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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 11: Divergência e rotacional (artigos)Intuição para a fórmula da divergência
Por que a soma de determinadas derivadas parciais tem relação com o fluxo do fluido para fora?
Conhecimentos prévios
Aquecimento para a intuição
No último artigo, eu mostrei a fórmula para a divergência, bem como o conceito físico que ela representa. Entretanto, você pode ainda estar se perguntando como esses dois estão ligados. Antes de mergulharmos na intuição, as questões a seguir devem servir de aquecimento, pensando em derivadas parciais no contexto de um campo vetorial.
Pergunta para reflexão: Um campo vetorial bidimensional é dado por uma função definida por dois componentes, e ,
Alguns vetores perto de um ponto estão representados abaixo:
- Qual das seguintes alternativas descreve
? - Qual das seguintes alternativas descreve
? - Qual das seguintes alternativas descreve
? - Qual das seguintes alternativas descreve
?
A intuição por trás da fórmula da divergência
Vamos limitar nossa visão a um campo vetorial bidimensional,
Lembre-se, a fórmula para divergência é assim:
Por que isso tem alguma coisa a ver com mudanças na densidade do fluxo de um fluido de acordo com ?
Vamos olhar para cada componente separadamente.
Por exemplo, suponha que , o que significa que o vetor anexado a não tem componente horizontal. E digamos que seja positiva. Isso significa que perto do ponto , o campo vetorial pode ficar assim.
- O valor de
aumenta à medida que aumenta. - O valor de
diminui à medida que diminui.
Portanto, vetores à esquerda de vão apontar para a esquerda, e vetores à direita de vão apontar para a direita (veja o diagrama acima). Isso sugere um fluxo de fluido para fora, pelo menos no que diz respeito à componente .
Em contrapartida, é assim que ele fica se for negativa:
- Os vetores à esquerda de
vão apontar para a direita. - Os vetores à direita de
vão apontar para a esquerda.
Isso indica um fluxo de fluido para dentro, de acordo com o componente .
A mesma intuição se aplica se for diferente de zero. Por exemplo, se for positivo e também for positiva, isso significa que todos os vetores em torno de apontam para a direita, mas eles aumentam conforme olhamos da esquerda para a direita. Você pode imaginar o fluido fluindo lentamente em direção a a partir da esquerda, mas fluindo rapidamente do ponto para a direita. Como a quantidade que está saindo é maior que a que está entrando, a densidade diminui nesse ponto.
Analisando o valor , este é similar. Ele indica a variação na componente vertical dos vetores , conforme se move para cima e para baixo no campo vetorial, alterando .
Por exemplo, suponha que , significando que o vetor anexado a não tem componente vertical. Suponha também que seja positiva, significando que a componente vertical dos vetores aumenta conforme nos movemos para cima.
Ele ficaria assim:
- Vetores abaixo de
vão apontar ligeiramente para baixo. - Vetores acima de
vão apontar ligeiramente para cima
Isso indica um fluxo de fluido para fora, no que diz respeito à direção de .
Da mesma forma, se for negativa, isso indica um fluxo de fluido para dentro próximo a no que diz respeito à direção de .
Divergência soma estas duas influências
Somar as duas componentes e reúne as influências distintas das direções de e para determinar se a densidade de um fluido próximo de um ponto aumenta ou diminui.
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