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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 11: Divergência e rotacional (artigos)

Aquecimento em rotacional, rotação do fluido em duas dimensões

O rotacional mede a rotação em um fluido escoando ao longo de um campo vetorial. Formalmente, o rotacional se aplica apenas a três dimensões, mas aqui nós cobrimos o conceito em duas dimensões para aquecer.

Conhecimentos prévios

Observação: em todo esse artigo usaremos a seguinte convenção:

$\hat{i}$ ‍ representa o vetor unitário na direção $x$ ‍.
$\hat{j}$ ‍ representa o vetor unitário na direção $y$ ‍.

O que estamos construindo

O rotacional mede a "rotação" em um campo vetorial.
Em duas dimensões, se um campo vetorial é dado por uma função $\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍, essa rotação é dada pela fórmula
$Rotacional 2d \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Rotação no fluxo do fluido

Aqui está um belo campo vetorial com um redemoinho:

Esse campo vetorial em particular é definido pela seguinte função:

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

Agora, eu gostaria que você imaginasse que esse campo vetorial descreve um fluxo de fluido, talvez em uma parte caótica de um rio. O vídeo a seguir mostra uma simulação de como isso pode parecer. Uma amostra de partículas de fluido, mostrada como pontos azuis, irá fluir ao longo do campo vetorial. Isso significa que, em um dado momento, cada ponto se move ao longo da seta que estiver mais próxima. Concentre-se em particular sobre o que acontece nas quatro regiões que formam círculos.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Em meio a todo o caos, você pode notar que o fluido está rodando nas regiões que formam círculos. Nos círculos à esquerda e à direita, a rotação é no sentido anti-horário, e nos círculos superior e inferior, a rotação é no sentido horário.

Pergunta-chave: se temos uma função $\vec{v} (x, y)$ ‍ que define o campo vetorial, juntamente com um ponto específico no espaço, $(x_{0}, y_{0})$ ‍, quanto um fluido que flui ao longo do campo vetorial gira no ponto $(x_{0}, y_{0})$ ‍?

A operação de cálculo vetorial rotacional responde a essa pergunta, transformando essa ideia de rotação do fluido em uma fórmula. Ela é um operador que pega uma função que define um campo vetorial e gera uma função que descreve a rotação do fluido dada por esse campo vetorial em cada ponto.

Tecnicamente, a operação rotacional só se aplica a três dimensões. Você pode ver o que isso significa e como ela é calculada no próximo artigo, mas neste artigo, vamos começar descrevendo a rotação do fluido em duas dimensões com uma fórmula.

Captura de uma rotação bidimensional com uma fórmula

Um dos exemplos mais simples de um campo vetorial que descreve um fluido em rotação é

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] = - y \hat{i} + x \hat{j} . \end{array}

Veja abaixo como ele se parece.

Na animação, todas as partículas de fluido simplesmente giram em círculos.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

De certa forma, esse é o mais perfeito exemplo de rotação no sentido anti-horário, e você pode entender a fórmula geral da rotação em um campo vetorial bidimensional simplesmente entendendo por que a função

\vec{v} (x, y) = - y \hat{i} + x \hat{j}

gira no sentido anti-horário.

O componente $\hat{i}$ ‍

Primeiro, vamos entender o por quê do componente

- y \hat{i}

indicar a rotação no sentido anti-horário. Imagine um pequeno galho apoiado em nosso fluido, com orientação paralela ao eixo

y

. Mais especificamente, digamos que uma extremidade está na origem

(0, 0)

, e a outra está no ponto

(0, 2)

. O que o componente

- y \hat{i}

do campo vetorial implica para a velocidade do fluido em pontos sobre esse galho?

Isso significa que a velocidade na parte superior do galho é

- 2 \hat{i}

, um vetor apontando para a esquerda, enquanto a velocidade na parte inferior do galho é

0

Para o galho, isso significa que o fator importante para a rotação no sentido anti-horário é que vetores apontam mais para a esquerda conforme nos movemos para cima no campo vetorial. Dito com mais alguns símbolos, o ponto importante aqui é que o componente

\hat{i}

de um vetor ligado a um ponto

(x_{0}, y_{0})

diminui à medida que

y_{0}

aumenta.

Com ainda mais os símbolos temos,

$\frac{\partial}{\partial y} (- y) = - 1 < 0$ ‍

Vamos generalizar um pouco essa ideia.

Questão: considere um campo vetorial mais geral.

