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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 11: Divergência e rotacional (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Derivadas de funções multivariáveis
Divergência e rotacional (artigos)
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Rotacional, rotação do fluido em três dimensões

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O rotacional é um operador que mede a rotação em um escoamento de fluido indicada por um campo vetorial tridimensional.

Conhecimentos prévios

Observação: nesse artigo usaremos a seguinte convenção:
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top representa o vetor unitário na direção x.
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top representa o vetor unitário na direção y.
  • start bold text, k, end bold text, with, hat, on top representa o vetor unitário na direção z.

O que estamos construindo

  • Rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional diferente.
  • Se um fluido escoa pelo espaço tridimensional ao longo de um campo vetorial, a rotação do fluido em cada ponto, representada por um vetor, é dada pelo rotacional do campo vetorial original calculado naquele ponto. O campo vetorial rotacional deve ter sua magnitude reduzida à metade se quisermos que as magnitudes dos vetores do rotacional sejam iguais à velocidade de rotação do fluido.
  • Se uma função vetorial tridimensional start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis tem como funções componentes start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis e start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, o rotacional é calculado da seguinte forma:
    start underbrace, del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end underbrace, start subscript, start text, N, o, t, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, o, space, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, z, end fraction, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, z, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, x, end fraction, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Descrição de uma rotação com um vetor

Se um objeto gira em duas dimensões, você pode descrever completamente a rotação com uma constante: a velocidade angular. Velocidades angulares positivas indicam rotação no sentido anti-horário enquanto valores negativos indicam rotação no sentido horário. O valor absoluto da velocidade angular indica a velocidade de rotação, geralmente dada em radianos por segundo.
Para um objeto que gira em três dimensões, a coisa é um pouco mais complicada. Precisamos representar tanto a velocidade angular quanto a direção de rotação do objeto no espaço tridimensional.
Para fazer isso, a rotação em três dimensões é tipicamente representada por um único vetor. A magnitude do vetor indica a velocidade angular, e a direção do vetor é determinada por uma convenção super importante, chamada de "regra da mão direita".
  • REGRA DA MÃO DIREITA: curve os dedos da sua mão direita na direção da rotação e mantenha o polegar esticado. O vetor que representa essa rotação tridimensional é, por definição, orientado na direção do seu polegar.
O seu polegar deve apontar o eixo de rotação. Ao adotar essa convenção e usar a mão direita ao invés da esquerda, diferenciamos uma certa rotação tridimensional da sua inversa em sentido oposto. Basicamente, estendemos a noção de sentidos horário e anti-horário ao espaço tridimensional.
Por exemplo, a rotação da Terra no espaço seria descrita usando um vetor que aponta do centro da Terra em direção ao polo norte e cuja magnitude é igual à velocidade angular de rotação da Terra (que por sinal é de 0, comma, 0000729 radianos/segundo).

Revisão da rotação bidirecional de um fluido

No artigo conhecendo o rotacional, apresentei como um fluido escoa segundo um campo vetorial bidimensional definido pela função
v⃗(x,y)=[y3−9yx3−9x]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \end{array} \right] \\ &= (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
A animação abaixo mostra uma simulação disso, onde as partículas de fluido (pontos azuis) sempre se movem na direção do vetor mais próximo a elas. Para os objetivos do estudo do rotacional, repare no que acontece dentro e em torno das regiões circuladas.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
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O fluido gira no sentido anti-horário nos círculos da direita e da esquerda, e no sentido horário nos círculos de cima e de baixo. No estudo do rotacional, a pergunta chave é: quanto o fluido gira em torno de cada ponto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no plano?
No último artigo, dei uma ideia intuitiva de que a resposta para essa pergunta é o que podemos chamar de rotacional bidimensional de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, que tem a seguinte fórmula:
rotacional bidirecional  v⃗(x0,y0)=∂v2∂x(x0,y0)−∂v1∂y(x0,y0)\begin{aligned} \quad \text{rotacional bidirecional}\;\vec{\textbf{v}}(x_0, y_0) = \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0) - \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\redE{\partial y}}(x_0, y_0) \end{aligned}
Aqui, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 e start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 são os componentes da função vetorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Por exemplo, para o campo vetorial específico dado acima, definido por left parenthesis, y, cubed, minus, 9, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, x, cubed, minus, 9, x, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, a resposta seria
∂(x3−9x)∂x−∂(y3−9y)∂y=3x2−9−(3y2−9)=3x2−3y2\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial({x^3-9x})}{\partial x} - \dfrac{\partial({y^3-9y})}{\partial y} &= 3x^2 - 9 - (3y^2-9) \\ &= 3x^2-3y^2 \end{aligned}
Note que o resultado é uma função escalar. Você escolhe um ponto, como left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis, e obtém uma constante que indica a velocidade angular do fluido próximo desse ponto, 3, left parenthesis, 2, right parenthesis, squared, minus, 3, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, equals, 12, minus, 3, equals, 9. Esse valor representa o dobro da velocidade angular do fluido em torno desse ponto, logo a velocidade de rotação é de 4, comma, 5 radianos/segundo (falaremos mais sobre isso depois). O importante é que você obtém um único número escalar para descrever a rotação.
Isso faz sentido, pois a rotação de um objeto em duas dimensões pode ser descrita por uma constante (escalar), logo a rotação em torno de todos os pontos possíveis em um escoamento deve ser descrita por uma função escalar.
Questão para reflexão: na animação do escoamento acima, existe algum componente rotacional do fluido na origem left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis?
Escolha 1 resposta:

