Você pode interpretar essas derivadas parciais como a geração de vetores tangentes à superfície parametrizada definida por $\vec{v}$ ‍.
Por exemplo, imagine deslocar um ponto no espaço de entrada ao longo do sentido $t$ ‍, digamos que indo das coordenadas $(s, t)$ ‍ até as coordenadas $(s, t + h)$ ‍ para algum valor pequeno de $h$ ‍. Isso resulta em um pequeno deslocamento na saída ao longo da superfície, que é representado pelo vetor $h \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (s, t)$ ‍.

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