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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 9: DivergênciaFórmula da divergência- Parte 2
Aqui nós terminamos a linha de raciocínio que nos leva à fórmula do divergente para duas dimensões. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui já no quarto vídeo
da série sobre divergência. No vídeo passado, estávamos analisando este campo vetorial aqui cujos vetores possuem apenas componente horizontal. Ou seja, "Q" é sempre igual a zero. E, neste campo, possuímos apenas
vetores que apontam para a direita ou para a esquerda. E ao decorrer do último vídeo, nós pudemos observar que a derivada
parcial de "P" em relação a "x" está diretamente relacionada
com a grandeza divergência, cuja fórmula nós estamos
tentando descobrir. E, neste vídeo, nós iremos fazer o oposto do que
nós fizemos no vídeo passado. Iremos analisar agora
um campo vetorial que possui apenas
componente vertical. P(x, y) agora vai ser zero, e Q(x, y) vai possuir um
valor diferente de zero. E o que isto significa é
que em vez de pensar em vetores apontando apenas
para a direita ou para a esquerda, desta vez nós iremos analisar
um campo vetorial, cujos vetores apenas apontam
para cima ou para baixo puramente. E, novamente, nós aqui iremos imaginar como se darão pontos cuja a divergência
tem um valor positivo. Temos aquele primeiro caso
onde no ponto analisado não há vetor, mas se você olhar para
o ponto logo abaixo, você tem um vetor
apontando para baixo. E ao olhar para cima, você tem um vetor
apontando para cima. Podemos observar aqui
a progressão no valor de "Q" conforme "y" aumenta. Já que, neste primeiro vetor,
temos um valor negativo para "Q", no segundo vetor "Q" é igual a zero e o terceiro vetor assume
um valor positivo para "Q". Então, conforme nós aumentamos
aqui o valor de "y", o valor de "Q" também aumenta. Então, temos aqui a ideia de que
o conceito de divergência positiva está relacionado com o valor
da derivada parcial de "q" em relação a "y"
maior do que zero. Uma divergência positiva corresponde
a um valor positivo para a nossa derivada. Seguindo os passos que
tomamos no último vídeo, temos um outro exemplo onde
a divergência é maior que zero. Quando o ponto já possui
uma determinada velocidade e que possui uma certa
quantidade de vetores convergindo para este ponto, ou partícula se você pensar no nosso
exemplo do fluxo de um fluido, mas que é superado pela quantidade de vetores que
apontam no sentido contrário. Ou seja, mais vetores
saem do que entram. E, neste exemplo, novamente
a derivada parcial de "Q" em relação a "y" corresponde com uma divergência positiva. E se você quiser, você pode fazer esta análise
para cada caso possível quando a divergência é zero, quando a divergência
é negativa. Mas a ideia aqui é relacionar
as derivadas parciais de "p" e "q" com o conceito de divergência. E, no fim, tudo que você precisa
é destas duas derivadas aqui para calcular a função divergência
de um campo vetorial. Então, apenas para escrevermos aqui, se você tem uma função vetorial de (x, y) que possui componentes
"P" horizontal e "Q" vertical. A definição de divergência "div" de "V" como uma função de (x, y) é, na verdade, igual à derivada
parcial de "P" em relação a "x", mais a derivada parcial de "Q"
em relação a "y". E espera-se que esta não seja mais uma fórmula para decorar
simplesmente jogada, mas sim algo que faz sentido
intuitivo na sua mente. Já que quando você vê
esta parcial de "P" em relação a "x", você se lembrará que realmente
quando há divergência há um crescimento da componente "P",
conforme aumentamos o "x". E o mesmo para o segundo
termo da fórmula, quanto maior esta derivada
de "Q" em relação a "y", maior será a divergência
em determinado ponto. E adicionando estas duas derivadas, você terá tudo o que precisa
para entender a divergência de um campo vetorial e quantificá-la. Porém, temos que lembrar
que chegamos nesta fórmula utilizando dois exemplos
bem simplificados. Onde tínhamos vetores
em apenas uma das direções. Mas, como você bem sabe,
geralmente os campos vetoriais podem ser muito mais complicados
e complexos do que este. Já que você terá vetores
com duas componentes, não apenas horizontal ou vertical. Mas, apenas olhando para a mudança
da componente horizontal de "P" em relação à variável "x" e a mudança da componente
vertical "Q" em relação a "y", isto já é o suficiente para entendermos como determinado campo se
comporta em relação à divergência. Já que qualquer que seja o vetor, ele pode ser decomposto
em dois vetores. Um vetor horizontal
e um vetor vertical. E relacionando isto com
o fluxo de um fluido, podemos dizer que apenas estes
dois termos também são suficientes. Pois se você imaginar um ponto
e um quadrado ao redor deste ponto, você pode analisar apenas os fluídos
que entram por baixo ou por cima, e os fluidos que entram
ou saem pelas laterais. E se você tiver, por exemplo, uma partícula descrevendo
uma trajetória diagonal em relação a este quadrado, você só precisa decompor
este movimento diagonal, e um movimento vertical
e o outro horizontal. Então, encerramos este vídeo
entendendo o conceito de divergência, não só de uma forma visual, mas também agora de uma
forma matemática, algébrica. Beleza? E nos próximos vídeos, nós tomaremos exemplos
para calcular e visualizar. Então, é isso, galera da Khan Academy. Até o próximo vídeo!