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Conteúdo principal

Intuição para a fórmula da divergência

Por que a soma de determinadas derivadas parciais tem relação com o fluxo do fluido para fora?

Conhecimentos prévios

Aquecimento para a intuição

No último artigo, eu mostrei a fórmula para a divergência, bem como o conceito físico que ela representa. Entretanto, você pode ainda estar se perguntando como esses dois estão ligados. Antes de mergulharmos na intuição, as questões a seguir devem servir de aquecimento, pensando em derivadas parciais no contexto de um campo vetorial.
Pergunta para reflexão: Um campo vetorial bidimensional é dado por uma função v definida por dois componentes, v1 e v2,
v(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]
Alguns vetores perto de um ponto (x0,y0) estão representados abaixo:
Diagrama de perguntas
  • Qual das seguintes alternativas descreve v1(x0,y0)?
    Escolha 1 resposta:

  • Qual das seguintes alternativas descreve v2(x0,y0)?
    Escolha 1 resposta:

  • Qual das seguintes alternativas descreve v1x(x0,y0)?
    Escolha 1 resposta:

  • Qual das seguintes alternativas descreve v2y(x0,y0)?
    Escolha 1 resposta:

A intuição por trás da fórmula da divergência

Vamos limitar nossa visão a um campo vetorial bidimensional,
v(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]
Lembre-se, a fórmula para divergência é assim:
v=v1x+v2y
Por que isso tem alguma coisa a ver com mudanças na densidade do fluxo de um fluido de acordo com v(x,y)?
Vamos olhar para cada componente separadamente.
Por exemplo, suponha que v1(x0,y0)=0, o que significa que o vetor anexado a (x0,y0) não tem componente horizontal. E digamos que v1x(x0,y0) seja positiva. Isso significa que perto do ponto (x0,y0), o campo vetorial pode ficar assim.
(Parcial para x) > 0
  • O valor de v1(x,y0) aumenta à medida que x aumenta.
  • O valor de v1(x,y0) diminui à medida que x diminui.
Portanto, vetores à esquerda de (x0,y0) vão apontar para a esquerda, e vetores à direita de (x0,y0) vão apontar para a direita (veja o diagrama acima). Isso sugere um fluxo de fluido para fora, pelo menos no que diz respeito à componente x.
Em contrapartida, é assim que ele fica se v1x(x0,y0) for negativa:
(Parcial para x) < 0
  • Os vetores à esquerda de (x0,y0) vão apontar para a direita.
  • Os vetores à direita de (x0,y0) vão apontar para a esquerda.
Isso indica um fluxo de fluido para dentro, de acordo com o componente x.
A mesma intuição se aplica se v1(x0,y0) for diferente de zero. Por exemplo, se v1(x0,y0) for positivo e v1x(x0,y0) também for positiva, isso significa que todos os vetores em torno de (x0,y0) apontam para a direita, mas eles aumentam conforme olhamos da esquerda para a direita. Você pode imaginar o fluido fluindo lentamente em direção a (x0,y0) a partir da esquerda, mas fluindo rapidamente do ponto para a direita. Como a quantidade que está saindo é maior que a que está entrando, a densidade diminui nesse ponto.
Analisando o valor v2y, este é similar. Ele indica a variação na componente vertical dos vetores v2, conforme se move para cima e para baixo no campo vetorial, alterando y.
Por exemplo, suponha que v2(x0,y0)=0, significando que o vetor anexado a (x0,y0) não tem componente vertical. Suponha também que v2y(x0,y0) seja positiva, significando que a componente vertical dos vetores aumenta conforme nos movemos para cima.
Ele ficaria assim:
(Parcial para y) > 0
  • Vetores abaixo de (x0,y0) vão apontar ligeiramente para baixo.
  • Vetores acima de (x0,y0) vão apontar ligeiramente para cima
Isso indica um fluxo de fluido para fora, no que diz respeito à direção de y.
Da mesma forma, se v2y(x0,y0) for negativa, isso indica um fluxo de fluido para dentro próximo a (x0,y0) no que diz respeito à direção de y.
(Parcial para y) < 0

Divergência soma estas duas influências

Somar as duas componentes v1x e v2y reúne as influências distintas das direções de x e y para determinar se a densidade de um fluido próximo de um ponto aumenta ou diminui.
v=v1xVariação na densidadena direção de x+v2yVariação na densidadena direção de y

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