Passando para três dimensões

Em preparação para avançarmos para três dimensões, vamos expressar a rotação do fluido acima usando vetores. Concentre-se em uma região de rotação anti-horária, como o círculo mais à direita na animação acima. Imagine colocar os dedos da sua mão direita em volta desse círculo, de forma que eles apontem na direção das setas (no sentido anti-horário nesse caso) e estique o polegar. O polegar deve apontar para fora da página, na direção positiva de z, paralela ao vetor unitário start bold text, k, end bold text, with, hat, on top.
Se fizermos isso para cada ponto, atribuindo um vetor para a rotação em torno de cada ponto no plano x, y de acordo com a fórmula start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, b, i, d, i, m, e, n, s, i, o, n, a, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, obteríamos algo assim:
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Vetores apontando na direção positiva do eixo z indicam rotação no sentido anti-horário próxima a esse ponto, e vetores apontando no sentido oposto indicam rotação no sentido horário, quando vistos de cima do plano x, y. A magnitude de cada vetor indica a velocidade de rotação. Poderíamos descrever esse sistema de vetores com a expressão
left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
Esse é quase um campo vetorial tridimensional, exceto que estamos olhando para os pontos no plano x, y e não em todo o espaço. O rotacional propriamente dito só se aplica a campos vetoriais tridimensionais, então, para nos prepararmos para o conteúdo mais abaixo, vamos transformá-lo em um exemplo realmente tridimensional. Para começar, vamos estender a nossa função vetorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top a uma função tridimensional similar start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript.
v⃗3d(x,y,z)=[y3−9yx3−9x0]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^+(0)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}_{3d}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \\ \greenE{0} \end{array} \right] = (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} + (\greenE{0})\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Para um campo vetorial tridimensional, esse aqui parece muito plano, não é? O componente start bold text, k, end bold text, with, hat, on top é igual a 0 em todos os pontos, e nenhum componente depende do valor da variável z. Nós apenas copiamos o campo vetorial bidimensional original para cada fatia do espaço tridimensional paralelo ao plano x, y.
O próximo vídeo mostra a aparência do campo vetorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript, onde mantemos o plano x, y (em cinza) e os círculos vermelhos como pontos de referência. Note que em cada camada paralela ao plano x, y, os vetores são idênticos aos vetores originais que tínhamos no plano x, y do nosso campo vetorial puramente bidimensional start bold text, v, end bold text, with, vector, on top da seção anterior.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
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Novamente, imagine esse campo vetorial representando o escoamento de um fluido, como o ar em uma sala ou a água em uma piscina. Quando representamos a rotação desse fluido em torno de cada ponto com um vetor ligado a esse ponto, temos um novo campo vetorial, como mostrado no próximo vídeo:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
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Isso é dado pela função vetorial
start bold text, w, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
Essa é a mesma fórmula que tínhamos antes, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, porém o importante é que agora ela se aplica a todos os pontos left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis do espaço, e não apenas aos pontos left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis do plano x, y.
  • O fato de a variável z não influenciar o resultado reflete o fato de o movimento do fluido ser igual em todas as camadas de espaço paralelas ao plano x, y.
  • O fato de os componentes start bold text, i, end bold text, with, hat, on top e start bold text, j, end bold text, with, hat, on top serem iguais a 0 significa que todos os vetores rotação apontam apenas na direção z, o que implica que toda rotação do fluido é paralela ao plano x, y.
Esse novo campo vetorial start bold text, w, end bold text, with, vector, on top (azul) é chamado de "rotacional" do campo vetorial inicial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript (verde). Você poderá encontrar isso escrito como
w⃗=rot v⃗3d\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{w}} = \text{rot}\,\vec{\textbf{v}}_{3d} \end{aligned}
Esse é o nosso primeiro exemplo genuíno de rotacional tridimensional: o rotacional, sendo um operador matemático, toma uma função vetorial tridimensional start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript, que pode ser entendida como uma representação do escoamento de um fluido, e gera outra função vetorial tridimensional "start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript", que representa a rotação próxima a cada ponto desse fluido.

