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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 9: DivergênciaExemplo de divergência
Um exemplo de cálculo e interpretação da divergência de um campo vetorial bidimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui já na reta final da nossa
série de vídeos sobre divergência. E neste penúltimo vídeo da série, nós iremos calcular e interpretar
a divergência de um campo vetorial. O campo que iremos utilizar como exemplo é um campo V(x, y), onde P(x, y) se dá por
"x" vezes "y". E a nossa componente vertical Q(x, y) será y² - x². A representação gráfica deste
campo vetorial está aqui em cima. Agora, vamos aos cálculos
da função divergência. Então, temos aqui que div V(x, y) vai ser igual à derivada parcial
de "P" em relação a "x", mais a derivada parcial de "Q"
em relação a "y". E lembrando que P(x, y) é a nossa componente horizontal
dos vetores do campo. E "Q" é a componente vertical
dos vetores do campo. Então, agora o que nos resta é calcular estas duas
derivadas e somá-las. A derivada de "x" vezes "y"
em relação a "x" será apenas "y". Já que "y" se comporta
como uma constante multiplicando a nossa
variável a ser derivada. E a derivada de y² - x²
em relação a "y", será apenas 2y. Já que x² nesta derivada aqui se comporta como uma
constante também. Então, teremos que
div V(x, y) será y + 2y que resulta em 3y. E aqui, podemos observar que
a divergência deste campo vetorial dependerá apenas da variável "y", já que a única variável que sobrou aqui na nossa função de divergência. Por exemplo, espera-se que em pares ordenados cuja
a variável "y" é zero, a divergência de todos estes pares
ordenados também seja zero. E olhando aqui a nossa
representação gráfica, esta aqui é a reta que
representa pares ordenados onde "y" é igual a zero. E realmente dá para perceber,
por exemplo, neste ponto aqui circulado. Se pensarmos no exemplo do fluido, teríamos a mesma quantidade
de fluído entrando e saindo. Agora, voltando aqui à nossa função, vamos pensar em pontos
cujo parâmetro "y" é positivo. Aqui, vamos escolher y = 3,
por exemplo. Calculando a nossa divergência,
teríamos o resultado 9. Ou seja, uma divergência
também positiva. Voltando aqui ao nosso gráfico
e marcando onde "y = 3", podemos observar mais ou menos
neste ponto aqui, que o tamanho dos vetores que entram
nesta região é bem menor do que o tamanho dos vetores
que saem desta região. Confirmando a nossa interpretação
algébrica lá de baixo. E olhando qualquer ponto
cuja variável "y" é positiva, podemos ver que há divergência. Ou seja, quando o nosso
"y" é positivo, a divergência também é positiva. Agora, vamos tomar
o último exemplo, onde o "y" é negativo. Vamos dizer aqui que y = -4. Calculando nossa divergência,
nós teríamos -12. E olhando o gráfico aqui em cima, podemos ver que realmente
há divergência negativa nestes pontos cujo o "y" é -4. Ou seja, há convergência nestes pontos. Nesta parte inteira aqui
debaixo do gráfico. Por exemplo, nesta região aqui circulada, é notável que o tamanho
dos vetores que entram é bem maior do que os vetores
que saem da região. Confirmando novamente
os cálculos que realizamos a partir da nossa função divergência. Então, eu acredito que nós
já tenhamos conseguido uma ótima ideia de como a divergência
é calculada e interpretada. Então, nós vamos fechar
este vídeo aqui. E no próximo vídeo, nós iremos
dar uma olhada na notação matemática utilizada aqui para a divergência. Então, é isso aí, galera da Khan. Nos vemos no próximo vídeo.