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Fórmula da divergência- Parte 2

Aqui nós terminamos a linha de raciocínio que nos leva à fórmula do divergente para duas dimensões. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui já no quarto vídeo da série sobre divergência. No vídeo passado, estávamos analisando este campo vetorial aqui cujos vetores possuem apenas componente horizontal. Ou seja, "Q" é sempre igual a zero. E, neste campo, possuímos apenas vetores que apontam para a direita ou para a esquerda. E ao decorrer do último vídeo, nós pudemos observar que a derivada parcial de "P" em relação a "x" está diretamente relacionada com a grandeza divergência, cuja fórmula nós estamos tentando descobrir. E, neste vídeo, nós iremos fazer o oposto do que nós fizemos no vídeo passado. Iremos analisar agora um campo vetorial que possui apenas componente vertical. P(x, y) agora vai ser zero, e Q(x, y) vai possuir um valor diferente de zero. E o que isto significa é que em vez de pensar em vetores apontando apenas para a direita ou para a esquerda, desta vez nós iremos analisar um campo vetorial, cujos vetores apenas apontam para cima ou para baixo puramente. E, novamente, nós aqui iremos imaginar como se darão pontos cuja a divergência tem um valor positivo. Temos aquele primeiro caso onde no ponto analisado não há vetor, mas se você olhar para o ponto logo abaixo, você tem um vetor apontando para baixo. E ao olhar para cima, você tem um vetor apontando para cima. Podemos observar aqui a progressão no valor de "Q" conforme "y" aumenta. Já que, neste primeiro vetor, temos um valor negativo para "Q", no segundo vetor "Q" é igual a zero e o terceiro vetor assume um valor positivo para "Q". Então, conforme nós aumentamos aqui o valor de "y", o valor de "Q" também aumenta. Então, temos aqui a ideia de que o conceito de divergência positiva está relacionado com o valor da derivada parcial de "q" em relação a "y" maior do que zero. Uma divergência positiva corresponde a um valor positivo para a nossa derivada. Seguindo os passos que tomamos no último vídeo, temos um outro exemplo onde a divergência é maior que zero. Quando o ponto já possui uma determinada velocidade e que possui uma certa quantidade de vetores convergindo para este ponto, ou partícula se você pensar no nosso exemplo do fluxo de um fluido, mas que é superado pela quantidade de vetores que apontam no sentido contrário. Ou seja, mais vetores saem do que entram. E, neste exemplo, novamente a derivada parcial de "Q" em relação a "y" corresponde com uma divergência positiva. E se você quiser, você pode fazer esta análise para cada caso possível quando a divergência é zero, quando a divergência é negativa. Mas a ideia aqui é relacionar as derivadas parciais de "p" e "q" com o conceito de divergência. E, no fim, tudo que você precisa é destas duas derivadas aqui para calcular a função divergência de um campo vetorial. Então, apenas para escrevermos aqui, se você tem uma função vetorial de (x, y) que possui componentes "P" horizontal e "Q" vertical. A definição de divergência "div" de "V" como uma função de (x, y) é, na verdade, igual à derivada parcial de "P" em relação a "x", mais a derivada parcial de "Q" em relação a "y". E espera-se que esta não seja mais uma fórmula para decorar simplesmente jogada, mas sim algo que faz sentido intuitivo na sua mente. Já que quando você vê esta parcial de "P" em relação a "x", você se lembrará que realmente quando há divergência há um crescimento da componente "P", conforme aumentamos o "x". E o mesmo para o segundo termo da fórmula, quanto maior esta derivada de "Q" em relação a "y", maior será a divergência em determinado ponto. E adicionando estas duas derivadas, você terá tudo o que precisa para entender a divergência de um campo vetorial e quantificá-la. Porém, temos que lembrar que chegamos nesta fórmula utilizando dois exemplos bem simplificados. Onde tínhamos vetores em apenas uma das direções. Mas, como você bem sabe, geralmente os campos vetoriais podem ser muito mais complicados e complexos do que este. Já que você terá vetores com duas componentes, não apenas horizontal ou vertical. Mas, apenas olhando para a mudança da componente horizontal de "P" em relação à variável "x" e a mudança da componente vertical "Q" em relação a "y", isto já é o suficiente para entendermos como determinado campo se comporta em relação à divergência. Já que qualquer que seja o vetor, ele pode ser decomposto em dois vetores. Um vetor horizontal e um vetor vertical. E relacionando isto com o fluxo de um fluido, podemos dizer que apenas estes dois termos também são suficientes. Pois se você imaginar um ponto e um quadrado ao redor deste ponto, você pode analisar apenas os fluídos que entram por baixo ou por cima, e os fluidos que entram ou saem pelas laterais. E se você tiver, por exemplo, uma partícula descrevendo uma trajetória diagonal em relação a este quadrado, você só precisa decompor este movimento diagonal, e um movimento vertical e o outro horizontal. Então, encerramos este vídeo entendendo o conceito de divergência, não só de uma forma visual, mas também agora de uma forma matemática, algébrica. Beleza? E nos próximos vídeos, nós tomaremos exemplos para calcular e visualizar. Então, é isso, galera da Khan Academy. Até o próximo vídeo!