Visualizando a rotação de um fluido em três dimensões

Em um escoamento tridimensional genérico, a rotação pode não ser sempre paralela ao plano x, y. Assim, pode ser difícil enxergar o que está acontecendo. Muito difícil.
Por exemplo, imagine que o ar ao seu redor está se movendo e girando caoticamente. Agora, escolha um ponto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no espaço. O que você acha que "rotação do ar próximo a esse ponto" significa?
Aqui temos algumas táticas:
  • Imagine que há uma bola de tênis pequena cujo centro está fixo no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, mas que está livre para girar. Talvez você tenha inventado mágica para mantê-la em posição, ou então tem algum tipo de dispositivo engenhoso de suspensão magnética. O ar se movendo em torno dela pode fazer com que ela gire de uma maneira ou de outra. O vetor rotacional ligado a esse ponto será o vetor que descreve a rotação dessa pequena bola de tênis, da mesma forma que nós descrevemos a rotação da terra acima usando um único vetor.
  • Alternativamente, imagine uma flecha com penas bonitas e grossas. Do tipo que o Robin Hood atiraria. Coloque a flecha parada no ar, de modo que as penas estejam no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Novamente, você fez mágica e encontrou uma forma de fixar a base da flecha nesse ponto, mas você está livre para orientar a flecha em qualquer direção que desejar, e ela gira livremente, com base na maneira como o vento sopra as suas penas.
Se você experimentar diversas orientações da flecha e encontrar a direção em que as correntes de ar fazem a flecha girar mais rápido, essa será a direção do vetor rotacional no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Isso é parecido com como o gradiente aponta na "direção maior subida". O rotacional aponta na "direção de maior rotação".

Notação e fórmula para o rotacional

Vamos escrever start bold text, v, end bold text, with, vector, on top como uma função vetorial genérica, com três variáveis de entrada left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis e uma saída com três coordenadas. Vamos escrever essa saída com três coordenadas em termos de três funções escalares: start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #bc2612, e start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f.
v⃗(x,y,z)=[v1(x,y,z)v2(x,y,z)v3(x,y,z)]=v1(x,y,z)i^+v2(x,y,z)j^+v3(x,y,z)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y, z) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\\\&= \blueE{v_1(x, y, z)}\hat{\textbf{i}} + \redE{v_2(x, y, z)}\hat{\textbf{j}} + \greenE{v_3(x, y, z)}\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
A notação do rotacional usa o mesmo símbolo "del" usado nas expressões para o gradiente e o divergente, e mais uma vez pensamos nele como a representação de um vetor de operadores derivada parcial:
∇=[∂∂x∂∂y∂∂z]\begin{aligned} \quad \nabla = \left[ \begin{array}{c} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \\ \end{array} \right] \end{aligned}
O rotacional é considerado o produto vetorial entre esse "vetor" e a função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, e é calculado usando o determinante, como de costume:
rot v⃗=∇×v⃗=[∂∂x∂∂y∂∂z]×[v1(x,y,z)v2(x,y,z)v3(x,y,z)]=det([i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zv1v2v3])=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \text{rot}\,\vec{\textbf{v}} &= \nabla \times \vec{\textbf{v}} \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\ \\ &= \text{det}\left(\left[ \begin{array}{ccc} \hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \blueE{v_1} & \redE{v_2} & \greenE{v_3} \end{array} \right]\right) \\ \\ &= \boxed{ \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} } \end{aligned}
Eu sei o que você está pensando: "Esse é o determinante mais esquisito que eu já vi na vida. Os elementos nem são números! Uma linha tem vetores, outra tem operadores e a última tem funções. Dá mesmo pra fazer isso?" É um pouco estranho, com certeza, mas funciona, no mínimo, como um truque notacional.

