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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 11: Divergência e rotacional (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Derivadas de funções multivariáveis
Divergência e rotacional (artigos)
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Aquecimento em rotacional, rotação do fluido em duas dimensões

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O rotacional mede a rotação em um fluido escoando ao longo de um campo vetorial. Formalmente, o rotacional se aplica apenas a três dimensões, mas aqui nós cobrimos o conceito em duas dimensões para aquecer.

Conhecimentos prévios

Observação: em todo esse artigo usaremos a seguinte convenção:
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top representa o vetor unitário na direção x.
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top representa o vetor unitário na direção y.

O que estamos construindo

  • O rotacional mede a "rotação" em um campo vetorial.
  • Em duas dimensões, se um campo vetorial é dado por uma função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, essa rotação é dada pela fórmula
    start text, R, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Rotação no fluxo do fluido

Aqui está um belo campo vetorial com um redemoinho:
Esse campo vetorial em particular é definido pela seguinte função:
v⃗(x,y)=[y3−9yx3−9x]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} y^3 - 9y \\ x^3 - 9x \end{array} \right] \\\\ &= (y^3 - 9y) \hat{\textbf{i}} + (x^3 - 9x)\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
Agora, eu gostaria que você imaginasse que esse campo vetorial descreve um fluxo de fluido, talvez em uma parte caótica de um rio. O vídeo a seguir mostra uma simulação de como isso pode parecer. Uma amostra de partículas de fluido, mostrada como pontos azuis, irá fluir ao longo do campo vetorial. Isso significa que, em um dado momento, cada ponto se move ao longo da seta que estiver mais próxima. Concentre-se em particular sobre o que acontece nas quatro regiões que formam círculos.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo
Em meio a todo o caos, você pode notar que o fluido está rodando nas regiões que formam círculos. Nos círculos à esquerda e à direita, a rotação é no sentido anti-horário, e nos círculos superior e inferior, a rotação é no sentido horário.
  • Pergunta-chave: se temos uma função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que define o campo vetorial, juntamente com um ponto específico no espaço, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, quanto um fluido que flui ao longo do campo vetorial gira no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
A operação de cálculo vetorial rotacional responde a essa pergunta, transformando essa ideia de rotação do fluido em uma fórmula. Ela é um operador que pega uma função que define um campo vetorial e gera uma função que descreve a rotação do fluido dada por esse campo vetorial em cada ponto.
Tecnicamente, a operação rotacional só se aplica a três dimensões. Você pode ver o que isso significa e como ela é calculada no próximo artigo, mas neste artigo, vamos começar descrevendo a rotação do fluido em duas dimensões com uma fórmula.

Captura de uma rotação bidimensional com uma fórmula

Um dos exemplos mais simples de um campo vetorial que descreve um fluido em rotação é
v⃗(x,y)=[−yx]=−yi^+xj^.\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] = -y \hat{\textbf{i}} + x\hat{\textbf{j}}. \end{aligned}
Veja abaixo como ele se parece.
Campo vetorial rotacional
Na animação, todas as partículas de fluido simplesmente giram em círculos.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo
De certa forma, esse é o mais perfeito exemplo de rotação no sentido anti-horário, e você pode entender a fórmula geral da rotação em um campo vetorial bidimensional simplesmente entendendo por que a função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, x, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top gira no sentido anti-horário.

O componente start bold text, i, end bold text, with, hat, on top

Primeiro, vamos entender o por quê do componente minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top indicar a rotação no sentido anti-horário. Imagine um pequeno galho apoiado em nosso fluido, com orientação paralela ao eixo y. Mais especificamente, digamos que uma extremidade está na origem left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, e a outra está no ponto left parenthesis, 0, comma, 2, right parenthesis. O que o componente minus, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top do campo vetorial implica para a velocidade do fluido em pontos sobre esse galho?
Isso significa que a velocidade na parte superior do galho é minus, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, um vetor apontando para a esquerda, enquanto a velocidade na parte inferior do galho é 0.
Para o galho, isso significa que o fator importante para a rotação no sentido anti-horário é que vetores apontam mais para a esquerda conforme nos movemos para cima no campo vetorial. Dito com mais alguns símbolos, o ponto importante aqui é que o componente start bold text, i, end bold text, with, hat, on top de um vetor ligado a um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis diminui à medida que y, start subscript, 0, end subscript aumenta.
Com ainda mais os símbolos temos,
start fraction, \partial, divided by, \partial, y, end fraction, left parenthesis, minus, y, right parenthesis, equals, minus, 1, is less than, 0
Vamos generalizar um pouco essa ideia.
  • Questão: considere um campo vetorial mais geral.
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
Os componentes start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 e start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 são quaisquer funções de valor escalar. Se você colocar um galho pequeno em um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis qualquer, orientado de forma paralela ao eixo y, como você pode dizer se o galho irá girar só de olhar para start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 e left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
  • Resposta: examine a taxa de variação de start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 quando start color #bc2612, y, end color #bc2612 varia perto do ponto de interesse, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left arrow, start color gray, start text, space, S, u, g, e, r, e, space, r, o, t, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, o, space, s, e, n, t, i, d, o, space, a, n, t, i, negative, h, o, r, a, with, \', on top, r, i, o, space, s, e, space, n, e, g, a, t, i, v, o, space, end text, end color gray
Se ela for negativa, isso indica que os vetores apontam mais para a esquerda conforme y, start subscript, 0, end subscript aumenta, então a rotação é no sentido anti-horário. Se for positiva, os vetores apontam mais para a direita conforme y, start subscript, 0, end subscript aumenta, indicando uma rotação no sentido horário.

