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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 9: DivergênciaFórmula da divergência- Parte 1
Como o componente X de um campo vetorial se relaciona com a divergência? Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy! Estamos aqui já no terceiro vídeo
da nossa série sobre divergência. E agora que já temos uma intuição sobre o que a divergência
está tentando representar, vamos tentar achar uma fórmula
para esta grandeza. Vamos começar por estudar
um campo vetorial cujos vetores não possuem
componente vertical. Ou seja, a função Q(x, y) é sempre igual a zero. Podemos dizer, então, que todos
os vetores contidos neste campo ou apontarão para a direita
ou apontarão para a esquerda. Não havendo subida ou descida. E, com isso, vamos começar
a imaginar os casos em que teremos divergência
em um determinado ponto (x, y). Temos dois casos onde esta
divergência será positiva. Então, você tem aqui
o seu ponto qualquer. Primeiramente, temos o caso
onde não acontece nada no ponto. Ou seja, não há vetor associado
a este ponto (x, y). Mas à esquerda deste ponto, temos um vetor apontando
para esquerda. Ou seja, sua componente "P"
é menor do que zero. E à direita do ponto,
temos outro vetor. Mas este, por sua vez,
aponta para a direita. Ou seja, "P" é maior do que zero. Temos o primeiro exemplo
onde a divergência é positiva. E o que você pode perceber é que
há uma progressão no valor de "P". Ou seja, ele começa negativo
aqui à esquerda, se torna nulo no nosso ponto (x, y) e depois se torna positivo. Conforme você se move aqui
para o sentido mais "x", o nosso "P" aumenta. Com isso, nos parece que uma
divergência positiva corresponde a uma derivada
parcial da componente "P", em relação a "x"
maior do que zero. E caso, neste momento, você não entenda como estes
dois conceitos estão relacionados, ou não saiba o que
é uma derivada parcial, eu sugiro que você assista
a nossa série de vídeos sobre derivadas parciais de funções
vetoriais e campos vetoriais. Porém, como visto anteriormente, esta não é a única possibilidade
para haver divergência em um ponto. Podemos ter um ponto (x, y), onde há de fato um vetor atrelado. Ou seja, P(x, y) é diferente
de zero neste ponto. E os vetores que apontam
para esta região são menores em quantidade
ou intensidade do que os vetores que
saem desta região. Foi o exemplo que nós vimos
lá no último vídeo. Mas, novamente, vemos aí que o conceito de "P"
estar aumentando de valor conforme nós aumentamos
o valor de "x", permanece, reforçando a nossa observação
de que a divergência em um ponto está diretamente relacionada à derivada parcial do campo
em relação a "x". E o mesmo é válido caso todos
os vetores apontassem para a esquerda. E, sabendo disso,
desta relação, nós sabemos agora também que esta derivada estará envolvida
na nossa fórmula para divergência. Fórmula esta que nós encontraremos,
nós apresentaremos nos próximos vídeos. Então, é isso, galera da Khan! Nos vemos no próximo vídeo.