Intuição para a fórmula da divergência (artigo)

A intuição por trás da fórmula da divergência

Vamos limitar nossa visão a um campo vetorial bidimensional,

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} v_{1} (x, y) \\ v_{2} (x, y) \end{matrix}]$ ‍

Lembre-se, a fórmula para divergência é assim:

$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y}$ ‍

Por que isso tem alguma coisa a ver com mudanças na densidade do fluxo de um fluido de acordo com

\vec{v} (x, y)

Vamos olhar para cada componente separadamente.

Por exemplo, suponha que

v_{1} (x_{0}, y_{0}) = 0

, o que significa que o vetor anexado a

(x_{0}, y_{0})

não tem componente horizontal. E digamos que

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

seja positiva. Isso significa que perto do ponto

(x_{0}, y_{0})

, o campo vetorial pode ficar assim.

O valor de $v_{1} (x, y_{0})$ ‍ aumenta à medida que $x$ ‍ aumenta.
O valor de $v_{1} (x, y_{0})$ ‍ diminui à medida que $x$ ‍ diminui.

Portanto, vetores à esquerda de

(x_{0}, y_{0})

vão apontar para a esquerda, e vetores à direita de

(x_{0}, y_{0})

vão apontar para a direita (veja o diagrama acima). Isso sugere um fluxo de fluido para fora, pelo menos no que diz respeito à componente

x

Em contrapartida, é assim que ele fica se

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

for negativa:

Os vetores à esquerda de $(x_{0}, y_{0})$ ‍ vão apontar para a direita.
Os vetores à direita de $(x_{0}, y_{0})$ ‍ vão apontar para a esquerda.

Isso indica um fluxo de fluido para dentro, de acordo com o componente

x

A mesma intuição se aplica se

v_{1} (x_{0}, y_{0})

for diferente de zero. Por exemplo, se

v_{1} (x_{0}, y_{0})

for positivo e

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

também for positiva, isso significa que todos os vetores em torno de

(x_{0}, y_{0})

apontam para a direita, mas eles aumentam conforme olhamos da esquerda para a direita. Você pode imaginar o fluido fluindo lentamente em direção a

(x_{0}, y_{0})

a partir da esquerda, mas fluindo rapidamente do ponto para a direita. Como a quantidade que está saindo é maior que a que está entrando, a densidade diminui nesse ponto.

Analisando o valor

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

, este é similar. Ele indica a variação na componente vertical dos vetores

v_{2}

, conforme se move para cima e para baixo no campo vetorial, alterando

y

Por exemplo, suponha que

v_{2} (x_{0}, y_{0}) = 0

, significando que o vetor anexado a

(x_{0}, y_{0})

não tem componente vertical. Suponha também que

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

seja positiva, significando que a componente vertical dos vetores aumenta conforme nos movemos para cima.

Ele ficaria assim:

Vetores abaixo de $(x_{0}, y_{0})$ ‍ vão apontar ligeiramente para baixo.
Vetores acima de $(x_{0}, y_{0})$ ‍ vão apontar ligeiramente para cima

Isso indica um fluxo de fluido para fora, no que diz respeito à direção de

y

Da mesma forma, se

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

for negativa, isso indica um fluxo de fluido para dentro próximo a

(x_{0}, y_{0})

no que diz respeito à direção de

y

Divergência soma estas duas influências

Somar as duas componentes

\frac{\partial v_{1}}{\partial x}

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

reúne as influências distintas das direções de

x

y

para determinar se a densidade de um fluido próximo de um ponto aumenta ou diminui.

\nabla \cdot \vec{v} = \overset{\begin{matrix} Variação na densidade \\ na direção de x \end{matrix}}{\overset{⏞}{\frac{\partial v_{1}}{\partial x}}} + \underset{\begin{matrix} Variação na densidade \\ na direção de y \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{\partial v_{2}}{\partial y}}}

Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Intuição para a fórmula da divergência

Conhecimentos prévios

Aquecimento para a intuição

A intuição por trás da fórmula da divergência

Divergência soma estas duas influências

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