Intuição para a fórmula

Vamos dar uma olhada de perto nesse resultado final:
Rot v⃗=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \text{Rot}\,\vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Note que cada componente é como sua própria versão do operador start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, b, i, d, i, m, e, n, s, i, o, n, a, l, end text que encontramos no artigo introdução ao rotacional. De fato, o componente start bold text, k, end bold text, with, vector, on top tem exatamente a mesma fórmula que o start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, b, i, d, i, m, e, n, s, i, o, n, a, l, end text. Isso deve fazer sentido, pois o componente start bold text, k, end bold text, with, vector, on top do rotacional deve medir o componente de rotação do fluido paralelo ao plano x, y.
Da mesma forma, os componentes start bold text, i, end bold text, with, hat, on top e start bold text, j, end bold text, with, hat, on top medem os componentes da rotação do fluido paralelos aos planos y, z e x, z, respectivamente.
(∂v3∂y−∂v2∂z)i^← Componente do rotacional paralelo ao plano yz (∂v1∂z−∂v3∂x)j^← Componente do rotacional paralelo ao plano xz (∂v2∂x−∂v1∂y)k^← Componente do rotacional paralelo ao plano xy \begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Componente do rotacional paralelo ao plano $\redE{y}\greenE{z}$ }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Componente do rotacional paralelo ao plano $\blueE{x}\greenE{z}$ }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Componente do rotacional paralelo ao plano $\blueE{x}\redE{y}$ }}} \\ \\ \end{aligned}
Um pequeno detalhe que devo mencionar é que quando você calcula o rotacional em um ponto para obter um vetor (considerado um vetor de rotação), a magnitude desse vetor não é igual à velocidade angular do fluido imaginado próximo a esse ponto. Em vez disso, a magnitude é igual a duas vezes a velocidade angular do fluido.

Exemplo: encontrar a rotação em um campo vetorial tridimensional usando o rotacional

Problema: suponha que um determinado fluido escoe em três dimensões de acordo com o campo vetorial a seguir
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, x, cubed, plus, y, squared, plus, z, end color #0c7f99, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #bc2612, z, e, start superscript, x, end superscript, end color #bc2612, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #0d923f, x, y, z, minus, 9, x, z, end color #0d923f, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
Descreva a rotação do fluido próximo do ponto left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis
Etapa 1: calcule o rotacional (você talvez precise de papel para isso)
del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Etapa 2: substitua left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis na expressão encontrada.
del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

Etapa 3: interprete
Próximo ao ponto left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, a rotação do fluido é cerca de
radianos por segundo, com rotação aproximadamente paralela ao

Resumo

  • O rotacional é um operador que, a partir de uma função que representa um campo vetorial tridimensional, gera uma nova função que representa um campo vetorial tridimensional diferente.
  • Se um fluido escoa pelo espaço tridimensional ao longo de um campo vetorial, a rotação do fluido em cada ponto, representada por um vetor, é dada pelo rotacional do campo vetorial original calculado naquele ponto. O campo vetorial rotacional deve ter sua magnitude reduzida à metade se quisermos que as magnitudes dos vetores do rotacional sejam iguais à velocidade de rotação do fluido.
  • Se uma função vetorial tridimensional start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis tem como funções componentes start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis e start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, o rotacional é calculado da seguinte forma:
    ∇×v⃗=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \nabla \times \vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}

Só por diversão

Aqui está uma animação do escoamento de fluido que mostrei bem no começo do artigo, mas agora cada ponto é tratado de forma mais precisa como uma gota d'água, flexionando e torcendo com base em quanto o campo vetorial puxa cada partícula individual da gota. Também foram removidos os vetores do campo vetorial para que seja mais fácil ver como o fluido se move. Espero que isso dê uma ideia do quão complexa e também bela pode ser a concepção de campos vetoriais usando escoamentos de fluidos.
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