Exemplo de divergência

RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui já na reta final da nossa série de vídeos sobre divergência. E neste penúltimo vídeo da série, nós iremos calcular e interpretar a divergência de um campo vetorial. O campo que iremos utilizar como exemplo é um campo V(x, y), onde P(x, y) se dá por "x" vezes "y". E a nossa componente vertical Q(x, y) será y² - x². A representação gráfica deste campo vetorial está aqui em cima. Agora, vamos aos cálculos da função divergência. Então, temos aqui que div V(x, y) vai ser igual à derivada parcial de "P" em relação a "x", mais a derivada parcial de "Q" em relação a "y". E lembrando que P(x, y) é a nossa componente horizontal dos vetores do campo. E "Q" é a componente vertical dos vetores do campo. Então, agora o que nos resta é calcular estas duas derivadas e somá-las. A derivada de "x" vezes "y" em relação a "x" será apenas "y". Já que "y" se comporta como uma constante multiplicando a nossa variável a ser derivada. E a derivada de y² - x² em relação a "y", será apenas 2y. Já que x² nesta derivada aqui se comporta como uma constante também. Então, teremos que div V(x, y) será y + 2y que resulta em 3y. E aqui, podemos observar que a divergência deste campo vetorial dependerá apenas da variável "y", já que a única variável que sobrou aqui na nossa função de divergência. Por exemplo, espera-se que em pares ordenados cuja a variável "y" é zero, a divergência de todos estes pares ordenados também seja zero. E olhando aqui a nossa representação gráfica, esta aqui é a reta que representa pares ordenados onde "y" é igual a zero. E realmente dá para perceber, por exemplo, neste ponto aqui circulado. Se pensarmos no exemplo do fluido, teríamos a mesma quantidade de fluído entrando e saindo. Agora, voltando aqui à nossa função, vamos pensar em pontos cujo parâmetro "y" é positivo. Aqui, vamos escolher y = 3, por exemplo. Calculando a nossa divergência, teríamos o resultado 9. Ou seja, uma divergência também positiva. Voltando aqui ao nosso gráfico e marcando onde "y = 3", podemos observar mais ou menos neste ponto aqui, que o tamanho dos vetores que entram nesta região é bem menor do que o tamanho dos vetores que saem desta região. Confirmando a nossa interpretação algébrica lá de baixo. E olhando qualquer ponto cuja variável "y" é positiva, podemos ver que há divergência. Ou seja, quando o nosso "y" é positivo, a divergência também é positiva. Agora, vamos tomar o último exemplo, onde o "y" é negativo. Vamos dizer aqui que y = -4. Calculando nossa divergência, nós teríamos -12. E olhando o gráfico aqui em cima, podemos ver que realmente há divergência negativa nestes pontos cujo o "y" é -4. Ou seja, há convergência nestes pontos. Nesta parte inteira aqui debaixo do gráfico. Por exemplo, nesta região aqui circulada, é notável que o tamanho dos vetores que entram é bem maior do que os vetores que saem da região. Confirmando novamente os cálculos que realizamos a partir da nossa função divergência. Então, eu acredito que nós já tenhamos conseguido uma ótima ideia de como a divergência é calculada e interpretada. Então, nós vamos fechar este vídeo aqui. E no próximo vídeo, nós iremos dar uma olhada na notação matemática utilizada aqui para a divergência. Então, é isso aí, galera da Khan. Nos vemos no próximo vídeo.