O componente start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Em seguida, veremos o por quê do componente x, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top do campo vetorial original também sugerir uma rotação no sentido anti-horário. Dessa vez, imagine um galho paralelo ao eixo x. Especificamente, coloque uma extremidade do galho na origem left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, e a outra no ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis.
O vetor ligado à origem é 0, mas o vetor ligado à outra extremidade, no ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis, é 2, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, um vetor apontando para cima. Portanto, o fluido empurra a extremidade direita da alavanca para cima, e como a extremidade esquerda não enfrenta nenhuma força, terá uma rotação no sentido anti-horário.
Para esse segundo galho, o componente vertical dos vetores aumenta à medida que nos movemos para a direita, sugerindo rotação no sentido anti-horário. Ou seja, o componente y de um vetor ligado a um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis aumenta à medida que x, start subscript, 0, end subscript aumenta.
No caso de uma função de campo vetorial mais geral,
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
nós podemos medir esse efeito perto de um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis examinando a mudança em start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 quando start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 muda.
start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left arrow, start color gray, start text, space, S, u, g, e, r, e, space, r, o, t, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, o, space, s, e, n, t, i, d, o, space, a, n, t, i, negative, h, o, r, a, with, \', on top, r, i, o, space, s, e, space, p, o, s, i, t, i, v, o, space, end text, end color gray

Combinação dos dois componentes

Juntando esses dois componentes, a rotação de um fluido que flui ao longo de um campo vetorial start bold text, v, end bold text, with, vector, on top perto de um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis pode ser medida usando a seguinte grandeza:
start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Quando você resolver isso, um número positivo indicará uma tendência geral para girar no sentido anti-horário em torno de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, e uma grandeza negativa indica o contrário, uma rotação no sentido horário. Se ela for igual a 0, não há nenhuma rotação no fluido em torno de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Se você estiver curioso sobre os detalhes, essa fórmula dá precisamente duas vezes a velocidade angular do fluido perto de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Alguns autores chamam isso de "rotacional bidimensional" de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Isso não é padrão, mas vamos escrever essa fórmula como se "rotacional 2d" fosse um operador.
start text, R, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

Exemplo: análise da rotação em um campo vetorial bidirecional usando o rotacional

Problema: considere o campo vetorial definido pela função
v⃗(x,y)=[cos⁡(x+y)sen⁡(xy)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \cos(x+y) \\ \operatorname{sen}(xy) \end{array} \right] \end{aligned}
Determine se um fluido que flui de acordo com esse campo vetorial tem rotação no sentido horário ou anti-horário no ponto
p=(0,π2)\begin{aligned} \quad p &= \left(0, \dfrac{\pi}{2} \right) \\ \end{aligned}
Etapa 1: calcule o start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text dessa função.
start text, R, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals

Etapa 2: conecte o ponto left parenthesis, 0, comma, pi, slash, 2, right parenthesis.
start text, R, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, pi, slash, 2, right parenthesis, equals

Etapa 3: interprete. Como o fluido tende a girar próximo a esse ponto?
Escolha 1 resposta:

Vamos observar uma amostra de partículas nesse fluxo de fluido:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Ver transcrição do vídeo
O ponto perto do topo, onde todas as partículas se reúnem, corresponde a p, equals, left parenthesis, 0, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. As partículas giram no sentido anti-horário nessa região, o que deve ser coerente com seus cálculos de start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text.

Resumo

  • O rotacional mede a "rotação" em um campo vetorial.
  • Em duas dimensões, se um campo vetorial é dado por uma função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, essa rotação é dada pela fórmula
    start text, R, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction

A terceira dimensão!

A operação rotacional verdadeira, tratada no próximo artigo, estende essa ideia e essa fórmula para três dimensões.

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