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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 11: Divergência e rotacional (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Derivadas de funções multivariáveis
Divergência e rotacional (artigos)
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Intuição para a fórmula da divergência

Google Sala de Aula
Por que a soma de determinadas derivadas parciais tem relação com o fluxo do fluido para fora?

Conhecimentos prévios

Aquecimento para a intuição

No último artigo, eu mostrei a fórmula para a divergência, bem como o conceito físico que ela representa. Entretanto, você pode ainda estar se perguntando como esses dois estão ligados. Antes de mergulharmos na intuição, as questões a seguir devem servir de aquecimento, pensando em derivadas parciais no contexto de um campo vetorial.
Pergunta para reflexão: Um campo vetorial bidimensional é dado por uma função start bold text, v, end bold text, with, vector, on top definida por dois componentes, v, start subscript, 1, end subscript e v, start subscript, 2, end subscript,
v⃗(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} v_1(x, y) \\ v_2(x, y) \end{array} \right] \end{aligned}
Alguns vetores perto de um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis estão representados abaixo:
Diagrama de perguntas
  • Qual das seguintes alternativas descreve v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escolha 1 resposta:

  • Qual das seguintes alternativas descreve v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escolha 1 resposta:

  • Qual das seguintes alternativas descreve start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escolha 1 resposta:

  • Qual das seguintes alternativas descreve start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, y, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis?
    Escolha 1 resposta:

A intuição por trás da fórmula da divergência

Vamos limitar nossa visão a um campo vetorial bidimensional,
v⃗(x,y)=[v1(x,y)v2(x,y)] \vec{\textbf{v}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1}(x, y) \\ \redE{v_2}(x, y) \end{array} \right]
Lembre-se, a fórmula para divergência é assim:
del, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction
Por que isso tem alguma coisa a ver com mudanças na densidade do fluxo de um fluido de acordo com start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?
Vamos olhar para cada componente separadamente.
Por exemplo, suponha que v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0, o que significa que o vetor anexado a left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis não tem componente horizontal. E digamos que start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis seja positiva. Isso significa que perto do ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, o campo vetorial pode ficar assim.
(Parcial para x) > 0
  • O valor de v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis aumenta à medida que start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 aumenta.
  • O valor de v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis diminui à medida que start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 diminui.
Portanto, vetores à esquerda de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vão apontar para a esquerda, e vetores à direita de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vão apontar para a direita (veja o diagrama acima). Isso sugere um fluxo de fluido para fora, pelo menos no que diz respeito à componente x.
Em contrapartida, é assim que ele fica se start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis for negativa:
(Parcial para x) < 0
  • Os vetores à esquerda de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vão apontar para a direita.
  • Os vetores à direita de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vão apontar para a esquerda.
Isso indica um fluxo de fluido para dentro, de acordo com o componente x.
A mesma intuição se aplica se v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis for diferente de zero. Por exemplo, se v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis for positivo e start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, start subscript, 0, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis também for positiva, isso significa que todos os vetores em torno de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis apontam para a direita, mas eles aumentam conforme olhamos da esquerda para a direita. Você pode imaginar o fluido fluindo lentamente em direção a left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis a partir da esquerda, mas fluindo rapidamente do ponto para a direita. Como a quantidade que está saindo é maior que a que está entrando, a densidade diminui nesse ponto.
Analisando o valor start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, este é similar. Ele indica a variação na componente vertical dos vetores v, start subscript, 2, end subscript, conforme se move para cima e para baixo no campo vetorial, alterando y.
Por exemplo, suponha que v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, 0, significando que o vetor anexado a left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis não tem componente vertical. Suponha também que start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, start color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis seja positiva, significando que a componente vertical dos vetores aumenta conforme nos movemos para cima.
Ele ficaria assim:
(Parcial para y) > 0
  • Vetores abaixo de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vão apontar ligeiramente para baixo.
  • Vetores acima de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vão apontar ligeiramente para cima
Isso indica um fluxo de fluido para fora, no que diz respeito à direção de y.
Da mesma forma, se start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, start color #bc2612, y, start subscript, 0, end subscript, end color #bc2612, right parenthesis for negativa, isso indica um fluxo de fluido para dentro próximo a left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no que diz respeito à direção de y.
(Parcial para y) < 0

Divergência soma estas duas influências

Somar as duas componentes start fraction, \partial, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, \partial, x, end fraction e start fraction, \partial, v, start subscript, 2, end subscript, divided by, \partial, y, end fraction reúne as influências distintas das direções de x e y para determinar se a densidade de um fluido próximo de um ponto aumenta ou diminui.
∇⋅v⃗= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂v1∂x⏞Variaça˜o na densidadena direça˜o de x ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣+ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂v2∂y⏟Variaça˜o na densidadena direça˜o de y\Large \nabla \cdot \vec{\textbf{v}} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{\dfrac{\partial v_1}{\partial \blueE{x}}}^{ \substack{ \text{Variação na densidade} \\ \text{na direção de $\blueE{x}$} } } \!\!\!\!\!\!\!\! + \!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\dfrac{\partial v_2}{\partial \redE{y}}}_{ \substack{ \text{Variação na densidade} \\ \text{na direção de $\redE{y}$} } }

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