$\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍

Os componentes

v_{1}

v_{2}

são quaisquer funções de valor escalar. Se você colocar um galho pequeno em um ponto

(x_{0}, y_{0})

qualquer, orientado de forma paralela ao eixo

y

, como você pode dizer se o galho irá girar só de olhar para

v_{1}, v_{2}

(x_{0}, y_{0})

Resposta: examine a taxa de variação de $v_{1}$ ‍ quando $y$ ‍ varia perto do ponto de interesse, $(x_{0}, y_{0})$ ‍:

$\frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \leftarrow Sugere rotação no sentido anti-horário se negativo$ ‍

Se ela for negativa, isso indica que os vetores apontam mais para a esquerda conforme

y_{0}

aumenta, então a rotação é no sentido anti-horário. Se for positiva, os vetores apontam mais para a direita conforme

y_{0}

aumenta, indicando uma rotação no sentido horário.

O componente $\hat{j}$ ‍

Em seguida, veremos o por quê do componente

x \hat{j}

do campo vetorial original também sugerir uma rotação no sentido anti-horário. Dessa vez, imagine um galho paralelo ao eixo

x

. Especificamente, coloque uma extremidade do galho na origem

(0, 0)

, e a outra no ponto

(2, 0)

O vetor ligado à origem é

0

, mas o vetor ligado à outra extremidade, no ponto

(2, 0)

, é

2 \hat{j}

, um vetor apontando para cima. Portanto, o fluido empurra a extremidade direita da alavanca para cima, e como a extremidade esquerda não enfrenta nenhuma força, terá uma rotação no sentido anti-horário.

Para esse segundo galho, o componente vertical dos vetores aumenta à medida que nos movemos para a direita, sugerindo rotação no sentido anti-horário. Ou seja, o componente

y

de um vetor ligado a um ponto

(x_{0}, y_{0})

aumenta à medida que

x_{0}

aumenta.

No caso de uma função de campo vetorial mais geral,

$\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍

nós podemos medir esse efeito perto de um ponto

(x_{0}, y_{0})

examinando a mudança em

v_{2}

quando

x

muda.

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} \leftarrow Sugere rotação no sentido anti-horário se positivo$ ‍

Combinação dos dois componentes

Juntando esses dois componentes, a rotação de um fluido que flui ao longo de um campo vetorial

\vec{v}

perto de um ponto

(x_{0}, y_{0})

pode ser medida usando a seguinte grandeza:

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$ ‍

Quando você resolver isso, um número positivo indicará uma tendência geral para girar no sentido anti-horário em torno de

(x_{0}, y_{0})

, e uma grandeza negativa indica o contrário, uma rotação no sentido horário. Se ela for igual a

0

, não há nenhuma rotação no fluido em torno de

(x_{0}, y_{0})

. Se você estiver curioso sobre os detalhes, essa fórmula dá precisamente duas vezes a velocidade angular do fluido perto de

(x_{0}, y_{0})

Alguns autores chamam isso de "rotacional bidimensional" de

\vec{v}

. Isso não é padrão, mas vamos escrever essa fórmula como se "rotacional 2d" fosse um operador.

$Rotacional 2d \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

Exemplo: análise da rotação em um campo vetorial bidirecional usando o rotacional

Problema: considere o campo vetorial definido pela função

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = [\begin{array}{c} \cos (x + y) \\ sen (x y) \end{array}] \end{array}

Determine se um fluido que flui de acordo com esse campo vetorial tem rotação no sentido horário ou anti-horário no ponto

\begin{aligned} p & = (0, \frac{π}{2}) \end{aligned}

Etapa 1: calcule o

rotacional 2d

dessa função.

$Rotacional 2d \vec{v} =$ ‍

[Resposta]

Etapa 2: conecte o ponto

(0, π / 2)

$Rotacional 2d \vec{v} (0, π / 2) =$ ‍

[Resposta]

Etapa 3: interprete. Como o fluido tende a girar próximo a esse ponto?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Sentido horário
(Escolha B)
Sentido anti-horário
(Escolha C)
Sem rotação

[Resposta]

Vamos observar uma amostra de partículas nesse fluxo de fluido:

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

O ponto perto do topo, onde todas as partículas se reúnem, corresponde a

p = (0, \frac{π}{2})

. As partículas giram no sentido anti-horário nessa região, o que deve ser coerente com seus cálculos de

rotacional 2d

Resumo

O rotacional mede a "rotação" em um campo vetorial.
Em duas dimensões, se um campo vetorial é dado por uma função $\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍, essa rotação é dada pela fórmula
$Rotacional 2d \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

A terceira dimensão!

A operação rotacional verdadeira, tratada no próximo artigo, estende essa ideia e essa fórmula para três dimensões.

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O que estamos construindo

Rotação no fluxo do fluido

Captura de uma rotação bidimensional com uma fórmula

O componente i^‍

O componente j^‍

Combinação dos dois componentes

Exemplo: análise da rotação em um campo vetorial bidirecional usando o rotacional

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